高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線平面平行的判定與性質(zhì) 學(xué)案

第四講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

知識梳理?雙基自測

園國畫園

知識點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

a------b------a------

圖形

JL_/

百ua,房a.,a//a,au8,

條件dCla=0—a〃a

a〃b_acn=2

結(jié)論allab//a.aAa=0_all,

知識點二面面平行的判定與性質(zhì)

判定

性質(zhì)

定義定理

7%aCb/%b/'1/3k/

圖形

___/X/X/

_au￡,6u￡,a〃￡,

_aPI￡=0

條件aPlb=P,a.Cly=a,a〃￡,au￡

a//ct,b//a.￡P(guān)ly=b

結(jié)論a〃￡a〃￡a//ba//a.

網(wǎng)畫國醫(yī)］

1.垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若aA.(3,則a〃￡”.

2.垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若bVa,則a〃6”.

3.平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若a〃f,￡〃y,則a〃廣

|雙||基||自阿

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（1）若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平

面.（X）

（2）平行于同一條直線的兩個平面平行.（X）

（3）如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平

行.（X）

（4）如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異

面.（J）

（5）若直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a.（X）

（6）若a〃￡,直線a〃a,則￡.（X）

題組二走進教材

2.（必修2P58練習(xí)T3）設(shè)a,6是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，則

a〃￡的一個充分條件是（D）

A.存在一條直線a,a//a,a///3

B.存在一條直線a,aua,a〃￡

C.存在兩條平行直線a,b,aua,6u￡,b//a

D.存在兩條異面直線a,b,aua,6u￡,a〃￡,b//a

［解析］對于選項A,若存在一條直線a,a//a,a//H,則a〃￡或a與￡

相交，若?！ā?則存在一條直線a,使得a〃a,a〃￡,所以選項A的內(nèi)容是a

〃￡的一個必要條件；同理，選項B,C的內(nèi)容也是a〃￡的一個必要條件而不是充

分條件；對于選項D,可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直

線，則有a〃￡,所以選項D的內(nèi)容是a〃￡的一個充分條件.故選D.

題組三走向高考

3.（2019?課標(biāo)全國II）設(shè)a,￡為兩個平面，則a〃￡的充要條件是（B）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a,￡平行于同一條直線

D.a,￡垂直于同一平面

4.（2017?課標(biāo)全國I）如圖，在下列四個正方體中，A,6為正方體的兩個頂點，

肌”,0為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面解Q不平行的是（A）

MM

ABCD

［解析］B選項中，AB//MQ,且力由平面的V。，MK平面MNQ,貝”四〃平面的IQ;

C選項中，AB//MQ,且Afft平面MNQ,網(wǎng)t平面MNQ,則46〃平面MNQ;D選項中，AB

//NO,且力因平面MNQ,NQu平面MNQ,則46〃平面的M0.故選A.

5.（2017?天津，節(jié)選）如圖，在三棱錐P—ABC中,2U底面ABC,N必。=90。.點

D,E,〃分別為棱功，PC,8c的中點，"是線段/。的中點，PA=AC=4,AB=2.

求證：MN〃牛&BDE.

［證明］解法一：連PN爻BE于H,連仞.

?:E、/I/分別為。C、8c的中點，

PH

為△%C的重心，.,.—=2,

HN

又久"分別為必、力。的中點，

..生_竺

,?酒2，??麗=而

J.DH//MN,

又Dk平面BDE,眼恒平面BDE,

...腑〃平面BDE.

解法二：取&?的中點H,連MH、NH,

N為BC的中點，NH//BE,

又NHi平面BDE,BEu平面BDE,

.?.M/〃平面BDE,

又&D、M分粘為PC、PA、)的中點,

PEPD

~EH=~DM=7,：'DE//MH'

又MH1平面BDE,

二MH//平面BDE,應(yīng)平面BDE,又DECBE=E,

,平面的的7〃平面BDE,

...腑〃平面BDE.

解法三：(理)如圖，以/為原點，分別以必應(yīng)力方向為x車由、y車由、z車由正方

向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),

P(0,0,2),￡(0,2,2),MO,0,1),M1,2,0).

慶=(0,2,0),笳=(2,0,-2).

設(shè)〃=(x,y,N)為平面8班的法向量,

n?旅=0,|2y=0,

則j即

n-笳=0,2x-2z=0.

不妨設(shè)z=1,可得〃=(1,0,1).

