高職數(shù)學(xué)課件 第5章定積分

高職實(shí)用等數(shù)學(xué)第5章定積分及其應(yīng)用5.1.1引例：曲邊梯形的面積5.1.2定積分的定義5.1.3定積分的幾何意義5.1定積分的概念曲邊梯形是指由直線(xiàn) 和一條曲線(xiàn)y=f(x)（其中 ， ）圍成的圖形，如下(左)圖所示．5.1定積分的概念5.1.1引例：曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積A，可以利用微積分“以直代曲”的極限方法解決（見(jiàn)上圖(右)），方法歸結(jié)為以下三步：（1）任意分割在區(qū)間［a,b］內(nèi)任意插入n-1個(gè)點(diǎn)：即把區(qū)間［a,b］分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度記為 ， .過(guò)各點(diǎn)x作軸的垂線(xiàn)，這些直線(xiàn)把曲邊梯形分割成n個(gè)小的長(zhǎng)條曲邊梯形．設(shè)第i個(gè)長(zhǎng)條曲邊梯形的面積為， ．（2）以直代曲，近似求和．在每個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ,過(guò)作x軸的垂線(xiàn)，交曲線(xiàn)y=f(x)于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．過(guò)作平行于x軸的直線(xiàn)，與直線(xiàn) ,y=0構(gòu)成一個(gè)小矩形，其面積為 ．把長(zhǎng)條曲邊梯形的面積近似為小矩形的面積：把n個(gè)小矩形的面積相加，就得到所求曲邊梯形面積A的一個(gè)近似值：（3）求極限顯然，分點(diǎn)越多，每個(gè)長(zhǎng)條曲邊梯形越窄，所求得的近似值就越接近A的精確值．因此，要求曲邊梯形面積A的精確值，只需使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零．記 .于是當(dāng)時(shí) ，每個(gè)長(zhǎng)條曲邊梯形的寬度便趨于零．所以曲邊梯形的面積定義為：至此，通過(guò)以上方法，我們很好地解決了曲邊梯形面積的計(jì)算問(wèn)題．事實(shí)上在物理學(xué)中，計(jì)算變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)走過(guò)的路程，也可以用上述辦法解決．在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，有許多問(wèn)題的解決都需要用這種數(shù)學(xué)處理方法．因此，我們對(duì)上述方法加以歸納，拋開(kāi)上述問(wèn)題的具體意義，抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括，就抽象出下述定積分的定義．5.1.2定積分的定義定義1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在區(qū)間［a,b］內(nèi)任意插入n-1個(gè)點(diǎn)：即把區(qū)間［a,b］分成n個(gè)小區(qū)間.記每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為在每個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，作和式令 ．當(dāng) 時(shí)，如果上式的極限存在，且極限值與區(qū)間［a,b］的分法和的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)該極限值為f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，記為其中，稱(chēng)為積分號(hào)，x稱(chēng)為積分變量，f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為積分表達(dá)式,［a,b］稱(chēng)為積分區(qū)間，a和b分別稱(chēng)為積分上限和下限.關(guān)于定積分的定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無(wú)關(guān)，即（2）和式 通常稱(chēng)為f(x)的積分和．（3）如果函數(shù)f(x)在［a,b］上的定積分存在，我們就說(shuō)f(x)在區(qū)間［a,b］上可積．例1設(shè)x2在區(qū)間［0,1］上可積，利用定義計(jì)算定積分 ．解因?yàn)閤2在區(qū)間［0,1］上可積，所以可取特殊的分點(diǎn)，也可取特殊的點(diǎn)．把區(qū)間［0,1］分成等分，分點(diǎn)和小區(qū)間長(zhǎng)度記為：取 ，作積分和：因?yàn)?，所以當(dāng)時(shí) ，．于是，問(wèn)題，后面的牛頓-萊布尼茲公式很好地解決了這個(gè)問(wèn)題．5.1.3定積分的幾何意義由上面的引例可知，在區(qū)間上［a,b］，當(dāng) 時(shí),定積分 在幾何上就表示由曲線(xiàn) ,直線(xiàn) ， 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積．當(dāng) 時(shí)（見(jiàn)右圖），定積分在幾何上表示該曲邊梯形面積的負(fù)值，即一般地，定積分 的幾何意義：它是由曲線(xiàn)y=f(x)，直線(xiàn)x=a，x=b，所圍圖形的各部分面積(有正也有負(fù))的代數(shù)和．定理1

設(shè)f(x)在［a,b］區(qū)間上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上可積．定理2

