2016-2018年高考全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題答案解析

2016-2018全國(guó)卷理數(shù)

2018/2017/2016全國(guó)I卷

2018/2017/2016全國(guó)II卷

2018/2017/2016全國(guó)III卷

1

2018年全國(guó)卷1理數(shù)解析

1—i

1.設(shè)z=--；+2i,則|z|=

1L

A.0B.-C.1D.J2

2

【答案】C

【解析】分析：首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，將其化簡(jiǎn)得到2=:根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，得到|Z|=1,

從而選出正確結(jié)果.

、￥白刀m1—i(l-i)2-2i

洋斛：因?yàn)閦=----1-2i=---------F2i=---F21=i>

1+i(l+i)(l-i)2

所以因=Jo+J=l,故選c.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的概念及求解公式，利用復(fù)數(shù)的除法及加法

運(yùn)算法則求得結(jié)果，屬于簡(jiǎn)單題目.

2.已知集合人={小2個(gè)一2>0},則CRA=

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|x<-1}u{x|x>2}D.{x|x<-1}u{x|x>2}

【答案】B

【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出x2-x-2>0的解集，從而求得集合A,

之后根據(jù)集合補(bǔ)集中元素的特征，求得結(jié)果.

詳解：解不等式x2-x-2>0得x〈T或x>2,

所以A={x|xv-l或x>2},

所以可以求得CRA={x|TSXW2},故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)一元二次不等式的解法以及集合的補(bǔ)集的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程

中，需要明確一元二次不等式的解集的形式以及補(bǔ)集中元素的特征，從而求得結(jié)果.

3.某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解

該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比

例.得到如下餅圖：

也沒(méi)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

2

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

【答案】A

【解析】分析：首先設(shè)出新農(nóng)村建設(shè)前的經(jīng)濟(jì)收入為M,根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)

濟(jì)收入為2M,之后從圖中各項(xiàng)收入所占的比例，得到其對(duì)應(yīng)的收入是多少，從而可以比較

其大小，并且得到其相應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項(xiàng).

詳解：設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M,而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M,

則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M,而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M,所以種植收入增加

了，所以A項(xiàng)不正確；

新農(nóng)村建設(shè)前其他收入我0.04M,新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M,故增加了一倍以上，所以

B項(xiàng)正確；

新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M,新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M,所以增加了一倍，所以C項(xiàng)正確；

新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟(jì)收入的30%+28%=58%>50%,所以

超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半，所以D正確；

故選A.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)新農(nóng)村建設(shè)前后的經(jīng)濟(jì)收入的構(gòu)成比例的餅形圖，要會(huì)從圖中讀出

相應(yīng)的信息即可得結(jié)果.

4.設(shè)Sn為等差數(shù)列｛a4的前n項(xiàng)和，若3s3Ks2+S4,a1=2,則a$=

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,

3x24x3

根據(jù)題中的條件可得3(3x2+-d)=2x2+d+4><2+;一?d,

整理解得d=-3,所以=a1+4d=2T2=TO,故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利

用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

得到與力和￡1的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

3

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x，+(a-l)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù)，則曲線丫=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【答案】D

【解析】分析：利用奇函數(shù)偶此項(xiàng)系數(shù)為零求得a=l,進(jìn)而得到f(x)的解析式，再對(duì)f(x)求導(dǎo)

得出切線的斜率k,進(jìn)而求得切線方程.

詳解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以a-1=0,解得a=l,

所以f(x)=x34+f(x)=3x2+L

所以f(0)=l,f(0)=0,

所以曲線丫=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f(0)x,

化簡(jiǎn)可得丫=乂，故選D.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)曲線y=f(x)在某個(gè)點(diǎn)(Xo，f(xJ)處的切線方程的問(wèn)題，在求解的過(guò)程

中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時(shí)利用到結(jié)論多項(xiàng)式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項(xiàng)，偶函

數(shù)不存在奇次項(xiàng)，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得f(x),借助于導(dǎo)數(shù)的幾何

意義，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式求得結(jié)果.

