《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》 第3章 第1節(jié)不定積分

《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》第二章

一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)

不定積分問(wèn)題的提出微分學(xué)積分學(xué)

F

(

x)

f(

x)

F

(

x)

f(

x)

(sinx

C

)

=

cos

x.(sinx)

=

cosx已知F

(

x)

求f

(

x)已知f

(

x)

求F

(

x)例如 已知cos

x，求哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是它( ？ )例如 已知sin

x，求它的導(dǎo)數(shù),

(sin

x)

cos

x.

定義若在某區(qū)間上F

(

x)

f

(

x)，則稱(chēng)F

(

x)為f

(

x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).(sinx)

=

cosx

sin

x是cos

x在區(qū)間(

,

)的一個(gè)原函數(shù).(sinx

C

)

=

cos

x

sin

x+C也是cos

x在區(qū)間(

,

)的原函數(shù).可見(jiàn)，原函數(shù)不唯一.一、原函數(shù)與不定積分若F

(

x)

f

(

x) 即F

(

x)是f

(

x)的一個(gè)原函數(shù)則F

(

x)

C也是f

(

x)的原函數(shù).G(

x)

F

(

x)+C

.關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明因此，F(xiàn)

(

x)

C是f

(

x)的全部原函數(shù).

G(

x)

F

(

x)

C若G

(

x)

f

(

x) 即G(

x)也是f

(

x)的一個(gè)原函數(shù)則

G(

x)

F

(

x)

G

(

x)

F

(

x)

積分常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式

cos

xdx

sin

x

C

e

x

dx

e

x

C

.不定積分的定義函數(shù)f

(

x)的原函數(shù)全體F

(

x)

C，稱(chēng)為f

(

x)的不定積分.

記為

f

(

x)dx，即定義

f(

x)dx

F

(

x)

積分變量C

.解(

cos

x)

sin

x

sin

xdx

例1

求

y

sin

x ,

y

2

x的不定積分.

2

xdx

x2

C

.(

x2

)

2

x不定積分的幾何意義積分曲線(xiàn)族中各曲線(xiàn)在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的所有切線(xiàn)都是彼此平行的.不定積分與導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系

f

(d

f

(結(jié)論求導(dǎo)數(shù)（或微分）的運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是只差一個(gè)常數(shù)的互逆運(yùn)算.啟示可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.

f(

x),

f(

x)dx,

f

(

x)dx

f(

x

df(

x)

f(

x(2)

x dx

(3)x

1

C (

1).

1

dx

ln

x二、基本積分公式(1)

kdx

kx

C(k是常數(shù)).xx

0時(shí)x

x

dx

ln(

x)

C

,x總之

dx

ln

|

x

|

C

.

1

dx

ln

x

C

,x

0時(shí),

[ln(

x)]

1

(

(6)

cos

xdx

sin

x

C

.(7)

sin

cos(4)

e

x

dx

e

x

C

.(5)

a

x

dx

a

xln

aC

.(8)tan

x

C

.

dx

sec2

x(9)cos2xdxsin2

x

csc2

xdx

cot

x

C

.1(10)1

x2

dx

arctanx

C1(11)

arcsi

arccot

x

C

.

arccos

x

C

.例2

求

x2xdx.解

x2725x dx

x

2

dx

C

.1例3

求

x2 x

dx.解1

x

523

3

x 2dx

x2

C

.

x dx

1

Cx

1

性質(zhì)1三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)2

[

f

(

x)

g(

x)]dx

f

(

x)dx

g(

x)dx;

kf

(

x)dx

k

f

(

x)dx.（k

是常數(shù)，（性質(zhì)1可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和差的情況）例4

求

2x

3sin

x

dx.解

2x

3sin

x

dx

2x

dx

3

sin

xdx1ln

22x

+C(

cos

x

C2

)ln

2x

23cos

x

C

.例5

求

(

x

1)2dxx解

xdx

2dx

dx1x

(

x

1)2dxx2

x

2

x

1dxx212

x

2x

ln

x

C

(x

2

1)dxx

f

(

x)dx

g(

x)