設(shè)f(x)在［a,b］區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在［a,b］上可積．習(xí)題5.11．利用定積分定義計(jì)算定積分 ．2．利用定積分的幾何意義（即用幾何方法計(jì)算帶正負(fù)號(hào)的面積）計(jì)算下列定積分.(1) . (2) .(3) . (4) .5.2定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)5.2定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)關(guān)于定積分的兩點(diǎn)規(guī)定：(1) . (2)下面各性質(zhì)的前提條件：設(shè)f(x)和g(x)都是閉區(qū)間［a,b］上的可積函數(shù)，k為常數(shù).性質(zhì)1 .證性質(zhì)2 ．性質(zhì)3特別地，性質(zhì)4（定積分的保號(hào)性）如果在[a,b]上f(x)≥0，則如果在[a,b]上f(x)≤0

，則推論1

如果在[a,b]上f(x)≤g(x)

，則推論2 ．性質(zhì)5（定積分區(qū)間的可加性）如果在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入任意一點(diǎn)c，則性質(zhì)6

設(shè)M,m分別是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，則性質(zhì)7(定積分中值定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)x0，使：習(xí)題5.21.判斷大小:(5).2.估計(jì)下列各積分的值.(1) .(2) .(3) .(4) .3.設(shè)f(x)及g(x)在［a,b］上f(x)≥0連續(xù)，證明：若在上且 ，則［a,b］在 上.5.3.1變上限的積分及其導(dǎo)數(shù)設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，對(duì) ，我們把定積分稱(chēng)為變上限積分或積分上限的函數(shù)，記為 或 ．定理3

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),則函數(shù)在[a,b]上一定可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)為5.3.1變上限的積分及其導(dǎo)數(shù)5.3.2微積分基本公式5.3微積分基本公式證若 ，取使 ，則當(dāng) 時(shí)，有 ，于是推論1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),則函數(shù)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)．推論2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在[a,b]上可導(dǎo)，則有（1）．例1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） ．（2） ．（3） ．（4） ．解（3） ．（4） ．（2）例2

計(jì)算下列各題(1) ． (2) ．(3) ．解（1） ．（2） ．（3） ．例3求 ．解這是一個(gè)型未定式，由羅必達(dá)法得：例3求 ．解這是一個(gè)型未定式，由羅必達(dá)法得：定理4

(牛頓

萊布尼茨公式)

如果F(x)是f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則證明根據(jù)定理３的推論１，積分上限函數(shù)也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)．于是 ，( C為常數(shù))．當(dāng)x=a時(shí)，有 ，而 ，所以．當(dāng)x=b時(shí)，有 ，所以,即例1計(jì)算

．解由于 ，所以，原式 ．例2計(jì)算

．解原式 例3計(jì)算

．例3計(jì)算

．解原式 ．例4計(jì)算

．解原式 ．習(xí)題5.31.設(shè) ，求 及.2．計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．3．計(jì)算下列各定積分(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ． (6) ．(5) ． (6) ．4．求下列極限(1) ． (2) ．5．設(shè) ，求 ．5.4.1換元積分法5.4.2分部積分法

5.4定積分的換元積分法與分部積分法定理5

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，函數(shù) 滿(mǎn)足條件：（1） 在 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且有反函數(shù)（2） ， ．則有這個(gè)公式叫做定積分的換元公式.5.4.1換元積分法例1計(jì)算

解設(shè) ， ，則 .當(dāng)x=0時(shí)t=0

，x=a時(shí).故原式例2求

.解設(shè) 則當(dāng)x=0時(shí),t=0；x=8時(shí),t=2.故原式例3求

.

解設(shè) ，則 .當(dāng)x=0時(shí)t=0，x=1時(shí) ．故原式使用定積分換元法計(jì)算定積分，必須注意積分變量要同積分區(qū)間相配套.也就是說(shuō)，換元時(shí)一定要變換積分上下線(xiàn)．例4

求證：若f(x)是奇函數(shù)，即f(-x)=-

f(x)

，則 ．證對(duì)于，作變換x=1，則dx=-dt.當(dāng)x=-a時(shí)t=a

，x=0時(shí)t=0

，即x從-a變到０時(shí)，t從a變到０．故所以因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以以上結(jié)論在幾何上看是很明顯的．利用這個(gè)結(jié)論，可以很容易確定一些定積分為零，比如同理可證下列命題：若f(x)是偶函數(shù)即f(-x)=

f(x)