6.在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則矗=

3-1-「3-

A.—AB—ACB.-AB—AC

4444

3-1-143一

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

一—一

【解析】分析:首先將圖畫出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得BE=-BA+-BC,

22

之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到Bb=Bk+At,之后將其合并，得

一3-1一一3-1一

到BE=-BA+-AC,下一步應(yīng)用相反向量，求得EB=-AB--AC,從而求得結(jié)果.

4444

詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得

4

--「-1--「「-3-「

BE=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC)=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222224444

-3--

所以EB=-AB--AC,故選A.

44

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向

量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要

認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.

7.某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑

匕口

A.2#7B.2小

C.3D.2

【答案】B

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，點(diǎn)M

在上底面上，點(diǎn)N在下底面上，并且將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩

形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)

方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，

所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為""7m=2而，故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，

需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就

是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.

2

8.設(shè)拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為-的直線與C交于〃N兩點(diǎn),

3

則F欣-FN=

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

5

【解析】分析：首先根據(jù)題中的條件，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，涉及到直線與拋物線相

交，聯(lián)立方程組，消元化簡(jiǎn)，求得兩點(diǎn)M(1,2),N(4,4),再利用所給的拋物線的方程，寫出其

焦點(diǎn)坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量坐標(biāo)公式，求得：?立=(0,2),木=(3,4),最后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公

式求得結(jié)果.

22

詳解：根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為g的直線方程為y=-(x+2),

(=2

與拋物線方程聯(lián)立y=§(x+2)，消元整理得：y2_6y+8=0,

Iy2=4x

解得M(1⑵,N(4,4),又F(l,0),

所以F立=(0,2)向=(3,4),

從而可以求得Fid-曲=0/3+2x4=8,故選D.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問(wèn)題，在求解的

過(guò)程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡(jiǎn)求解，從而確

定出M(1,2),N(4,4),之后借助于拋物線的方程求得F(l,0),最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向

量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用韋達(dá)

定理得到結(jié)果.

9.已知函數(shù)f(x)=(e，xW0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值

(Inx,x>0,"

范圍是

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】C

【解析】分析：首先根據(jù)g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程及*)+*+2=0有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)

化為f(x)=-x-a有兩個(gè)解，即直線y=-x-a與曲線y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解

析式，畫出函數(shù)f(x)的圖像(將e'x,。)去掉)，再畫出直線y=-x,并將其上下移動(dòng)，從圖中

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)-aSl時(shí)，滿足y=-x-a與曲線y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果.

詳解：畫出函數(shù)f(x)的圖像，y=e*在y軸右側(cè)的去掉，

再畫出直線y=-x,之后上下移動(dòng)，

可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

即方程f(x)=-x-a有兩個(gè)解，

也就是函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

6

此時(shí)滿足-aS1,即a^T,故選C.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，

解題的思路是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，將式子移項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為兩條

曲線交點(diǎn)的問(wèn)題，畫出函數(shù)的圖像以及相應(yīng)的直線，在直線移動(dòng)的過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合思

想，求得相應(yīng)的結(jié)果.

10.下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)

半圓的直徑分別為直角三角形/8C的斜邊8a直角邊AC.△48C的三邊所圍成的

區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取

自I,II,III的概率分別記為口，.，P3,則

A.pFpiB.P\:fk

C.D.P\Pi

【答案】A

詳解：設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,?J<b2+c2=a2,

從而可以求得AABC的面積為Si=-be,

12

黑色部分的面積為52=兀?(-)2+n-(-)2-[TC,(~)2_-bc]=jt(—+-——)+-be

c2+b2-a211

=7C-----------1--be=-be,

422

其余部分的面積為S3=兀?(|)2-lbc=(；bc,所以有Si=S?，

根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到Pi=P2，故選A.

7

點(diǎn)睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問(wèn)題，題中需要解決的是概率的大小，根據(jù)面積

型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖

形的面積公式求得結(jié)果.

