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文檔簡介

廣西南寧二中2024年高三第三次測評數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.2.下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.53.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.4.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q5.在中所對的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.6.在中,已知,,,為線段上的一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.7.把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.8.函數(shù)的最大值為,最小正周期為,則有序數(shù)對為()A. B. C. D.9.過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點,若為線段的中點,且(為坐標(biāo)原點),則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)(,)的一個零點是,函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()11.設(shè),,,則()A. B. C. D.12.已知雙曲線,過原點作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P,Q兩點,以線段PQ為直徑的圓過右焦點F,則雙曲線離心率為A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在正四棱柱中,P是側(cè)棱上一點,且.設(shè)三棱錐的體積為,正四棱柱的體積為V,則的值為________.14.在四面體中,與都是邊長為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_______.15.已知函數(shù)恰好有3個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為____16.已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限,則實數(shù)的范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱錐中,,點、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長.18.(12分)已知,點分別為橢圓的左、右頂點,直線交于另一點為等腰直角三角形,且.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)過點的直線與橢圓交于兩點,總使得為銳角,求直線斜率的取值范圍.19.(12分)如圖,在三棱柱中,,,,為的中點,且.(1)求證:平面;(2)求銳二面角的余弦值.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:.過點的直線:(為參數(shù))與曲線相交于,兩點.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若,求實數(shù)的值.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點.(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.22.(10分)若正數(shù)滿足,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖,關(guān)鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.3、C【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù),再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關(guān)系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系,意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M點睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運用、幾何概型的特征與計算公式的運用等知識與方法的綜合運用,以及分析問題解決問題的能力。5、D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

在中,設(shè),,,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求,可得,再由已知條件求得,,,考慮建立以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系,根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中,設(shè),,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,則,所以,,解得,.以所在的直線為軸,以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則、、,為線段上的一點,則存在實數(shù)使得,,設(shè),,則,,,,,消去得,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因此,的最小值為.故選:A.【點睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題,綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題,解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量,從而可用、表示,建立、與參數(shù)的關(guān)系,解決本題的第二個關(guān)鍵點在于由,發(fā)現(xiàn)為定值,從而考慮利用基本不等式求解最小值,考查計算能力,屬于難題.7、D【解析】

試題分析:把函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個對稱中心為,故選D.考點:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).8、B【解析】函數(shù)(為輔助角)∴函數(shù)的最大值為,最小正周期為故選B9、C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點,∴,則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴,即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛:本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì),考查了離心率的求解,同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關(guān)系應(yīng)用,對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個零點是,得出,再根據(jù)是對稱軸,得出,求出的最小值與對應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因為,所以().又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時,的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點,在對稱軸處取得最值,對稱點處函數(shù)值為零,屬于較易題目.11、A【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】,,,因此,故選:A.【點睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程,求得兩點坐標(biāo)的關(guān)系,根據(jù)列方程,化簡后求得離心率.【詳解】設(shè),依題意直線的方程為,代入雙曲線方程并化簡得,故,設(shè)焦點坐標(biāo)為,由于以為直徑的圓經(jīng)過點,故,即,即,即,兩邊除以得,解得.故,故選B.【點睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點,考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解:設(shè)正四棱柱的底面邊長,高,則,即故答案為:【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進而可得球的面積.【詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點,連接,,過做于點,易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題,外接球的半徑的求解一般有兩個思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.15、【解析】

恰好有3個不同的零點恰有三個根,然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域即可.【詳解】解:恰好有3個不同的零點恰有三個根,令,,在遞增;,遞減,遞增,時,在有一個零點,在有2個零點;故答案為:.【點睛】已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍是重點也是難點,這類題一般用分離參數(shù)的方法,中檔題.16、【解析】

由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點,在第二象限,得,且,從而求出實數(shù)的范圍.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限,∴,且,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系,解不等式,且是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】試題分析:由于圖形是正四棱錐,因此設(shè)AC、BD交點為O,則以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可用空間向量法解決問題.(1)只要證明=0即可證明垂直;(2)設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量為,利用法向量夾角與二面角相等或互補可求得.試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點O,以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因為PA=AB=,則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N,由=,得M,所以,=(-1,-1,0).因為=0,所以MN⊥AD(2)解:因為M在PA上,可設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ).所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).設(shè)平面MBD的法向量=(x,y,z),由,得其中一組解為x=λ-1,y=0,z=λ,所以可?。?λ-1,0,λ).因為平面ABD的法向量為=(0,0,1),所以cos=,即=,解得λ=,從而M,N,所以MN==.考點:用空間向量法證垂直、求二面角.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由題意可知:由,求得點坐標(biāo),即可求得橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)直線,代入橢圓方程,由韋達定理,由,由為銳角,則,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式,即可求得直線斜率的取值范圍.【詳解】解:(Ⅰ)根據(jù)題意是等腰直角三角形,,設(shè)由得則代入橢圓方程得橢圓的方程為(Ⅱ)根據(jù)題意,直線的斜率存在,可設(shè)方程為設(shè)由得由直線與橢圓有兩個不同的交點則即得又為銳角則即②由①②得或故直線斜率可取值范圍是【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,韋達定理,考查計算能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)證明后可得平面,從而得,結(jié)合已知得線面垂直;(2)以為坐標(biāo)原點,以為軸,為軸,為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),寫出各點坐標(biāo),求出二面角的面的法向量,由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為,為中點,所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,兩兩垂直,所以以為坐標(biāo)原點,以為軸,為軸,為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,令,則;設(shè)平面的法向量,則,即,令,則,所以.故銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查證明線面垂直,解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角,求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法易得結(jié)論.20、(1),;(2).【解析】

(1)將代入求解,由(為參數(shù))消去即可.(2)將(為參數(shù))與聯(lián)立得,設(shè),兩點對應(yīng)的參數(shù)為,,則,,再根據(jù),即,利用韋達定

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