第7章 材料專業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)

第7章材料專業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)7.1三角函數(shù)復(fù)習(xí)及其應(yīng)用7.2平面向量及其應(yīng)用7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與體積7.4高等數(shù)學(xué)計算面積與體積7.5行列式矩陣及其應(yīng)用(見第3章)7.6概率統(tǒng)計及應(yīng)用(見第4章)返回7.1三角函數(shù)復(fù)習(xí)及其應(yīng)用7.1.1三角函數(shù)的定義1.直角三角形中三角函數(shù)的定義在直角三角形ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，一個銳角的正弦，余弦，正切，余切的定義如下:正弦:一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦.余弦:一個銳角的鄰邊與斜邊的比叫做這個角的余弦.正切:一個銳角的對邊與鄰邊的比叫做這個角的正切.余切:一個銳角的鄰邊與對邊的比叫做這個角的余切.下一頁返回7.1三角函數(shù)復(fù)習(xí)及其應(yīng)用例7-1游樂園里有一秋千，秋千鏈子的長度為2.5m，當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60°，且向兩邊擺動的角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差(結(jié)果精確到0.01m).解如圖7.1所示，根據(jù)題意可知，答:當(dāng)秋千擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差為0.34m.上一頁下一頁返回7.1三角函數(shù)復(fù)習(xí)及其應(yīng)用2.直角坐標(biāo)系中三角函數(shù)的定義(見6.1節(jié))7.1.2三角形的正弦定理和余弦定理「先行問題]一艘船以30km/h的速度從A點出發(fā)向正北方向航行，在A處看燈塔S在船的北偏東30度，30分鐘后船航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東75度方向上，求此時燈塔5到召處的距離.常用的方法是:根據(jù)題意，將已知條件轉(zhuǎn)化到△ABS中，燈塔S到B處的距離就是邊BS的長度，解△ABS求出邊BS即為所求結(jié)果.正弦定理:在三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，其中R為三角形ABC的外接圓半徑.上一頁下一頁返回7.1三角函數(shù)復(fù)習(xí)及其應(yīng)用例7-2如圖7.2所示，自動卸貨汽車采用液壓機構(gòu)，設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度.已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m,AB與水平線之間的夾角為6°20',AC長為1.40m，計算BC的長(保留三位有效數(shù)字).上一頁下一頁返回7.1三角函數(shù)復(fù)習(xí)及其應(yīng)用例7-3如圖7.3是曲柄連桿機構(gòu)的示意圖，當(dāng)曲柄CB繞C,點旋轉(zhuǎn)時，通過連桿AB的傳遞，活塞作往復(fù)直線運動，當(dāng)曲柄CB在初始位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在A0處，設(shè)連桿AB長為340mm,曲柄CB長為85mm,曲柄CB按順時針方向旋轉(zhuǎn)80°，求活塞移動的距離(即連桿的端點A移動的距離A0A)(精確到lmm).解(如圖7.3)在△ABC中，由正弦定理可得:上一頁下一頁返回7.1三角函數(shù)復(fù)習(xí)及其應(yīng)用7.1.3正弦型函數(shù)及其物理意義(見6.1節(jié)）上一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用「先行問題]假設(shè)兩振動方程為: .試求這兩振動產(chǎn)生共振后的振動方程?由物理學(xué)知識知道，兩振動如果頻率相同就會發(fā)生共振，此題符合共振的條件.要求的共振方程即兩振動方程的和方程A1+A2，用三角變換也可以求出結(jié)果方程，但運算相對復(fù)雜，一也容易出錯，其意義一也不是很明確.如果用向量法，既不容易出錯又可以清楚地看出共振結(jié)果的意義.7.2.1向量的概念1.向量的定義既有方向，又有大小的量叫做向量.如物理學(xué)中的位移、速度、力、加速度等.下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用2.用有向線段表示向量在畫圖時，向量一般用有向線段表示，用有向線段的長度表示大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.3.向量的表示向量可用小寫字母表示:a;或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示:;還可以用坐標(biāo)表示向量:在直角坐標(biāo)系中，分別取于x軸y軸方向相同的兩個單位向量i,j，對任意一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a=xi+yj.把(x，y)叫做a的坐標(biāo)，記作a=(x，y);一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).即:若A=(x1,y1)，B=(x2，y2),4.向量的模上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用5.零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0.零向量的方向不確定，是任意的.6.單位向量長度等于1個單位的向量，叫做單位向量.7.平行向量、共線向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量;平行向量一也叫做共線向量.任意向量a都與它自身是平行向量，并且規(guī)定零向量與任一向量都是平行向量.8.相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.若向量a與向量b相等，記作a=b上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用「課堂練習(xí)]一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點，然后又改變方向向西偏北500走了200km到達C,點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達D點.上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用7.2.2向量的加法1.向量加法的定義已知向量a,b，在平面內(nèi)任取一點A，