2

2

11.已知雙曲線C:—V=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為C的右焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線與C的兩條

3

漸近線的交點(diǎn)分別為K〃若為直角三角形，貝H掰V|=

3，-

A.-B.3C.2布D.4

【答案】B

【解析】分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而

得到z_FON=30°,根據(jù)直角三角形的條件，可以確定直線MN的傾斜角為60°或120°，根據(jù)相

關(guān)圖形的對(duì)稱性，得知兩種情況求得的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為60°,利用點(diǎn)斜式

寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，求得M(3,回,利用兩點(diǎn)間距離

同時(shí)求得|MN|的值.

詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為土L,且右焦點(diǎn)為F(2,0),

3

從而得到乙FON=30°，所以直線MN的傾斜角為60°或120°，

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)其傾斜角為60°,

可以得出直線MN的方程為y=g<x-2),

分別與兩條漸近線丫=—x^y=-工-x聯(lián)立,

求得M(3,技

所以|MN|=}-：)2+(g+g)2=3,故選B.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要先確定哪兩個(gè)點(diǎn)之間的距

離，再分析點(diǎn)是怎么來(lái)的，從而得到是直線的交點(diǎn)，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線

的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線MN的斜率，結(jié)合過(guò)右焦

點(diǎn)的條件，利用點(diǎn)斜式方程寫出直線的方程，之后聯(lián)立求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，之后應(yīng)用兩點(diǎn)間

距離公式求得結(jié)果.

12.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面。所成的角相等，則。截此正方體

所得截面面積的最大值為

8

A.B.C.D.

4342

【答案】A

【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成

角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方

體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，

所以在正方體ABCD-AiBigDi中，

平面ABQi與線AAi，AiBi，AQi所成的角是相等的，

所以平面ABQi與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，

同理平面CiBD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，

要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面ABQi與CiBD中間的，

且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為上，

2

所以其面積為S=6x：?（，）2=號(hào)"，故選A.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先

確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的

正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/X—2y—2<0

13.若x,y滿足約束條件k-y+120，則z=3x+2y的最大值為______________.

（y<0

【答案】6

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截

3131

=--x+-z,之后在圖中畫出直線y=-于，在上下移動(dòng)的過(guò)程中，結(jié)合,的幾何意義，可

31

以發(fā)現(xiàn)直線y=-子+,過(guò)8點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解

析式，求得最大值.

詳解：根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對(duì)應(yīng)的可行域，如圖所示：

9

3

畫出直線丫=-y，將其上下移動(dòng)，

z

結(jié)合-的幾何意義，可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，

2

由1x-2y、=0,解得B(2,0),

(y=u

此時(shí)2inax=3x2+0=6,故答案為6.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，首先需要正確畫出約束條件對(duì)

應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷Z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，

判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的

形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.

14.記Sn為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，^Sn=2an+1,則$6=.

【答案】-63

【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的Sn=2%+1,類比著寫出Sn+I=2an+1+1,兩式相減，

整理得到%+1=2%,從而確定出數(shù)列｛5｝為等比數(shù)列，再令n=l,結(jié)合a^Si的關(guān)系，求得

電=-1,之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得$6的值.

詳解：<<Sn=2an+1,可得511+1=2211+1+1,

兩式相減得%+1=2an+1-2an,即/+1=2an,

當(dāng)n=l時(shí)，Sj=aj=2aj+1,解得a]=-l,

所以數(shù)列｛%｝是以-1為首項(xiàng)，以2為公布的等比數(shù)列，

所以%=工二〉=-63,故答案是-63.

61-2

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要先利用題中的條件，類比

著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)

10

列，之后令n=l,求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既

有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.

15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的

選法共有種.(用數(shù)字填寫答案)

【答案】16

【解析】分析：首先想到所選的人中沒(méi)有女生，有多少種選法，再者需要確定從6人中

任選3人總共有多少種選法，之后應(yīng)用減法運(yùn)算，求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意，沒(méi)有女生入選有C：=4種選法，

從6名學(xué)生中任意選3人有C：=20種選法，

故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20-4=16種，故答案是16.

點(diǎn)睛：該題是一道關(guān)于組合計(jì)數(shù)的題目，并且在涉及到至多至少問(wèn)題時(shí)多采用間接法，總體

方法是得出選3人的選法種數(shù)，間接法就是利用總的減去沒(méi)有女生的選法種數(shù)，該題還可以

用直接法，分別求出有1名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運(yùn)算求解.