又就/=(1,2,-1),可得加?"=().

因為MMt平面BDE,所以腑〃平面BDE.

考點突破?互動探究

考點一空間平行關(guān)系的基本問題——自主練透

?■例1（1）（2021?河南名校聯(lián)盟質(zhì)檢改編）設(shè)有不同的直線a,。和不同的平

面a,￡,給出下列四個命題中,其中正確的是(B)

①若a//a,b//a,則a//b②若a//a,a〃￡,則a〃￡

③若a,bA.a,則a//b④若a±a,a_L￡,則a〃￡

A.1B.2

C.3D.4

（2）（2021?遼寧省沈陽市質(zhì)監(jiān)）下列三個命題在“（）”處都缺少同一個條件，

補上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中/,勿為直線，a,B為平面），則此條件是./

aa,.

///m[忙a]/±/?7]

①m//a10/〃a；②///m}=>/〃a；③ml.a?=>/

//a.

[解析]（1）對于①，若a〃a,6〃a,則直線a和直線6可以相交也可以異面，

故①錯誤；對于②，若a〃a,a〃￡,則平面a和平面￡可以相交，故②錯誤；對

于③，若bla,則根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，a//b,故③正確；對于④，若a

±a,a,￡,則a〃￡成立；故選B.

(2)①/〃/，加〃a=>/〃a或/ua,由/。a=>/〃a；②/。a,忙a,///m

=>/〃a；③Um,mA.a=>/〃a或/ua,由/?a=>/〃a.故答案為/?a.

〔變式訓(xùn)練1〕

（2021?吉林省吉林市調(diào)研改編）如圖，正方體⑺一48G0中，E,F,G,//分

別為所在棱的中點，則下列各直線、平面中，與平面力第不平行的是（C）

A.直線EFB.直線GH

C.平面EHFD.平面A\BG

［解析］首先直線仄GH、48都不在平面兒以內(nèi)，由中點及正方體的性質(zhì)知4

//AC,GH//A.O//AC,AyB//DyC,，直線優(yōu)GH,48都與平面/勿平行，叉ACUAC,

由面面平行判定易知平面46G〃平面47隊由EH"A&,四A平面4第=/,:.EH與

平面力第相交，從而平面日次與平面4cB相交，故選C.

考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)——多維探究

角度1線面平行的判定

?■例2(2021?遼寧撫順模擬)如圖，在四棱錐夕一4成力中，PD1平面ABCD,

底面46緲為梯形，AB//CD,N必。=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E為夕C的中點.

⑴證明：BE〃平面PAD;

⑵求三棱錐E-PBD的體積.

［解析］(1)證法一：如圖，取出的中點尸，連接￡F,FA.

由題意知上■為△出C的中位線，

1

Z.EF//CD,nEF=/D=2.

大,：AB〃CD,AB=2,CD=4,J.ABikEF,

...四邊形4斷為平行四邊形，：.BE//AF.

又AFc平面PAD,BEX平面PAD,.?.的〃平面PAD.

證法二：延長"I、CB相交于H,連也

'：AB//CD,AB=2,CD=4,

.HBAB\

"~HC=~DC=2,

即B為的中點，

又F為外的中點，；.BE//PH,

又畫平面PAD,Pk平面PAD,...南〃平面PAD,

證法三：取切的中點//,連BH,HE,

為PC中點，：.EH//PD,

又EHi平面PAD,Pg平面PAD,

〃平面PAD,

又由題意知幺夾，//,J.BH//AD,

又A上平面PAD,BHt平面PAD,

：.BH//平面以。又BHCEH=H,

：.平面BHE//平面PAD,：.BE//平面PAD.

⑵,:E為PC的中點,

V三棱錐E-PBD=V三棱錐E-BCD='^V三棱錐P-BCD.

丈：AD=AB,NBAD=60°,

???△/劭為等邊三角形，：.BD=AB=2,

又???緲=4,ZBDC=ZBAD=6Q°,

BD1.BC.：.BC=[CU—B爐=2/.

?外，平面ABCD,

1114m

=r

*?*/三棱錐P-BCD~ZPD,wX2X5X2X2y3—4

名師點撥

判斷或證明線面平行的常用方法

(1)利用線面平行的定義(無公共點).

(2)利用線面平行的判定定理(Ha,bua,a〃6na〃a).

(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(a〃￡,auana〃￡).