則向量叫做a與b的和，記作a+b,即求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.對于零向量與任一向量a，仍有O+a=a+0=a. 2.向量加法的三角形法則根據(jù)向量加法的定義求向量和的方法，叫做向量加法的三角形法則.使用三角形法則特別要注意“首尾相接”，具體做法是:把用小寫字母表示的向量，用兩個大寫字母表示(其中后面向量的起點與前一個向量的終點重合，即用同一個字母來表示)，則有第一個向量的起點上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和.3.向量加法的平行四邊形法則先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就是這兩個已知向量的和.4.向量加法的坐標(biāo)運算若a=(x1,y1)，b=(x2，y2),則a+b=即兩個向量的和的坐標(biāo)，等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.(圖7.5)向量的加法滿足交換律和結(jié)合律:交換律:a+b=b+a結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用7.2.3向量的減法1.相反向量與a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a.零向量的相反向量仍是零向量.關(guān)于相反向量有:-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0；若a,b是互為相反向量的向量，則a=-b,b=-a,a+b=0.2.向量的減法向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差，即a-b=a}<-b>.求兩個向量差的運算叫做向量的減法.上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用3.向量減法的作圖法在平面內(nèi)任取一點O，作表示從向量b的終點指向向量a的終點的向量.4.向量減法的坐標(biāo)運算即兩個向量的差的坐標(biāo)，等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.說明:(1)在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數(shù)向量”即可;(2)以向量

為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線向量為上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用例7-4如圖7.6所示，一艘船從A點出發(fā)以 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的速度為2km/h,求船實際航行速度的大小和方向.解設(shè)

表示船向垂直于對岸行駛的速度，

表示水流的速度，以AD、AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實際航行的速度.答:船實際航行速度的大小為4km/h，方向與水流方向的夾角為60°.上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用7.2.4應(yīng)用舉例解如圖7.7所示,上一頁下一頁返回7.2平面向量及其應(yīng)用(圖7.8),求得上一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積7.3.1平面圖形的面積「先行問題]試求要做一扇如右圖的鐵皮拱形門(圖7.9)，需要鐵皮多少平方米?已知門的下半部分矩形的長1m、高2m，上半部分為半圓.顯然，要計算整扇門的面積，只需要分別計算出上下兩部分的面積S，然后相加就可以了，即分別計算矩形和半圓的面積.1.規(guī)則平面圖形的周長、面積和立體圖形的表面積公式(表7-1)下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積2.求平面圖形面積的基本方法割補法:即將一個比較復(fù)雜的平面圖形分割或填補成常見規(guī)則的平面圖形，再分塊進行計算.3.應(yīng)用舉例上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積例7-9如圖7.10所示，正方形ABCD的邊長是4cm，長方形DEFG的長DG=5cm則長方形的寬DE為多少厘米?解做輔助線，連接AG,△AGD的面積既是長方形DEFG面積的一半，又是正方形ABCD面積的一半，因此長方形DEFG面積=正方形ABCD面積=4X4.所以長方形DEF‘的寬DE=4X4÷5=3.2cm例7-10求下列圖7.11中各圖陰影部分的面積:解(1)如圖7.12所示，將左圖的陰影部分分為兩部分，然后按照右圖所示，將這兩部分分別拼補在陰影位置.可以看出，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差.上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積即πX4X4÷4-4X4÷2=4.56.(2)在題圖虛線分割的兩個正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為5的四分之一個圓，在左邊正方形中空自部分是半徑為5的四分之一個圓.如圖7.13所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中.可以看出，原題圖的陰影部分正好等于一個正方形的面積，為5X5=25.例7-11在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段(見圖7.14)，求圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的比例.解陰影部分是一個梯形.我們用三種方法解答.(1)割補法上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形.將這兩個直角三角形拼成一個長方形(見圖7.15).顯然，陰影部分正好是長方形的1/3，所以原題陰影部分占整個圖形面積的1/3.(2)拼補法將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形(圖7.16(a)).顯然，圖中陰影面積占平行四邊形面的1/3，將陰影面積和平行四邊形面積之同時除以2，商不變.所以原題陰影部分占整個圖形面積的1/3.(3)等分法將原圖等分成9個小三角形(見圖7.16(b)，陰影部分占3個小三角形，所以陰影部分占整個圖形面積的上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積注意，后兩種方法對任意三角形都適用.也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其他條件不變，結(jié)論仍然成立.例7-12如圖7.17左圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長5厘米、下底長9厘米的等腰梯形(陰影部分).求這個梯形的面積.解因為不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面積.可以從等腰直角三角形與正方形之間的聯(lián)系上考慮.將四個同樣的等腰直角三角形拼成一個正方形(圖7.17右圖)，圖中陰影部分是邊長9cm與邊長5cm的兩個正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍.所以所求梯形面積是(9X9-5X5)÷4=14(cm2).例7-13在圖7.18左圖的直角三角形中有一個矩形，求矩形的面積.上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積解題中給出了兩個似乎毫無關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，無法溝通與矩形的聯(lián)系.我們給這個直角三角形再拼補上一個相同的直角三角形(見圖7.18右圖).因為A與A',B與B'面積分別相等，所以甲、乙兩個矩形的面積相等.乙的面積是4X6=24，所以甲的面積，即所求矩形的面積一也是24.例7-14下圖7.19中，甲、乙兩個正方形的邊長的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40cm2.求乙正方形的面積.解如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的A,B,C三部分之和就是40cm2(見圖7.20(a)).把C,割下，拼補到乙正方形的上面(見圖7.20(b))，這樣A,B,C三塊就合并成一個長20厘米的矩形，面積是40cm2，寬是40÷20=2(cm).這個寬恰好是兩個正方形的邊長之差，由此可求出乙正方形的邊長為(20-2)÷2=9(cm)，從而乙正方形的面積為9X9=81(cm2).上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積7.3.2幾何體的表面積、體積「先行問題]一水塔如圖7.21所示，底部的底面直徑4m，底部圓柱體的高4m，頂

