2025屆浙江杭州市高三一模高考數(shù)學試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年第一學期杭州市高三年級教學質量檢測數(shù)學試題卷考生須知:1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.請用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡指定的區(qū)域（黑色邊框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的作答無效!3.考試結束，只需上交答題卡.一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡的相應位置.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)3．已知直線y=2x是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（

）A． B． C． D．或4．將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則"是偶函數(shù)"是""的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知向量，若，則（

）A．1或 B．或C．或2 D．或16．設，滿足.若函數(shù)存在零點，則（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A．1 B．2 C．3 D．28．對，不等式恒成立，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則在0,1上單調遞減D．若，則在上單調遞增11．已知函數(shù)的定義域為，若，則（

）A． B．C． D．三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．曲線在點處的切線的斜率是.13．已知復數(shù)的實部和虛部都不為0，滿足①；②.則，.（寫出滿足條件的一組和）14．已知雙曲線都經(jīng)過點，離心率分別記為，設雙曲線的漸近線分別為和.若，則.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知在中，.(1)判斷的形狀，并說明理由;(2)若點在AB邊上，且.若，求的面積.16．在直角坐標系中，拋物線的焦點為，點在拋物線上，若的外接圓與拋物線的準線相切，且該圓的面積為.(1)求的方程;(2)若點關于直線對稱的點在上，求的值.17．一設隨機變量所有可能的取值為，且.定義事件的信息量為，稱的平均信息量為信息熵.(1)若，求此時的信息熵;(2)最大熵原理:對一個隨機事件的概率分布進行預測時，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的狀態(tài)數(shù)最多，復雜程度最大，概率分布最均勻，這才是風險最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定.證明:，并解釋等號成立時的實際意義.（參考不等式:若，則）18．已知函數(shù).(1)若，求的單調區(qū)間;(2)若，求證:;(3)若使得，求證:.19．已知正項有窮數(shù)列，設，記的元素個數(shù)為.(1)若數(shù)列，求集合，并寫出的值;(2)若是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證:”的充要條件是“為等比數(shù)列”;(3)若，數(shù)列由這個數(shù)組成，且這個數(shù)在數(shù)列中每個至少出現(xiàn)一次，求的取值個數(shù).答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】將集合化簡，再由交集的運算，即可得到結果.【詳解】因為，則，解得，則，所以.故選：A2．B【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義，代入計算，即可得到結果.【詳解】當時，，則，當時，，則，綜上可得，f?x即函數(shù)為偶函數(shù).故選：B3．A【分析】根據(jù)漸近線方程可得，故，即可由離心率公式求解.【詳解】的漸近線方程為，因此，故，故離心率為，故選：A4．B【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的奇偶性，分別驗證命題的充分性以及必要性，即可得到結果.【詳解】由題意可得，由是偶函數(shù)可得，且，當時，，當時，，所以由是偶函數(shù)可得或，故充分性不滿足；當時，可得為偶函數(shù)，故必要性滿足；所以"是偶函數(shù)"是""的必要不充分條件.故選：B5．D【分析】由向量點的坐標先求出.和的坐標，再由兩垂直向量數(shù)量積為0建立等式，從而求得參數(shù)的值.【詳解】，∵，∴，即∴∴或.故選：D.6．B【分析】利用函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的零點判斷定理判斷選項的正誤即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，且均為單調遞增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)，由于，故，滿足，說明中有1個是負數(shù)一定是，兩個正數(shù)或3個負數(shù)，由于存在零點，故．故選：B．7．C【分析】根據(jù)，即可利用二倍角公式以及和差角公式化簡求解.【詳解】由可得，故選：C8．D【分析】令，通過舉反例說明選項A、B錯誤；對于選項C、D，通過分析可得在上恒成立，問題轉化為函數(shù)有相同的零點，計算可得選項D正確.【詳解】由得，對于選項A、B，若，可令，不等式可化為，當時，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，當時，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，∴，當時，，要使恒成立，則需，即恒成立，∴，綜上可得，不存在使得不等式恒成立，選項A、B錯誤.對于選項C、D，若，∵∴，∴，要使不等式恒成立，則需，∵函數(shù)在為增函數(shù)，∴函數(shù)有相同的零點，由得，由得，，∴，即，∴，∴，選項D正確.故選D.【點睛】思路點睛：本題考查不等式恒成立問題，具體思路如下：（1）不等式變形為.（2）對于選項A、B，若，對，與符號不確定，可取，通過分類討論得到不存在使得不等式恒成立，即可說明選項A、B錯誤.（3）對于選項C、D，若，確定恒成立，轉化為，則與同號，利用函數(shù)的單調性可知函數(shù)有相同的零點，利用零點相同可得.9．BC【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.10．ACD【分析】由，可得是的極小值點，即可判斷AB；求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可判斷CD.【詳解】對于AB，，因為，所以是的極小值點，則，解得，此時，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故A正確，B錯誤；對于C，若，則，當時，，所以在上單調遞減，故C正確；對于D，若，則，當時，，所以在上單調遞增，故D正確.故選：ACD.11．BC【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或f1的相應結論，再前面結論取特殊值得到BC選項的結論，借助前面的結論，先求出f1的值，令化簡得到即可得出結論.【詳解】令，，則令，則則，，∴或令，則若，則，矛盾，∴，則，∴A選項錯誤；令，則，∴B選項正確；令，則，則，即，C選項正確；由A、C選項中結論，令，則，則令，則，即，D選項錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：本題是已知抽象函數(shù)的關系式求相應結論，這類題目可以從特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所對的函數(shù)值，在令部分變量為特殊值，從而得出相應結論.12．【分析】對函數(shù)求導，然后在導數(shù)中令可求出所求切線的斜率.【詳解】對函數(shù)求導得，當時，，因此，所求切線的斜率為，故答案為.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)求切線的斜率，解題時要知系切線的斜率與導數(shù)之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.13．【分析】設，根據(jù)復數(shù)的乘除法運算，結合復數(shù)的模的計算公式，求出的關系即可.【詳解】設，則，，由，整理得，即，所以，可取，所以.故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）14．【分析】分和兩種情況討論，當時，不妨設，分別將雙曲線的方程用表示，再結合和離心率公式分類求出兩雙曲線的離心率即可得解.【詳解】當時，，則，當時，不妨設，則，因為雙曲線經(jīng)過點，所以，所以，因為，所以，則雙曲線的焦點在軸上，所以，同理，因為，所以，則雙曲線的焦點在軸上，所以，所以，即，綜上所述，.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.15．(1)三角形為直角三角形，(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可由余弦定理求解，繼而根據(jù)三角恒等變換可得，即可判斷三角形的形狀，（2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面積公式求解.【詳解】（1）由可得，故，進而，由于,故，又，故,化簡可得,故，由于B∈0,π,故進而,故三角形為直角三角形，（2）由于，，且為直角三角形，設，則,故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得，故