dx=

f

(

x)dx

g(

x)dx例6

求

tan2

xdx解

tan2

x

dx

sec2

x

1

dx

sec2

x

dx

dx

t

x

C

1 例7

求

sin2

x

cos2

xdx.解dxsin2x

cos2

xsin2x

cos2x

1dx

sin2x

cos2

x

cos2

x1

1 dx

tan

x

cot2

x2例8

求

1

x2

dx解

2

x21

x2dx

2

x

1

121

x21dx

21

2(

x

arctan

x)

C

.問(wèn)：設(shè)置中間變量，令

t

12t

122

xe

C

e

C

.已知(e2

x

e

x

dx

e

x

C

e2

x

dx

e2

x

+C ?

e2

x

dx

e2

x

+C2

xe dx

12

t

e

dt

2e2

x

e2

x則x

t2dx 1

dt.2三、換元積分法問(wèn)題的提出

f[

(x)]

(x)dx

定理u

(x)可導(dǎo)，則

f

(x)

d

(x)

F

(x

e

x

dx

e

x

c

e2

x

d

2

x

e2

x

c例1求

e2

x

dx解2 2法2若

f

(u)du

F

(u)

C1.第一類(lèi)換元法2

e2

x

dx

e2

x

1

d

2

x

1

e2

x

d

2

x

1

e2

x

C

.令u

2

x

1

eudu

1

eu

C

1

e2

x

C

.2 2 2例9 求

3e3

x

1dx.解

3e3

x

1dx

e3

x

1

(3

x

1)

dx

e3

x

1d

(3

x

1)

令u

3

x

1

eudu

eu

C

e3

x

1

C

.2

x

adx.例10 求

2

x

adx

x

1x dx

1

C(

1)

解3

13(2

x

a)2

C

.2

x

a

1

d

(2

x

a)令u

2

x1

1 22 33u

du

u2

C例11

求

sin3

x

cos

xdx解

sin3x

co4sin14

3

sin x

d

sin

x例12求

tan解

sin

x

cos

xdx

dcos

x

cos

x

lncosx

C

.

tan

xdx例13

求

cos2

xdx2=

1+

cos

2

x

dx解

cos2+

d

(2

x)cos

2

x2 41212

dx+cos

2

xdx

x

12 2

221

cos

2

xcos x

2 4

x

+

1

cos

2

xd

(2

x)

x

+

sin

2

x

C

.12

正弦、余弦三角函數(shù)積分，偶數(shù)次冪化倍角降冪.例14

求

x 1

x2dx

21

x2dx

x1

x2d 1

解

x1

2

12

2321 22 31

x2d

1

x2

1

x

C

323

1

1

x2C

.1例15

求

a2

x2

dx.解111

x2

dxa221

1

ad

x

a

1arctanx

C

.a a

1

1

x2dx

arctanx

C

x

u

x a21

1 dua 1

u

a

1

arcta1

a2

x2dx

a2

1a

解

x

21

a

x

a

arcsin C

.1

x2

arcsinx

C

1

dxa1dx.a2

x2例16 求

a2

x2

1 dx

1

dx

a

1

a

d

x

x

2例17解 1 求

a2

x2

dx.1a2

x2

1dx

dx(a

x)(a

x)11

2a

1

1

1

dx2a

dx

lnx

C

x1

2a

a

a

x

1

d(a

x)

d(a

x)

1

lna

x

lna

x

C

1

lna

x

C

.2a 2a a

x解dx 1

cos

x

1

1

sin2

x1du1

u2d(sin

x)

令

u

sin

x

1112

1ln1

u

C2 1

u例18求

sec

xdx.

cos

xcos2

xdxsecxdx

1ln1

sin

x

C

ln

sec

x

t2 1

sinx1a2

x2

2adx=

1

lna

x例19

求

sin

x

cos

xdx.解法1

12sin

2

xdxsin

x

cos

xdx

4

1

cos

2

x

C

.法2

sin

x

cos

xdx

sin

xd2

1

sin

x

2

C;法32

sin

x

cos

xdx

cos

xd

(cos

x)