部圓錐的母線長

，求此水塔的體積和表面積.顯然，要求水塔的體積和表面積，可以把水塔分割成兩部分，底部是圓柱體、頂部是圓錐體，圓柱體和圓錐體的體積之和為此水塔的體積，圓柱體、圓錐體的側(cè)面積和底面圓的面積之和為此水塔的表面積.1.幾何體表面積的計算(1)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積將側(cè)面沿母線展開在平面上，則其側(cè)面展開圖的面積即為側(cè)面面積.①圓柱的側(cè)面展開圖一矩形(圖7.22)上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積圓柱的側(cè)面積其中:r為底面半徑;l為母線長;c為底面周長.②圓錐的側(cè)面展開圖一扇形(圖7.23)圓錐的側(cè)面積③圓臺的側(cè)面展開圖——扇環(huán)(圖7.24)圓臺的側(cè)面積上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積

上下底面周長.(2)直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積把側(cè)面沿一條側(cè)棱展開在一個平面上，則側(cè)面展開圖的面積就是側(cè)面的面積.①柱的側(cè)面展開圖——矩形(圖7.25)直棱柱的側(cè)面積:②錐的側(cè)面展開圖——多個共點三角形(圖7.26)正棱錐的側(cè)面積上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積③正棱臺的側(cè)面展開圖——多個等腰梯形(圖7.27)正棱臺的側(cè)面積:說明:這個公式實際上是柱體、錐體和臺體的側(cè)面積公式的統(tǒng)一形式上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積(3)球冠、球面面積(4)例題分析例7-15有一根長為5cm,J氏面半徑為lcm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端A、D(圖7.28)，則鐵絲的最短長度為多少厘米?例7-16設(shè)計一個正四棱錐形的冷水塔頂(圖7.29)，高是0.85m，底面的邊長是1.5m，制造這種塔頂需要多少平方米鐵板?(保留兩位有效數(shù)字)上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積2.幾何體的體積(1)棱柱和圓柱的體積其中:S為柱體的底面積;h為柱體的高.