，則若f(x)是奇函數(shù)，即f(-x)=-

f(x)，則

5.4.2分部積分法定理6

若函數(shù)u(x)，v(x)在區(qū)間［a,b］上存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則叫定積分的分部積分公式.簡(jiǎn)記為例1計(jì)算 .解原式 .例2計(jì)算 .解原式 例3計(jì)算 .解原式 .例4計(jì)算 .解原式 .習(xí)題5.41．計(jì)算下列積分(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．(5)．(6) ．(7) ．2.利用被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分(1) ．(2) ．3．設(shè)f(x)在［b,-b］上連續(xù)，證明：4.計(jì)算下列定積分(1)． (2) ．(3)．(4) ．(5)．(6) ．5.5.1定積分的元素法5.5.2平面圖形的面積5.5.3旋轉(zhuǎn)體的體積5.5定積分的幾何應(yīng)用5.5定積分的幾何應(yīng)用我們?cè)俜治鲆幌虑吿菪蚊娣e的計(jì)算問(wèn)題.設(shè) ，如果說(shuō)定積分是[a,b]以為底的曲邊梯形的面積，則積分上限函數(shù)就是[a,x]以為底的曲邊梯形的面積（如右上圖中左邊的白色區(qū)域）.而微分5.5.1定積分的元素法二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、一、平面圖形的面積三、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)定積分在幾何上的應(yīng)用第五章一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形(a)設(shè)曲線(xiàn)與直線(xiàn)及

x

軸所圍圖則面積微元形面積為A,所以面積(b)設(shè)曲線(xiàn)與直線(xiàn)及

x

軸所圍圖形的面積為A,則(有正有負(fù)),故(a)和(b)兩種情況總有(c)由上下兩條曲線(xiàn)y=f(x)和y=g(x)(f(x)≥g(x)),以及直線(xiàn)所圍圖形的面積為A,則如果[f(x)－g(x)]在[a,b]上有則其面積微元面積正有負(fù),(d)類(lèi)似地,由左、右兩條曲線(xiàn)以及所圍圖形的面積為A,則和直線(xiàn)例1.

計(jì)算兩條拋物線(xiàn)在第一象限所圍圖形的面積.解得交點(diǎn)由這兩條拋物線(xiàn)所圍成的圖形如圖所示.取x為積分變量,則積分區(qū)間為[0,1].例1計(jì)算拋物線(xiàn) ， 所圍成的圖形的面積.解作圖，見(jiàn)右圖．由方程 以x為積分變量，則積分區(qū)間為[0,1].上下曲線(xiàn)分別為： 和 .面積元素:例2計(jì)算拋物線(xiàn) 與直線(xiàn) 所圍成的圖形的面積.解作圖，見(jiàn)右圖.解方程 得交點(diǎn)(2,-2)和(8,4).選y為積分變量，則，所求圖形面積為：例3.求雙曲線(xiàn)xy=1和直線(xiàn)y=x,y=2所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有本例也可選擇x作為積分變量,但計(jì)算要復(fù)雜一些.例3求橢圓 所圍成的圖形的面積．解如右圖所示，橢圓是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的.橢圓的面積是橢圓在第一象限部分面積的四倍.橢圓第一象限部分在軸上的積分區(qū)間為［0,a］，上下曲線(xiàn)分別為： 和y=0，所以橢圓面積為：作變換x=asint，則dx=acostdt.當(dāng)x=0時(shí)t=0,x=a時(shí),故5.5.3旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是指由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線(xiàn)叫做旋轉(zhuǎn)軸.定理7

由連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)，直線(xiàn)x=a，x=b及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（見(jiàn)右圖）為：證對(duì) ，過(guò)作垂直于x軸的直線(xiàn)，區(qū)間［a,x］上平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積記為V(x).給x以改變量dx

，則相應(yīng)旋轉(zhuǎn)體體積的改變量的近似值為：于是得所求旋轉(zhuǎn)體的體積為例4計(jì)算由橢圓 所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積．解如右圖所示，這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由上半個(gè)橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體，體積元素為于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為例5求由曲線(xiàn) ，直線(xiàn)y=2以及x=0所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．解如右圖所示，因?yàn)槭抢@y軸旋轉(zhuǎn)，所以 ．體積元素為于是，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為習(xí)題5.51．求下列各曲線(xiàn)所圍成的圖形的面積.（1） 與 ．（2） 與直線(xiàn) 及 ．（3） 與直線(xiàn) ．（4） ，y軸 與 直線(xiàn)， ．2．求拋物線(xiàn) 及其在(0,-6)點(diǎn)(3,0)和處的切線(xiàn)所圍成的圖形的面積.3．求下列已知曲線(xiàn)所圍成的圖形，按指定的軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積.（1） 與 ．選x為積分變量，積分區(qū)間為[-2，2]，面積元素為：解作圖如右，由得交點(diǎn)（-2，2）、（2，2），所求面積為：（1） 圍成的圖形，繞y軸．（2） ， 圍成的圖形，分別繞x軸和y軸．4．由 所圍成的圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積．5.6.1無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分5.6.2無(wú)界函數(shù)的廣義積分*5.6廣義積分*5.6廣義積分5.6.1無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分定義2