16.已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是.

【答案】-油

2

【解析】分析：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，化簡(jiǎn)求得f(x)=4(cosx+IXCOSX-Q),從而確定出函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間，減區(qū)間為［2k7t-丁2k兀一］(k€Z),增區(qū)間為［2k?L?2E+J(k€Z),確定出函數(shù)的

最小值點(diǎn)，從而求得sinx=sin2x=代入求得函數(shù)的最小值.

2'2

1

詳解：f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+l)(cosx-),

所以當(dāng)cosxv-時(shí)函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)cosx>-時(shí)函數(shù)單調(diào)增，

22

57r7i

從而得到函數(shù)的減區(qū)間為［2匕1-］,2k無(wú)-J(keZ),

7T%

函數(shù)的增區(qū)間為［2k?L］2H+-］(keZ),

71

所以當(dāng)x=2kTT--,kEZ時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，

3

,J3由

此時(shí)sinx=---,sin2x=---，

22

所以f(X)min=2*故答案是一

11

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要明確相關(guān)

的函數(shù)的求導(dǎo)公式，需要明白導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，確定出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間

和單調(diào)減區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值點(diǎn)，從而求得相應(yīng)的三角函數(shù)值，代入求得函數(shù)的最

小值.

17.在平面四邊形ABCD中，ZADC=9O°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cosZADB;

(2)若DC=2也，求BC.

【答案】⑴J

5

(2)BC=5.

RDAB

【解析】分析：(1)根據(jù)正弦定理可以得到-----=--------,根據(jù)題設(shè)條件，求得

sinZ.AsinZ.ADB

sin/-ADB=一，結(jié)合角的范圍，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得cos4ADB=

5

也

(2)根據(jù)題設(shè)條件以及第一問(wèn)的結(jié)論可以求得cos4BDC=sin^ADB=—,之后在△BCD中,

5

用余弦定理得到BC所滿足的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

詳解：(1)在aABD中，由正弦定理得--------------.

sinZ-AsinZ.ADB

52

由題設(shè)知，-----=--------,所以sinNADB=上b.

sin450sinZ.ADB5

由題設(shè)知，ZADB<90°,所以cosNADB=

(2)由題設(shè)及(1)知，cos/BDC=sinNADB=上.

5

在ABCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BD-DC-cosZBDC

I-啦

=25+8-2x5x2J2x]

=25.

所以BC=5.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系

式、誘導(dǎo)公式以及余弦定理，在解題的過(guò)程中，需要時(shí)刻關(guān)注題的條件，以及開方時(shí)對(duì)于正

負(fù)號(hào)的取舍要從題的條件中尋找角的范圍所滿足的關(guān)系，從而正確求得結(jié)果.

18.如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，

使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF_LBF.

12

(1)證明：平面PEF-L平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

⑵

4

【解析】分析：(1)首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，賈BFLPF,BF1EF,又因?yàn)?/p>

PFHEF=F,利用線面垂直的判定定理可以得出8尸_L平面陽(yáng)又BFu平面A67N,利用面

面垂直的判定定理證得平面陽(yáng)」平面ABFD.

⑵結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面4身2的法

3

向量，設(shè)分與平面力附9所成角為0,利用線面角的定義，可以求得HPDP4B

sinQ=|----3—|=~F=—

|HP|-|DP|小4

得到結(jié)果.

詳解：(1)由已知可得，BFLPF,BFLEF,又PFI"IEF=F,所以8/」平面際

又BFu平面ABFD,所以平面PEFL中面ABFD.

(2)作PHIEF,垂足為//由(1)得，PHL平面ABFD.

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，山的方向?yàn)?軸正方向，|威|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

H-xyz.

由(1)可得，DELPE.叉DP=2,DB=1,所以唱。又戶片1,E0,奴PE1PF.

七2而3

可得PH=JEH=

22

n,陋3-

為平面4BFD的法向量.

