數(shù)學(xué)課件 6.3行列式的性質(zhì)

一、案例

二、知識(shí)要點(diǎn)

三、應(yīng)用6.3行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式一、案例的值。（一）行列式的性質(zhì)

從行列式的定義出發(fā)直接計(jì)算行列式是比較麻煩的，為了簡化行列式的計(jì)算，下面我們給出行列式的一些基本性質(zhì)．二、知識(shí)要點(diǎn)如果，則【性質(zhì)1】

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即說明：性質(zhì)1說明行列式中行與列的地位是平等的，對行列式中行成立的性質(zhì)，對列也同樣成立，反過來也是對的，正因?yàn)槿绱?，下面對行列式的討論大多對行來進(jìn)行．例如

上三角形行列式，其轉(zhuǎn)置行列式為，顯然，【性質(zhì)2】互換行列式的兩行（或兩列），行列式變號(hào).例如交換三階行列式的第一行與第三行，由性質(zhì)2有【推論1】

如果行列式有兩行（或兩列）的對應(yīng)元素相同，則這個(gè)行列式等于零．例如【性質(zhì)3】

n階行列式等于它的任一行（或任一列）的每個(gè)元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和．即【例題6.3.1】

計(jì)算行列式解按第一列展開，得性質(zhì)3說明了行列式可按任一行（或列）展開．在具體計(jì)算時(shí)，只要行列式的某一行（列）的零元素多，我們就按該行（列）來展開，這樣降低了行列式的階數(shù)，從而簡化運(yùn)算．【練習(xí)6.3.1】

計(jì)算行列式解注意到第2列有4個(gè)零元素，可利用性質(zhì)3按第2列展開（按第4行展開）（按第3列展開）【練習(xí)6.3.2】

計(jì)算行列式解【性質(zhì)4】

n階行列式中任意一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零．即【推論2】

如果行列式的某一行（或列）的元素全為零，則此行列式等于零．證明由性質(zhì)3，按元素全為零的行（或列）展開，即得。【性質(zhì)5】

行列式的某一行（或列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)k，等于用k乘以該行列式，即

這個(gè)性質(zhì)也可敘述為：行列式中某一行（或列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外邊．

由此性質(zhì)，容易得到如下推論：【推論3】

如果行列式有兩行（或列）的元素對應(yīng)成比例，則行列式等于零．【例題6.3.2】

計(jì)算行列式【練習(xí)6.3.3】

計(jì)算行列式【性質(zhì)6】

如果行列式的某一行（或列）的元素都可表示為兩數(shù)之和，那么這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和，這兩個(gè)行列式除該行（或列）的元素分別為這兩數(shù)之一外，其余各行（或列）的元素都與原來行列式的對應(yīng)行（或列）相同，即【例題6.3.3】

【性質(zhì)7】

將行列式的某一行（或列）的元素都乘以同一個(gè)常數(shù)k后，再加到另一行（或列）的對應(yīng)元素上，行列式的值不變，即

利用行列式的性質(zhì)，可以簡化行列式的計(jì)算，特別是利用這里的性質(zhì)2和性質(zhì)7，總