(4)利用面面平行的性質(zhì)(a〃￡,皿￡,a〃。今a〃￡).

(5)向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.

注：線面平行的關(guān)鍵是線線平行，證明中常構(gòu)造三角形中位線或平行四邊形.

角度2線面平行的性質(zhì)

?■例3

如圖，在多面體力比藥中，DEL平面ABCD,AD//BC,平面BCEFC平面ADEF=EF,

NBAD=60°,AB=2,DE=EF=1.

(1)求證：BC//EF-,

⑵求三棱錐6一陽7的體積.

［解析］(1)證明：AD//BC,4比平面ADEF,

8R平面ADEF,：.BC//平面ADEF.

又直七平面BCEF,平面BCEFC平面ADEF=EF,：.BC//EF.

⑵過點8作BHLAD于點、H,

,：DEV平面ABCD,6忙平面ABCD,：.DEVBH.

?:ADu平面ADEF,

DEu平面ADEF,AD^DE=D,

.?.6"，平面ADEF.

：.BH是三棱錐B—DEF的高.

在仍中，N必〃=60°,AB=2,故

■:DE1平面ABCD,A上平面ABCD,：.DEVAD.

由（1）知6c〃優(yōu)S^AD//BC,

J.AD//EF,：.DELEF,

[113

三棱錐6一的體積/=-X^X5/7=-X-X1X1xJ3=-V，

33zv6

名師點撥

空間中證明兩條直線平行的常用方法

(1)利用線面平行的性質(zhì)定理，即a〃a,auB,c?A/?=/?=>a//b.

(2)利用平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行.

(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行.

〔變式訓(xùn)練2〕

(1)(角度2)如圖所示，四邊形/反Q是平行四邊形，點戶是平面力成沙外一點，M

是出的中點，在力/上取一點G,過G和必作平面PAHG交平面BMD于GH.

求證：PA//GH.

(2)(角度1)(2020?廣東佛山質(zhì)檢，節(jié)選)如圖，四棱錐"一力成沙的底面/成沙是

平行四邊形，E、尸分別為%的中點.

求證：￡F〃平面PAB.

(3)(角度1)(2021?貴州黔東南州二模)在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD建矩

形，平面以8_L平面/反沙，點E,尸分別為8a/P的中點.

①求證：&〃平面PCD；

②若AD=AP=PB=^AB=1.求三棱錐P-DEF的體積.

c

［解析］⑴證明：如圖所示，連接/C交劭于點0,連接畋

?..四邊形483是平行四邊形,

是4C的中點,

又"是用的中點，J.PA//MO.

又欣七平面BMD,PAi平面BMD,

...勿〃平面BMD.

'：平面PAHGC平面BMD=GH,勿u平面PAHG,

：.PA//GH.

⑵解法一：取陽的中點//,連FH、HA,

1

?.?尸為QC的中點，...FH線產(chǎn),

又四邊形/仇沙為平行四邊形，

J.BC^AD,從而6/幺夾，。

又三為47的中點，F(xiàn)H獻EA,：.EF//AH,

又ERI平面PAB,HAu平面PAB,

，戶〃平面PAB.

解法二：取勿的中點H,連FH,HE,

p

■:F為%的中點,

：.FH//BP,又6處平面/6,

:.FH/居面PAB,又三為47的中點，且四邊形力8切為平行四邊形,

：.HE//BA,又HBI平面PAB,

：.HE//平面DAB,又FHCEH=H,

平面廳7/〃平面PAB,

...斤〃平面PAB.

解法三：連絡(luò)并延長交朋的延長線于“，連

E為平行四邊形ABCD的邊4〃的中點,

：./\CDE^/\HAE,

：.CE=EH,又尸為%的中點,

：.EF//PH,

又ERI平面PAB,PHc平面PAB,

...￡F〃平面PAB.

⑶①證明：如圖，取①中點G,連接GF,GC.

在△外，中，G,尸分另4為PD,AP的中點,

1

，GF^AD.

在矩形ABCD中，￡為6c的中點，

1

CEi^AD,:.GF級EC,

...四邊形仔GC是平行四邊形，：.GC//EF.

,：GCc平面夕緲，平面PCD,

...斤〃平面PCD.

②?.?四邊形⑺是矩形，

：.ADrAB,AD//BC.

又ADc平面PAD,B貝平面PAD,

...6C〃平面PAD.