16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得外接圓的半徑以及圓心橫坐標，結合拋物線的定義即可得到圓心到準線的距離為半徑，即可得到；（2）根據(jù)題意，由點關于線對稱可得點?1,1關于直線對稱的點坐標，然后代入拋物線方程計算，即可得到結果.【詳解】（1）

因為的外接圓的面積為，則其半徑為，且外接圓的圓心一定在的垂直平分線上，其中焦點，準線方程為，所以圓心的橫坐標為，則圓心到準線的距離為，即，所以的方程為.（2）設點?1,1關于直線對稱的點為，則兩點連線的中點坐標在直線上，即，化簡可得①，由對稱性又可知，?1,1和所在直線與垂直，則②，聯(lián)立①②可得，，解得，所以，又因為在拋物線上，則，即，即，即，即，所以，其中時，，所以，所以，即.17．(1)(2)證明見詳解.【分析】（1）通過條件求出的值，代入信息熵的公式化簡得到結果；（2）由參考不等式及題意得到不等式，取出最大對應的的值，即可證明，由題意可以分析得到取等號時的實際意義.【詳解】（1）當時，，且，∴，∴（2）令，則，∴有題意可知當時，風險最?。ㄗ詈侠恚┑臎Q定，∴當隨機變量中每個變量發(fā)生的概率相同的時候，這時事物中每一個結果發(fā)生的可能性相同，情況分析是最復雜的，也是最合理的.18．(1)單調遞減區(qū)間是0,+∞(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）利用導函數(shù)求得的最大值，再得到在上遞減；（2）時函數(shù)值恒為負數(shù)，所以研究的最大值，借助導函數(shù)得到在區(qū)間上小于0，所以函數(shù)單減，從而得到函數(shù)值一定小于0，得證；（3）利用導函數(shù)求單調區(qū)間，由此得出的所在區(qū)間，構造直線使得與的交點見距離等于不等式兩邊的值，再由線段長短得出相應結論.【詳解】（1）當時，，，則令，則，令，∵，∴，∴在區(qū)間上單調遞減增，在區(qū)間上單調遞減，∴，∴的單調遞減區(qū)間是，無增區(qū)間.（2）∵，當時，顯然成立，當時，，令，∴，∴在區(qū)間上單調遞減，∴，∴在區(qū)間上單調遞減，∴，綜上所述，當時，.（3），∴，令，則，∴在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∵，∴.不妨設，則，，先證：，易知在處的切線方程為，該切線與直線的交點的橫坐標為，令，則，當時，，此時，∴當時，圖像在下方.∴，∴，再證，設，，易知直線方程為，直線方程為，則直線，與直線交點的橫坐標為，，∴，∵，同理可證：，∴，類似的可以證明，∴，即，∴【點睛】思路點睛：本題不等式證明可以分別證明兩邊成立，因為是與的交點，可以構造其他交點使得線段長度等于不等式兩端的值，再證明點的位置，得到線段長度即可得證.19．(1)，；(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用集合的定義直接求解即可；（2）分充分性和必要性兩個方面分別證明，利用題中給出的集合的定義分析即可；（3）通過分析可知，且，設數(shù)列此時,然后對數(shù)列分別作變換進行分析求解，即可得到答案．【詳解】（1）因為，，，，故所以，；（2）充分性：若是等比數(shù)列，設公比為．不妨考慮數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．則當時，．所以，故，得證.必要性：若．因為是遞增數(shù)列，所以，所以且互不相等,又，所以，又，所以，且互不相等．所以，，，．所以，所以為等比數(shù)列；若為單調遞減數(shù)列，同理可證.（3）因為數(shù)列