則11(0,0,0*(0,0,萬(wàn)加(-1,-2；O),DP=(1,HP=

3

設(shè)73與平面/甌所成角為0,則HP-DPJ_=坦.

sin9=|------

|HP|-|DP|有4

13

所以。戶與平面/4S&7所成角的正弦值為二.

4

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的證明以及線面角的

正弦值的求解，屬于常規(guī)題目，在解題的過(guò)程中，需要明確面面垂直的判定定理的條件，這

里需要先證明線面垂直，所以要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，從而證得結(jié)果；

對(duì)于線面角的正弦值可以借助于平面的法向量來(lái)完成，注意相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系即可.

2

19.設(shè)橢圓c?土+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線1與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

2

(1)當(dāng)1與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

【答案】(1)4/的方程為y=-1+4或丫=Cx-啦.

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)首先根據(jù)1與x軸垂直，且過(guò)點(diǎn)F(l,0),求得直線/的方程為產(chǎn)1,代入橢

圓方程求得點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,，)或(1，一f),利用兩點(diǎn)式求得直線AM的方程；

⑵分直線/與x軸重合、/與x軸垂直、/與x軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況

比較簡(jiǎn)單，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相等通過(guò)直線的斜率的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，從而證得結(jié)

果.

詳解：(1)由已知得F(l,0),/的方程為『1.

由已知可得，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,與或

行也

所以47的方程為丫=-—x+垓或y=—x-A/5-

(2)當(dāng)/與x軸重合時(shí)，ZOMA=ZOMB=0°.

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，。的為48的垂直平分線，所以43MA=4DMB.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為y=k(x-0),AIXpyl'B&y》

Yiy2

貝以1＜屈X2〈W，直線胡，肥的斜率之和為+-------------1--------------,

X]-2x2-2

由y1=Icq-k,y2=kx2-k得

2kxix?-3k(X1+x2)+4k

k+k=----------------------

KK、

MAMB(ZX1-2)(X2-C2),

2

將y=k(x-1)代入土+丫2=i得

2

14

(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0-

2k2-2

所以，

+x2=2k2+1'X2k2+1

4k3-4k-12k3+81?+4k

貝12kxix?-3k(X]+x2)+4k==0.

2k2+1

從而kj^+k1MB=0,故MA,雨的傾斜角互補(bǔ)，所以NOMA=NOMB.

綜上，ZOMA=ZOMB.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線方程的兩點(diǎn)式、直線與

橢圓相交的綜合問(wèn)題、關(guān)于角的大小用斜率來(lái)衡量，在解題的過(guò)程中，第一問(wèn)求直線方程的

時(shí)候，需要注意方法比較簡(jiǎn)單，需要注意的就是應(yīng)該是兩個(gè)，關(guān)于第二問(wèn)，在做題的時(shí)候需

要先將特殊情況說(shuō)明，一般情況下，涉及到直線與曲線相交都需要聯(lián)立方程組，之后韋達(dá)定

理寫出兩根和與兩根積，借助于斜率的關(guān)系來(lái)得到南是相等的結(jié)論.

20.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),

如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)

檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為

p(O<p<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)P0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的Po作為p的

值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不

合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,

求EX;

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作

檢驗(yàn)？

【答案】】⑴Po=O.L

⑵⑴490.

(ii)應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

【解析】分析：(1)利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，求得f(p)-p)%之后

對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)，這里要注

15

意Ovpvl的條件；

⑵先根據(jù)第一問(wèn)的條件，確定出p=0.1,在解(i)的時(shí)候，先求件數(shù)對(duì)應(yīng)的期望，之后應(yīng)

用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望；在解(ii)的時(shí)候，就通過(guò)比較兩個(gè)期望的大小，

得到結(jié)果.

詳解：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C4p2(l-p)i8因此

f(P)=C就2P(1-p)18-18p2(l-p)17]=2c盍)(1-p)17(l-10p).

令f'(p)=O,得p=0」.當(dāng)pC(OOl)時(shí)，f(p)>0；當(dāng)p6(0.1,l)時(shí)，f'(p)<0.

