2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修4

PAGE平面對(duì)量應(yīng)用舉例(20分鐘35分)1.(2024·廊坊高一檢測(cè))假如一架飛機(jī)先向東飛行200km,再向南飛行300km,設(shè)飛機(jī)飛行的路程為skm,位移的模為akm,則()A.s>a B.s<aC.s=a D.s與a不能比較大小【解析】選A.物理量中的路程是數(shù)量,位移是向量,從而s=500,由位移的合成易得a<500,故s>a.2.在△ABC中,AB=3,AC邊上的中線BD=QUOTE,·=5,則AC的長(zhǎng)為 ()A.1B.2C.3D.4【解析】選B.因?yàn)?-=QUOTE-,所以==QUOTE-·+,即QUOTE=1,所以||=2,即AC=2.3.若四邊形ABCD滿意+=0,(-)·=0,則該四邊形肯定是 ()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.直角梯形【解析】選C.因?yàn)?=0,所以=,所以四邊形ABCD是平行四邊形.由(-)·=0,得·=0,所以⊥,即此平行四邊形對(duì)角線相互垂直,故肯定是菱形.4.河水的流速為2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?則小船在靜水中的速度大小為 ()A.10m/s B.2QUOTEm/sC.4QUOTEm/s D.12m/s【解析】選B.由題意知|v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意圖如圖.所以小船在靜水中的速度大小|v|=QUOTE=QUOTE=2QUOTE(m/s).5.若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿意(-)·(+-2)=0,則△ABC的形態(tài)為.

【解析】(-)·(+-2)=(-)·(-+-)=(-)·(+)=||2-||2=0,所以||=||,所以△ABC為等腰三角形.答案:等腰三角形6.已知等腰△ABC中,BB′,CC′是兩腰的中線,且BB′⊥CC′,求頂角A的余弦值.【解析】以底邊BC所在的直線為x軸,以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)A(0,a),C(c,0),則B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0),=(c,-a).因?yàn)锽B′,CC′分別為AC,AB邊上的中線,所以′=QUOTE(+)=QUOTE,′=QUOTE(+)=QUOTE.又因?yàn)椤洹汀?所以QUOTEc·QUOTE+QUOTE·QUOTE=0,即a2=9c2.所以cos∠BAC==QUOTE=QUOTE,即△ABC的頂角A的余弦值是QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.O是平面ABC內(nèi)的肯定點(diǎn),P是平面ABC內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),若(-)·(+)=(-)·(+)=0,則O為△ABC的 ()A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心【解析】選B.因?yàn)?-)·(+)=0,則(-)·(+)=0,所以-=0,所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O(shè)為△ABC的外心.2.已知兩個(gè)力F1,F2的夾角為90°,它們的合力大小為10N,合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為()A.5N B.5QUOTEN C.5QUOTEN D.10N【解析】選A.畫出圖形,如圖所示,由題意|F1+F2|=10,所以|F1|=|F1+F2|cos60°=5N.3.(2024·宜賓高一檢測(cè))如圖,△ABC的外接圓的圓心為O,AB=2,AC=3,則·等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.3【解析】選B.·=·(-)=·-·,因?yàn)镺A=OB,所以在上的投影為QUOTE||,所以·=QUOTE||·||=2,同理·=QUOTE||·||=QUOTE,故·=QUOTE-2=QUOTE.4.在直角三角形ABC中,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn),則QUOTE= ()A.2 B.4 C.5 D.10【解析】選D.將△ABC各邊及PA,PB,PC均用向量表示,則QUOTE=====-6=42-6=10.5.如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且2+2+=0,則S△ABP∶S△ABC= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.設(shè)AB的中點(diǎn)是D,連接PD.因?yàn)?=2=-QUOTE,所以=-QUOTE,所以C,P,D三點(diǎn)共線且P為CD的五等分點(diǎn),所以△ABP的面積為△ABC的面積的QUOTE,即QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P,滿意++=,則△PAB與△ABC的面積的比值是.

【解析】由題意可得+++=0,所以+2=0,即=2,所以P是線段AC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)A),易知S△PAB=QUOTES△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.答案:1∶3二、填空題(每小題5分,共15分)6.單位圓上三點(diǎn)A,B,C滿意++=0,則向量,的夾角為.

【解析】因?yàn)锳,B,C為單位圓上三點(diǎn),所以||=||=||=1,又因?yàn)?+=0.所以-=+.所以=(+)2=++2·,設(shè),的夾角為θ,可得cosθ=-QUOTE.所以向量,的夾角為120°.答案:120°7.如圖,甲,乙兩人同時(shí)拉動(dòng)一個(gè)有繩相縛的物體,當(dāng)甲,乙所拉著的繩子與中直線分別成30°和60°的角時(shí),甲和乙的手上所承受的力的比是.

【解析】|F甲|∶|F乙|=cos30°∶cos60°=QUOTE∶1.答案:QUOTE∶18.(2024·張掖高一檢測(cè))已知平面上直線l與向量e所在直線平行且e=QUOTE,點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O′和A′,若=λe,則λ=.

【解析】因?yàn)?(1,-2),設(shè)與e的夾角是θ,因?yàn)閑=QUOTE,則·e=-2,即||·|e|cosθ=-2,所以cosθ=-QUOTE,在e方向上的投影為||cosθ=-2,所以=-2e.答案:-2三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,若D為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2,求證:AD⊥BC.【證明】方法一:設(shè)=a,=b,=e,=c,=d,則a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.因?yàn)閍2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因?yàn)?+=d-c,所以·=e·(d-c)=0.又因?yàn)椤?,≠0,所以⊥,即AD⊥BC.方法二:因?yàn)閨AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2,所以||2-||2=||2-||2.所以(+)·(-)=(+)·(-),即(+)·=(+)·,所以·(+--)=0.即2·=0,所以⊥,即CB⊥AD.10.已知圓C:(x-2)2+y2=4,圓M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),過(guò)圓M上隨意一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PE,PF,切點(diǎn)分別為E,F,求·的最小值.【解析】圓C:(x-2)2+y2=4的圓心C(2,0),半徑為2,圓M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1,圓心M(2+5cosθ,5sinθ),半徑為1,因?yàn)镃M=5>2+1,故兩圓相離.因?yàn)椤?||||cos∠EPF,要使·最小,需||||最小且∠EPF最大.如圖所示,設(shè)直線CM和圓M交于H,G兩點(diǎn),則·最小值是·,HC=CM-1=5-1=4,HE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE,sin∠CHE=QUOTE=QUOTE,所以cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE=QUOTE,·=||·||cos∠EHF=2QUOTE×2QUOTE×QUOTE=6.即·的最小值為6.1.(2024·陽(yáng)泉高一檢測(cè))如圖所示,在矩形ABCD中,AB=QUOTE,BC=3,BE⊥AC,垂足為E,則ED=.

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(0,QUOTE),C(3,QUOTE),D(3,0),=(3,QUOTE),設(shè)=λ,則E的坐標(biāo)為(3λ,QUOTEλ),故=(3λ,QUOTEλ-QUOTE).因?yàn)锽E⊥AC,所以·=0,即9λ+3λ-3=0,解得λ=QUOTE,所以EQUOTE.故=QUOTE,||=QUOTE,即ED=QUOTE.答案:QUOTE2.在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn),試問(wèn):在線段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P使得PC⊥BM?【解析】以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3,4),C(6,0).則=(3,-4),由于M點(diǎn)是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).所以=QUOTE=QUOTE,于是M