專題08導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（重難點突破）教師版

專題08導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【重難點知識點網(wǎng)絡(luò)】：1．函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果___________，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果___________，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．注意：在某個區(qū)間內(nèi)，（）是函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分條件，而不是必要條件．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在內(nèi)恒成立，且在的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0．2．函數(shù)圖象與之間的關(guān)系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較___________，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數(shù)的圖象就“平緩”一些．【重難點題型突破】：一、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等式（）在給定區(qū)間上恒成立．一般步驟如下：①求導(dǎo)數(shù)；②判斷的符號；③給出單調(diào)性結(jié)論．（2）在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論，定義域為實數(shù)集可以省略不寫．在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點和不可導(dǎo)點．（3）當(dāng)求得的單調(diào)區(qū)間不止一個時，單調(diào)區(qū)間要用“，”或“和”字等隔開，不要用符號“∪”連接．例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）函數(shù)的定義域為．．令，解得；令，解得．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【變式訓(xùn)練11】、（2017新課標(biāo)全國Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B．C． D．【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得：或，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．故選D．【變式訓(xùn)練12】、（2017新課標(biāo)全國Ⅰ）已知函數(shù)，則A．在（0，2）單調(diào)遞增 B．在（0，2）單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線x=1對稱 D．的圖像關(guān)于點（1，0）對稱【答案】C【解析】由題意知，，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故C正確，D錯誤；又（），由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以A，B錯誤，故選C．【變式訓(xùn)練13】、（2017新課標(biāo)全國Ⅱ節(jié)選）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性．【答案】在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【分析】先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間即可．【變式訓(xùn)練14】、（2017新課標(biāo)全國Ⅲ）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性【答案】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【分析】先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況討論單調(diào)性：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【解析】函數(shù)的定義域為，故.若，則當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增.若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．二、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系判斷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)圖象間對應(yīng)關(guān)系時，首先要弄清所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象，其次對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．例2已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是【答案】D【解析】當(dāng)時，在上的函數(shù)值非負在上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上的函數(shù)值非負在上，故在上單調(diào)遞減，觀察各選項可知選D．【變式訓(xùn)練21】、（2017浙江）函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D．【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【變式訓(xùn)練22】、（2018新課標(biāo)全國Ⅲ）函數(shù)的圖象大致為A B C D【答案】D【名師點睛】本題考查函數(shù)的圖象，考查了特殊值排除法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．【變式訓(xùn)練23】、（2018新課標(biāo)全國Ⅱ理）函數(shù)的圖象大致為A B C D【答案】B【解析】因為，排除選項D；因為，，所以為奇函數(shù)，排除選項A；因為，所以當(dāng)時，，排除選項C，故選B．三、導(dǎo)數(shù)在解決單調(diào)性問題中的應(yīng)用（1）已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍問題，是一類非常重要的題型，其基本解法是利用分離參數(shù)法，將或的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．（2）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解．例3、已知函數(shù)，．若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍．【答案】．方法2：函數(shù)的定義域為，，∴．方程的根的判別式為．①當(dāng)，即時，，此時，對都成立，故函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．②當(dāng)，即或時，要使函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，只需對都成立．設(shè)，則，得．故．綜合①②得的取值范圍為．例4．（2016新課標(biāo)全國Ⅰ）已知函數(shù)QUOTE．（1）討論的單調(diào)性；