42指數(shù)函數(shù)（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)（人教A版2019）

4.2指數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2021·上海高一專題練習(xí)）下列是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念依次討論即可得答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征:系數(shù)為1，底數(shù)滿足且，自變量在指數(shù)位置可知，A，B，C不滿足,D滿足.故選：D.2．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合B，進(jìn)而通過集合的交集運(yùn)算求出.【詳解】對集合B，由題意：，所以，則，.故選：A.3．（2021·全國高一單元測試）指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則a的值是（）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式，求得的值.【詳解】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故選：B.4．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y＝2ax－1＋1(a>0且a≠1)恒過定點(diǎn)A(m，n)，則m＋n＝（）A．1 B．3C．4 D．2【答案】C【分析】由指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)求解處m點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求值.【詳解】由題意知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3，故A(1，3)，m＋n＝4,故選：C.5．（2021·上海高一專題練習(xí)）函數(shù)且的圖像（）A．與的圖像關(guān)于軸對稱 B．與的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱C．與的圖像關(guān)于軸對稱 D．與的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱【答案】D【分析】利用函數(shù)的對稱性即可求解.【詳解】函數(shù)y=ax是把y=ax中的x換成x，把y換成y，所以兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選：D.6．（2020·新疆烏魯木齊市·烏市八中高一月考）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，則，求得的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果.【詳解】令，則，而，所以.故選：B.7．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知（，且），且，則a的取值范圍是（）A．（0，＋∞） B．（1，＋∞）C．（－∞，1） D．（0，1）【答案】D【分析】由，且，排除AC；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性排除B，確定D.【詳解】由，且，排除AC；∵，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，與已知矛盾矛盾，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，∴，符合題意.故選：D.8．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（文））函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A，再根據(jù)排除選項(xiàng)D，又當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)C,即得解.【詳解】由題得，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.,所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除選項(xiàng)A；又，所以排除選項(xiàng)D；又當(dāng)時(shí)，，，指數(shù)函數(shù)是爆炸式增長，所以，，所以排除選項(xiàng)C；故選：B二、多選題9．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則的值可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】對分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值和最小值，列出方程，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或，因?yàn)?，所?綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或.故選：BC10．（2021·江蘇金陵中學(xué)高二期末）若直線與函數(shù)，且的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則可以是（）A．2 B． C． D．【答案】CD【分析】分類討論作出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得．【詳解】由題意，直線與函數(shù)，且的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖（1）所示，由已知得，；當(dāng)時(shí)，的圖象如圖（2）所示，由已知可得，，結(jié)合可得無解．綜上可知的取值范圍為．故選：．11．（2021·山東高一期末）若函數(shù)（且）在上為單調(diào)函數(shù)，則的值可以是（）A． B． C． D．2【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，需注意斷點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)（且）在上為單調(diào)函數(shù)，所以或，解得或，所以滿足條件的有ABD；故選：ABD12．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，下面說法正確的有（）A．的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．的圖像關(guān)于y軸對稱C．的值域?yàn)?D．，且【答案】ACD【分析】判斷的奇偶性即可判斷選項(xiàng)AB，求的值域可判斷C，證明的單調(diào)性可判斷選項(xiàng)D，即可得正確選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱,，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；，因?yàn)椋?，所以，，所以，可得的值域?yàn)椋蔬x項(xiàng)C正確；設(shè)任意的，則，因?yàn)椋?，，所以，即，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法（1）取值：設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且；（2）作差變形：即作差，即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義作出結(jié)論.即取值作差變形定號下結(jié)論.三、填空題13．（2021·寧夏銀川市·銀川一中高二期中（文））已知函數(shù)的定義域和值域都是，則______．【答案】【分析】分、兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的等式組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，無解.綜上所述，，，故.故答案為：.14．（2021·寧夏銀川市·銀川一中高二期中（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是______．【答案】【分析】令，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)得單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：令，則，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，又是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)得單調(diào)性得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：.15．（2020·江蘇省西亭高級中學(xué)）若，則不等式的解集是__________．【答案】；【分析】由題意利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解一元二次不等式，求得的范圍．【詳解】解：，則由不等式可得，即解得或，故答案為：．16．（2021·安徽（文））已知函數(shù)，則_____________.【答案】505【分析】利用配對計(jì)算．【詳解】，∴，故.故答案為：505．四、解答題17．（2021·新疆五家渠市兵團(tuán)二中金科實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一開學(xué)考試）已知奇函數(shù).（1）求的值.（2）求在區(qū)間上的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式判斷出在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可以求出值域.【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，故；（2）由（1）知，由于在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，因此在區(qū)間上的值域?yàn)?18．（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)，＝．（1）求在上的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合奇函數(shù)在原點(diǎn)有意義時(shí)，有，即可求出的值，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出結(jié)果；（2）參變分離后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值，從而可以求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，時(shí)，，所以，解得，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，，即在上的解析式為.（2）因?yàn)闀r(shí)，，所以可化為，整理得，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，與都是減函數(shù)，所以也是減函數(shù)，，所以，故數(shù)的取值范圍是.19．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）給出下列三個(gè)條件：①周期為1的函數(shù)：②奇函數(shù)；③偶函數(shù)．請逐一判斷并篩選出符合題意的一個(gè)條件（均需說明理由），補(bǔ)充在下面的問題中，并求解．已知函數(shù)是______．（1）求的值；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）【分析】（1）若選①：利用周期性，可得，求解即可；若選②：利用奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，求解即可；若選③：利用偶函數(shù)的定義，可得在定義域上恒成立，求解即可．（2）利用（1）中的結(jié)論，得到不等式，然后分兩種情況求解即可．【詳解】解：（1）函數(shù)，的定義域?yàn)?，若選①：是周期為1的函數(shù)，則，即，無解，不合題意；若選②：為奇函數(shù)，則，即，方程無解，不合題意；若選③：為偶函數(shù)，則在定義域上恒成立，即，整理可得，解得，此時(shí)為偶函數(shù)；所以（2）由，可得，①，即，解得；②，即，此時(shí)無解．綜上所述，不等式的解集為．20．（2022·全國高三專題練習(xí)）（1）已知，求在，上的值域；（2）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的值域及單調(diào)區(qū)間．【答案】（1），；（2）值域?yàn)椋海?，；單調(diào)增區(qū)間為：和．【分析