1

cos

x

2

C14sin

2

xd

(2

x)

2.第二類(lèi)換元法定理

設(shè)x

(t

)單調(diào)可導(dǎo)，f

[

(t

)]

(t

)有原函數(shù)F

(t

),則x

(t

)

f(

x)dx

f

[

(t

)]

(t

)dt

F

(t

)

C

F

1

(

x)

C

.x解2x

1

x

dx

2tdt

,令

t

例20

求

x

1

dx.t

x

121

t

2

1

2tdt

21

dtt

1

2(t

arctanx)

C

2( x

1

ar（將t

x

1代回）解

令dxx(1

3x

)

6t

5dtt

3

(1

t

2

)

t

2

6

dt1

t

22

1

6

t1

61

x

6arctan

6x

C

.x(1

3x

)例21

求

dx .x

t

6

dx

6t

5dt,

6

t

arctan

t

C

6

6解a2

x2

dx (a

0).例22 求

2a2

x2dx

a

c2a2arcsin2a2

三角代換xata2

x2x

a

sin

t,

t

dx

a

co2

a

cos

tdt

a2

1

cos

22 2a

2 a

2x 1a 2

x a2

x2

C

.2 2a2sin

2t

t

C

t

sin

t

cos

t

C例23解(a

0).x2

a2求

dx x2

a22a

sec

t

se

lnsect

ttaxx2aa

lnx

x

a2 2C2

ln

x+

x三角代換令

x

a

tan

t

dx

a

sec2

tdt2

a

sec

tdt

dx

a

sec

tdta2tan2t

a2啟示考慮利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.五、分部積分法問(wèn)題的提出考慮積分

x

cos

xdx

?被積函數(shù)是兩種不同類(lèi)型的函數(shù)的乘積的情形.特點(diǎn)

uv

dx

(uv)

dx

u

vdx,

udv

uv

vdu稱(chēng)為分部積分公式.即下面利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，推出求積分的另一基本方法——分部積分法.設(shè)u

u(

x)與v

v(

x)是可微函數(shù),則(uv)

u

v

uv

uv

(uv)

u

v,對(duì)此等式兩邊求不定積分

udv

uv

vdu,例24

求

xcos解若令u

cos

x,

xdx

2x2cos

x顯然，u,

dv選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.

d

s

d

1

1

2

x

cosxdx

cosxd

x2

x

cos

xdx

xd

sin

x

x

sin

x

sin

xdx

x

sin

x

cos

x

C

.22

xsin

xdx.令u

x, cos

x如果u和dv選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，因此應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取u和dv是一個(gè)關(guān)鍵.選取u和dv一般要考慮下面兩點(diǎn)：注意v要容易求得；

vdu要比

udv容易積出.解例25

求

xe

x

dx.u

x, e

x

dx

dv

d

xe

x

dx

xde

x

xe

x

e

x

dx

xe

x

e

x

C

.

udv

uv

vdu例26

求

x

ln

xdx解21

2

xdu

ln

x,

xdx

dv

xln

xdx

212x ln

x

21

2

ln

x

dx12

2dx1xx

4

1

x2

C

.

1

x2lnx

1

xdx

1

x22 2例27

求

x

arctan

xdx解

2

1x2arctanx

1

x22 1

x2

dx2 221

2

xxarctan

xdx

arctan

xd212

x arctan

x2112

1

dx1

x2

1x2arctanx

1x

1arctanx

C

.例28求

ln

xdxx解

lnxdx

xln

x

x

1

dx

x

ln

x

x例29求

arctan

xdx解xdx1

x2

arctan

xdx

x

arctan

x

x

a21 d

(

x

1)

2 1

x2

2

x

arctan

x

1

ln(

x2

1)

C

.例30 求

x2e

x

dx.解

x2e

x

dx