所以f(p)的最大值點(diǎn)為Po=0」.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y~B(180,0.1),

X=20x2+25Y,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于EX>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)變量的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，一是需要明確獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成

功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率公式，再者就是對(duì)其用函數(shù)的思想來(lái)研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點(diǎn)，在

做第二問(wèn)的時(shí)候，需要明確離散型隨機(jī)變量的可取值以及對(duì)應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)

果，再有就是通過(guò)期望的大小關(guān)系得到結(jié)論.

21.已知函數(shù)f(x)=—x+alnx.

x

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

f(Xj)-f(x2)

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)XpX2，證明：-------」<a-2.

Xi

【答案】(1)當(dāng)aS2時(shí)，f(x)在(0,+8)單調(diào)遞減.，

當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在(°：一手")：++⑸單調(diào)遞減,在；-a+手彳單調(diào)遞增.

(2)證明見解析.

【解析】分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)a進(jìn)行分類討論，從而

確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論，可以確定a>2,令f(x)=O,得到兩個(gè)極值

16

點(diǎn)XpX2是方程x2.ax+1=0的兩個(gè)不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得

結(jié)果.

,1ax2-ax-_1__]1

詳解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+oo),f(x)=---1+-=----------.

X2X丫X2

⑴若aS2,則f'(x)W。，當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=1f(x)=0,所以f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減.

(ii)若a>2,令f'(x)=0得，x=a-戶或*=2+戶.

22

22

也a-Ja-4a+Ja-4n,,

當(dāng)xe(0,—[——)U(—1——,+8)時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)xeE一斤a+春)時(shí),《伏)〉。.所以及刈在@匚｛三),(上耳Z,+8)單調(diào)遞減，在

(匚莊Z,二莊Z)單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)XpX2滿足x?-ax+l=0,所以X]X2=1,不妨設(shè)X1〈X2，則X2>1.由于

f(X])_4xj]InX]-lnx2Inx】-In^-21nx2

---------=------1+a---------=-2+a---------=-2+a------

X】-x2x/2Xj-x2X1-x21,

所以f（Xi）-f（xJva_2等價(jià)于L-X2+21nx,<0.

x

Xi-X22

設(shè)函數(shù)g(x)=--x+21nx,由(1)知，g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，又g(l)=0,從而當(dāng)x6(1,+8)

x

時(shí)，g(x)<0.

1f(x?-f(x。

VX--x2+21nx2<0,即---------<a-2.

X

2X］-X2

點(diǎn)睛：該題考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過(guò)程中，需要明確導(dǎo)數(shù)的符

號(hào)對(duì)單調(diào)性的決定性作用，再者就是要先保證函數(shù)的生存權(quán)，先確定函數(shù)的定義域，要對(duì)參

數(shù)進(jìn)行討論，還有就是在做題的時(shí)候，要時(shí)刻關(guān)注第一問(wèn)對(duì)第二問(wèn)的影響，再者就是通過(guò)構(gòu)

造新函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的思路要明確.

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

17

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線g的方程為y=k岡+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建

立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos0-3=0-

(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若Ci與。2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求Ci的方程.

【答案】(1)(x+l)2+y2=4.

(2)綜上，所求C1的方程為y=-：x|+2.

【解析】分析：(1)就根據(jù)x=pcosO,y=psinO以及p?=x?+y2,將方程p?+2pcos0-3=0中的

相關(guān)的量代換，求得直角坐標(biāo)方程；

⑵結(jié)合方程的形式，可以斷定曲線。2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓，C］是過(guò)點(diǎn)BQ2)且關(guān)

于y軸對(duì)稱的兩條射線，通過(guò)分析圖形的特征，得到什么情況下會(huì)出現(xiàn)三個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合直

線與圓的位置關(guān)系，得到k所滿足的關(guān)系式，從而求得結(jié)果.

詳解：(1)由x=pcos。，y=psin9得。2的直角坐標(biāo)方程為

(x+l)2+y2=4-

(2)由(1)知。2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.

由題設(shè)知，J是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為％y軸左邊的射

線為b由于B在圓的外面，故Ci與。2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于L與02只有一個(gè)公共點(diǎn)且

一與。2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或U與。2只有一個(gè)公共點(diǎn)且L與。2有兩個(gè)公共點(diǎn).