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù),取 ，如果極限存在，就稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間 上的廣義積分，記作 ，即這時(shí)也稱(chēng)廣義積分 收斂如果上述極限不存在,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間 上的廣義積分 發(fā)散或不存在．類(lèi)似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù)，取 ,如果極限存在，就稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分 ,記作，即這時(shí)也稱(chēng)廣義積分 收斂．如果上述極限不存在，則稱(chēng)廣義積分 發(fā)散．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，就稱(chēng)函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間 上的廣義積分收斂，記作 ，即如果上式右端有一個(gè)極限不存在，則稱(chēng)廣義積分 發(fā)散．在廣義積分的計(jì)算中，如果f(x)有一個(gè)的原函數(shù)F(x)是，則可采用如下簡(jiǎn)記形式：類(lèi)似地，有例1計(jì)算廣義積分 ．解 .所以廣義積分 發(fā)散．例2計(jì)算廣義積分 ．解例3計(jì)算廣義積分 ．解例4當(dāng) 時(shí)，討論廣義積分 的斂散性．解當(dāng) 時(shí)， ,廣義積分發(fā)散．當(dāng) 時(shí)， ,廣義積分發(fā)散．當(dāng) 時(shí)， ,廣義積分發(fā)散．因此，當(dāng) 時(shí)，此廣義積分收斂，其值為 .當(dāng) 時(shí)，此廣義積分發(fā)散．5.6.2無(wú)界函數(shù)的廣義積分定義3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間上連續(xù)，且 .取 ，如果極限存在，就稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在 上的廣義積分，仍然記作 ，即這時(shí)也稱(chēng)廣義積分 收斂．如果上述極限不存在，就稱(chēng)廣義積分 發(fā)散．類(lèi)似地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 上連續(xù),而 ,取 ，如果極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在上的廣義積分，仍然記作 ，即這時(shí)也稱(chēng)廣義積分 收斂．如果上述極限不存在，就稱(chēng)廣義積分 發(fā)散．如果函數(shù)f(x)的無(wú)窮間斷點(diǎn)x=c在［a,b］的內(nèi)部，則定義廣義積分當(dāng)且僅當(dāng)上式右端的兩個(gè)廣義積分都收斂時(shí)，才稱(chēng)廣義積分 是收斂的．否則，稱(chēng)廣義積分 發(fā)散．如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)F(x)為， ，則廣義積分的計(jì)算可采用如下簡(jiǎn)記形式：類(lèi)似地，如果 ，則記為當(dāng) 且 時(shí)，記為例5討論廣義積分 的斂散性．解因?yàn)? ，所以即廣義積分 收斂．例6討論廣義積分 的斂散性．解因?yàn)? ，所以即廣義積分 發(fā)散．例7討論廣義積分 的斂散性.解函數(shù)在區(qū)間［-1,+1］除x=0點(diǎn)外連續(xù)，且 =∞,有由于例8

討論廣義積分 的斂散性.解當(dāng)a=1時(shí)， ，廣義積分發(fā)散．當(dāng)時(shí)， ，廣義積分收斂．當(dāng)時(shí)， ，廣義積分收斂．因此，當(dāng)時(shí)，此廣義積分收斂，其值為 ．當(dāng) 時(shí)，此廣義積分發(fā)散．習(xí)題5.61．判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，試求廣義積分的值.(1) ． (2) ．(3) ． (4) ．(5) ．(6) ．(7) ． (8) ．(9) ．2．當(dāng)為何值時(shí)，廣義積分 收斂？當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)廣義積分發(fā)散？5.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):MATALAB計(jì)算定積分5.7數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):MATALAB計(jì)算定積分例1

求定積分 .解程序和結(jié)果如下:symsxyy=int(((1-x)＾(1/2),0,3)y=5/2例2

求定積分 .解程序和結(jié)果如下:

symsxyy=int((1-x)＾2)＾(1/2),0,3)解程序和結(jié)果如下:例3

求定積分 .

symsxyy=int(atan(x),0,1)y=1/4*pi-1/2*log(2)例4

求定積分 .解程序和結(jié)果如下:synsxyy=5/2習(xí)題5.7用MATLAB求下列定積分.1． . 2． .3． . 4． .復(fù)習(xí)題51．求由 所決定的隱函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù) ．y=int(1/x＾3,1,inf)y=1/23．求下列定積分(1).(2) ．(3). (4) ．(5). (6) ．(7). (8) ．(9). (10) ．(11). (12) ．2．當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù) 有極值？(13).(14) ．(15).(16) ．(17).(18) ．4．設(shè) 求k的值，使 5．求下列定積分(1).(2) ．(3).(4) ．(5).(6) ．(7).(8) ．(9).(1