,：平面PABX.平面ABCD,平面以6n平面ABCD=AB,平面ABCD,

：.ADV平面PAB,：.ADA-BP,平面PADV平面PAB.

AD=AP=PB=±AB=1,

■：AB=y[2,:.A戶+P5=A百,

：.APVBP.,：AD^AP=A,

：.BPI平面PAD.,：BC//平面PAD,

...點三到平面必。的距離等于點8到平面必，的距離.

1111

,/S^PDF=-PF?/4P=-X-X1=-,

._」I,__

??V三棱錐/一弼=/三?；凇鯡-PDF=5?APDF?1=12,

1

??.三棱錐"一〃￡尸的體積為危.

考點三，兩個平面平行的判定與性質(zhì)——師生共研

??■例4如圖所示，在三棱柱/墳?一48G中，E,F,G,〃分別是力氏AC,48,

4G的中點，求證:

H

A,

7F

⑴6,C,H,G四點共面；

⑵平面￡7%〃平面BCHG.

［證明］⑴因為G,〃分別是48,4G的中點，所以G//〃8G,又8G〃宓,

所以G//〃8a所以8,C,H,G四點共面.

⑵在△48C中，E,尸分另U為AB,AC的中點，

所以EF//BC,

因為際平面BCHG,B紀(jì)平面BCHG,

所以4〃平面BCHG.

又因為G,A分別為48,48的中點，

所以46幺爽砥，所以四邊形4昂G是平行四邊形，所以AB/GB.

因為4?平面BCHG,G8u平面BCHG,

所以4E〃平面BCHG.

又因為A,E^EF=E,

所以平面?4〃平面BCHG.

［引申1］在本例條件下，若〃為8G的中點，求證：仞〃平面48必.

［證明］如圖所示，連接仞，46,

因為。為8G的中點,

H為4G的中點,

所以HD//A.B,

又的平面ARBA,

46u平面AyByBA,

所以仞〃平面AyByBA.

［引申2］在本例條件下，若九。分別為8G,8C的中點，求證：平面49〃平

面AGO.

［證明］如圖所示，連接4C,4G交于點〃

因為四邊形AyACCy是平行四邊形，

所以"是4c的中點，連接初，

因為。為8c的中點，所以AyB//DM.

因為A、Bu平面46〃，

DMi平面484,

所以ZW〃平面4做.

又由三棱柱的性質(zhì)知，〃G幺夾BD,

所以四邊形BDCyDy為平行四邊形，

所以DCy//BDy.

又，G6平面4曲，B伍u平面

所以0G〃平面ABB,

又因為。GH"Da,DM平面AGD,

所以平面49〃平面AGD.

___________

名師點撥

證明面面平行的方法有

(1)面面平行的定義.

(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,

那么這兩個平面平行.

(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”.

(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.

(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.

性質(zhì)

*判定

線〃線、處店、線〃面、性用'面〃面

性質(zhì)在質(zhì)t

判定

*(6)向量法：證明兩平面的法向量平行.

〔變式訓(xùn)練3〕

(2021?南昌模擬)如圖，在四棱錐夕一4成》中，ZABC=ZACD=90°,NBAC=

/8。=60°,外，平面/出雙PA=2,AB=\.設(shè)M,4/分別為外，47的中點.

(1)求證：平面砌〃平面PAB-,

(2)求三棱錐夕一/6〃的體積.

［解析］(1)證明：?.速N分苑為PD,47的中點,

：.MN//PA,又MNi平面PAB,2fc平面PAB,

...腑〃平面PAB.

在就△/必中，N"〃=60°,CN=AN,

：.AACN=6Q°.

叉2BAC=60°,：.CN//AB.

'：CNi平面PAB,ABu平面PAB,

...C〃〃平面PAB.

又CNCMN=N,CN,切忙平面CMN,

，平面CMN“平&PAB.

(2)由(1)知，平面CMN〃平面PAB,

...點"到平面必8的距離等于點C到平面以8的距離.

'：AB=\,NABC=90°,N班"60°,：.BC=y[3,

■j[

=

**?二棱錐P—ABM的體積VVM-PAB=VC-PAB=VP-ABC=~ZX~X1X2=

名師講壇?素養(yǎng)提升

探索性問題求解策略

?■例5(2021?安徽皖北聯(lián)考)如圖，在四棱錐C-4眄中，四邊形/阻?是

正方形，點仇尸分別是線段劭