斜棱柱的體積=直截面的面積X側(cè)棱長.(2)棱錐和圓錐的體積上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積其中:S為錐體的底面積;h為錐體的高.(3)棱臺和圓臺的體積說明:這個公式實際上是柱、錐、臺體的體積公式的統(tǒng)一形式:上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積其中:R為球體的半徑;h為球缺的高.3.簡單的組合幾何體的表面積和體積——割補法的應(yīng)用割——把不規(guī)則的組合幾何體分割為若干個規(guī)則的幾何體;補——把不規(guī)則的幾何體通過添補一個或若干個幾何體構(gòu)造出一個規(guī)則的新幾何體，如正四面體可以補成一個正方體，如圖7.30所示.例7-17求棱長為

的正四面體的體積.分析將正四面體通過補形使其成為正方體，然后將正方體的體積減去四個易求體積的小三棱錐的體積.解如圖7.31所示，將正四面體補形成一個正方體，則正方體的棱長為1，則:上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積點S出發(fā)的三條棱SA,SB,SC的長，α，β為點S處的兩個面角∠BSC,∠ASC,C為這兩個面所夾二面角的大小.證明通過補形，可將此三棱錐補成一個三棱柱，如圖7.32.則該三棱柱的體積可以利用“直截面面積X側(cè)棱長”來進行求解，若設(shè)過A點的直截面為AHD，則由題意知:∠ADH=C;從而有上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積例7-19在球心的同側(cè)有相距為9的兩個平行截面，它們的面積分別為49π和400π，求球的表面積和體積.分析畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)求球的半徑解設(shè)球的半徑為R,O為球心，O1、O2分別是截面圓的圓心，如圖7.33.則O1A=7,O2B=20,OA=OB=R，從而分別解三角形OO2B和三角形OO1A得到OO1和OO2，由OO1-OO2=9解得R=25，從而球的表面積

為2500π，球的體積為上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積4.擬柱體通用體積公式擬柱體:所有的頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體.它在這兩個平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面.其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底面之間的距離叫做擬柱體的高.萬能體積公式其中:h是幾何體的高;S1是幾何體的上底面面積;S2是幾何體的下底面面積;S0是幾何體的中截面面積.它可以求任何多面體和旋轉(zhuǎn)體的體積.它可以推出柱體、錐體、球體的體積公式.上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積例7-20如圖7.34所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE,△BCF均為正三角形，EF//AB,EF=2，則該多面體的體積為（）.上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積例7-21如圖7.35所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB,EF=3/2,EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）.上一頁下一頁返回7.3初等數(shù)學(xué)計算面積與休積上一頁返回7.4高等數(shù)學(xué)計算面積與休積「先行問題」已知一橢圓的長軸長為2a,短軸長為2b，求此橢圓的面積.顯然，我們無法用初等數(shù)學(xué)的方法把橢圓分割為幾個規(guī)則圖形的面積之和或補充為一個規(guī)則圖形的形式來計算其面積，但如果我們用積分的方法來計算就非常容易了，方法如下:如圖7.41所示，將橢圓放入直角坐標(biāo)系中(以橢圓中心為坐標(biāo)原點，長軸所在直線為二軸建立坐標(biāo)系)

πad下一頁返回7.4高等數(shù)學(xué)計算面積與休積7.4.1求平面圖形的面積1.方法和步驟一般地，平面圖形的面積都可以用積分的方法求出，方法如下:(1)觀察圖形的特性，對圖形進行適當(dāng)分割，分塊求其面積.(2)將不可直接用公式求出面積的塊，適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系(將平面圖形放入直角坐標(biāo)系中)，求出圖形周界對應(yīng)的曲線方程(可以是由多條曲線圍成的封閉圖形);(3)用積分法求出分割出的每一塊的面積，累加就得出整個圖形的面積.注:如果圖形比較復(fù)雜，需分成多塊，則每一塊可分別建立不同的坐標(biāo)系來求出其面積.上一頁下一頁返回7.4高等數(shù)學(xué)計算面積與休積2.應(yīng)用舉例例7-22如圖7.42是一平面工件的一部分，曲線部分是拋物線，數(shù)據(jù)見圖，單位cm，求此工件的面積.分析將工件如右圖建立直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系下求出該拋物線的方程，然后再用積分的方法求出工件的面積.解如圖，A點的坐標(biāo)為A(40,20)，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px，將A點坐標(biāo)代入得，202=2p×40,p=5.該拋物線的方程為y2=10x,于是所求工件的面積例7-23已知球冠的高為h，對應(yīng)的球的半徑為R，求此球冠的面積.分析應(yīng)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，求出面積微元和積分區(qū)間，再用定積分