2024屆貴港市重點中學高三年級四月考數學試題

2023屆貴港市重點中學高三年級四月考數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是等差數列的前項和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．202．設復數滿足（為虛數單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．4．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．5．已知等差數列的前項和為，若，則等差數列公差（）A．2 B． C．3 D．46．若不等式在區(qū)間內的解集中有且僅有三個整數，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．7．下列函數中，值域為R且為奇函數的是（）A． B． C． D．8．設全集為R，集合，，則A． B． C． D．9．設，其中a，b是實數，則（）A．1 B．2 C． D．10．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于（）A．2 B．1 C． D．011．函數在內有且只有一個零點，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－212．以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關指數的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數據的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關關系的數據，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個數為()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數，當時，記最大值為，則的最小值為______.14．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓的焦距為2c，過C外一點P(c,2c)作線段PF1，PF2分別交橢圓C于點A、B，若|PA|＝|AF1|，則_____.15．若的展開式中各項系數之和為32，則展開式中x的系數為_____16．若奇函數滿足，為R上的單調函數，對任意實數都有，當時，，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，丄底面.（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數，其中為自然對數的底數，．（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數有無極值點？若有，請求出極值點的個數；若沒有，請說明理由．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.（1）求的直角坐標方程和的直角坐標；（2）設與交于，兩點，線段的中點為，求.20．（12分）已知數列滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，證明：．21．（12分）△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.22．（10分）已知中，角所對邊的長分別為，且（1）求角的大小；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

利用等差通項，設出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點睛】本題考查等差數列的求和問題，屬于基礎題2．A【解析】

由復數的除法運算可整理得到，由此得到對應的點的坐標，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：.【點睛】本題考查復數對應的點所在象限的求解，涉及到復數的除法運算，屬于基礎題.3．B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算、數乘運算，考查學生的運算能力，是一道中檔題.4．D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.5．C【解析】

根據等差數列的求和公式即可得出．【詳解】∵a1=12，S5=90，∴5×12+d=90，解得d=1．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6．C【解析】

由題可知，設函數，，根據導數求出的極值點，得出單調性，根據在區(qū)間內的解集中有且僅有三個整數，轉化為在區(qū)間內的解集中有且僅有三個整數，結合圖象，可求出實數的取值范圍.【詳解】設函數，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當時，至多一個整數根；當時，在內的解集中僅有三個整數，只需，，所以.故選：C.【點睛】本題考查不等式的解法和應用問題，還涉及利用導數求函數單調性和函數圖象，同時考查數形結合思想和解題能力.7．C【解析】

依次判斷函數的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域為，非奇非偶函數，排除；B.，值域為，奇函數，排除；C.，值域為，奇函數，滿足；D.，值域為，非奇非偶函數，排除；故選：.【點睛】本題考查了函數的值域和奇偶性，意在考查學生對于函數知識的綜合應用.8．B【解析】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.9．D【解析】

根據復數相等，可得，然后根據復數模的計算，可得結果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復數模的計算，考驗計算，屬基礎題.10．B【解析】

先求出，再利用投影公式求解即可.【詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.【點睛】本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應用，是基礎題.11．A【解析】

求出，對分類討論，求出單調區(qū)間和極值點，結合三次函數的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調遞增，且，在不存在零點；若，，在內有且只有一個零點，.故選:A.【點睛】本題考查函數的零點、導數的應用，考查分類討論思想，熟練掌握函數圖像和性質是解題的關鍵，屬于中檔題.12．C【解析】

①根據線性相關性與r的關系進行判斷,

②根據相關指數的值的性質進行判斷,

③根據方差關系進行判斷,

④根據點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，可進行判斷.【詳解】①若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關指數的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統(tǒng)計數據的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數據的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當，時，點必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【點睛】本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

易知，設，，利用絕對值不等式的性質即可得解．【詳解】，設，，令，當時，，所以單調遞減令，當時，，所以單調遞增所以當時，，，則則，即故答案為：.【點睛】本題考查函數最值的求法，考查絕對值不等式的性質，考查轉化思想及邏輯推理能力，屬于難題．14．【解析】

根據條件可得判斷OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，從而得到點A為橢圓上頂點，則有b＝c，解出B的坐標即可得到比值.【詳解】因為|PA|＝|AF1|，所以點A是線段PF1的中點，又因為點O為線段F1F2的中點，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，因為點P（c，2c），所以PF2⊥x軸，則|PF2|＝2c，所以OA⊥x軸，則點A為橢圓上頂點，所以|OA|＝b，則2b＝2c，所以b＝c，ac，設B（c，m）（m＞0），則，解得mc，所以|BF2|c，則.故答案為：2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質，考查直線位置關系的判斷，方程思想，屬于中檔題.15．2025【解析】

利用賦值法，結合展開式中各項系數之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數.【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數為.故答案為：2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數之和，考查二項式展開式指定項系數的求法，屬于基礎題.16．【解析】

根據可得,函數是以為周期的函數，令，可求，從而可得，代入解析式即可求解.【詳解】令，則，由，則，所以，解得，所以，由時，，所以時，；由，所以，所以函數是以為周期的函數，，又函數為奇函數，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了換元法求函數解析式、函數的奇偶性、周期性的應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見證明；（2）【解析】

（1）先證明等腰梯形中，然后證明，即可得到丄平面，從而可證明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如圖的空間坐標系，求出平面的法向量為，平面的法向量為，由可得到答案．【詳解】（1）證明：在等腰梯形，，易得在中，，則有，故，又平面，平面，，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，設，，，，而,即，.以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖的空間坐標系，則，，設平面的法向量為，由得，取，得，，同理可求得平面的法向量為，設二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角，考查了棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力及計算能力，屬于中檔題．18．（1）（2）沒有，理由見解析【解析】

（1）求導，研究函數在x=0處的導數，等于切線斜率，即得解；（2）對f(x)求導，構造，可證得，得到，即得解【詳解】（1）由題意得，∵曲線在點處的切線與直線平行，∴切線的斜率為，解得．（2）當時，，，設，則，則函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，又函數，故恒成立，∴函數在定義域內單調遞增，函數不存在極值點．【點睛】本題考查了導數在切線問題和函數極值問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.19．（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程，把點P的極坐標化成直角坐標；（2）把直線l的參數方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程，根據韋達定理以及參數t的幾何意義可得．【詳解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，將ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2＝1，設點P的直角坐標為（x，y），因為P的極坐標為（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以點P的直角坐標為（1，1）．（2）將代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因為△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可設方程的兩根為t1，t2，則t1，t2為A，B對應的參數，且t1+t2，依題意，點M對應的參數為，所以|PM|＝||．【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程，屬中檔題．20．（1）（2）證明見解析【解析】

（1），①當時，，②兩式相減即得數列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求和證明.【詳解】（1）解：，①當時，．當時，，②由①-②，得，因為符合上式，所以．（2）證明：因為，所以．【點睛】本題主要考查數列通項的求法，考查數列求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.21．(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據題設和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設及（1）得，即.所以，故.由題設得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再