,|-k+2|4

當(dāng)L與。2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到L所在直線的距離為2,所以廠廠==2,故卜=--或k=0.

Jk+13

4

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=o時(shí)，L與。2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)卜=--時(shí)，L與。2只有一個(gè)公共點(diǎn)，與02有兩個(gè)

3

公共點(diǎn).

,|k+2|4

當(dāng)與。2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到1,所在直線的距離為2,所以廠;一==2,故卜=0或卜=-.

Vk2+13

4

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，L與沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)卜=，時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn).

、八、4

綜上，所求C］的方程為丫=-,岡+2.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有曲線的極坐標(biāo)方程向

平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及有關(guān)曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確極

坐標(biāo)和平面直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，以及曲線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合圖形，將其轉(zhuǎn)化為直線與

18

圓的位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的需要滿足的條件，從而求得結(jié)果.

23.[選修4-5:不等式選講]

已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若xE(0,1)時(shí)不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

【答案】(1){x|x>

(2)(0,2].

【解析】分析：⑴將a=l代入函數(shù)解析式，求得f(x)=|x+l|-|x-l|,利用零點(diǎn)分段將解析

(~2,x<-1,

式化為f(x)=2x,-l〈xvl,,然后利用分段函數(shù)，分情況討論求得不等式f(x)>l的解集為

I2,x>l.

1

{x|x>-)；

⑵根據(jù)題中所給的xE(0,1),其中一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)可以去掉，不等式f(x)>x可以化為x€(0,1)

時(shí)|ax-1|<1,分情況討論即可求得結(jié)果.

(~2,x<-1,

詳解：(1)當(dāng)a=l時(shí),f(x)=|x+l|-|x-l|,即f(x)=2x,-1<x<l,

I2,x>l.

故不等式f(x)>1的解集為{x[x>]}.

(2)當(dāng)x€(0,1)時(shí)|x+1|-|ax-1|>x成立等價(jià)于當(dāng)x€(0,1)時(shí)|ax-1|v1成立.

若agO,則當(dāng)x€(0,1)時(shí)|ax-1|21;

、22

若a>0,|ax-1|v1的解集為0<xv-，所以-21,故0<aS2.

aa

綜上，a的取值范圍為(0,2].

19

2017全國(guó)卷1理科數(shù)學(xué)試題解析

1.已知集合爾{x|K1},B=[x]3r<1},則

A.AnB={%|x<0}B.A|J3=R

C.AUB={x|x>l}D.AC\B=0

【答案】A

【解析】試題分析：由3*<1可得3*<3°,則x<0,即5={x|x<0},所以

AQS={x|x<1}0{%|x<0}

={x|x<0},AIJ5={x|%<1}U{%l%<0}={%l無(wú)<1},故選A.

【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

【拓展】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖

進(jìn)行處理.

2.如圖，正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色

部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率

是

20

【答案】B

【解析】試題分析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為。，則圓的半徑為3,正方形的面積為圓的面

2

積為——.由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由

4

171a之

幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是2,4=,選民

a28

秒殺解析：由題意可知，此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例，

由圖可知其概率2滿足;<p<；,故選B.

【考點(diǎn)】幾何概型

【拓展】對(duì)于幾何概型的計(jì)算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長(zhǎng)度、

面積、體積或時(shí)間)，其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后

計(jì)算P(A).

3.設(shè)有下面四個(gè)命題

Pi：若復(fù)數(shù)z滿足一eR,則zeR;

z

p2：若復(fù)數(shù)z滿足z?eR,則zeR;

：2z/2ez=Z2；

p3若復(fù)數(shù)々/滿足R,則

P4：若復(fù)數(shù)zeR,則5eR.

其中的真命題為

A.Pi，P3B.p?p4C.p2,p3D.p2,p4

【答案】B

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)

【拓展】分式形式的復(fù)數(shù)，分子、分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)成z=a+bi(a,beR)

的形式進(jìn)行判斷，共軻復(fù)數(shù)只需實(shí)部不變，虛部變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)即可.

4.記S”為等差數(shù)列｛&“｝