5.2.3 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：復(fù)習(xí)引入2.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則探究1：復(fù)合函數(shù)的概念思考1：如何求函數(shù)y=ln(2x－1)的導(dǎo)數(shù)？現(xiàn)有方法無法求出它的導(dǎo)數(shù)：（1）用定義不能求出極限；（2）不是基本初等函數(shù)，沒有求導(dǎo)公式；（3）不是基本初等函數(shù)的和、差、積、商，不能用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則解決這個問題.思考：如何求函數(shù)y=ln(2x－1)的導(dǎo)數(shù)？追問1：函數(shù)y＝ln(2x-1)可以用基本初等函數(shù)表示嗎？它的結(jié)構(gòu)特點是什么？若設(shè)

，則y=lnu，從而函數(shù)y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和

復(fù)合而成的一個復(fù)合函數(shù).把y與u的關(guān)系記作y=f(u)，u與x的關(guān)系記作u=g(x)，那么這個“復(fù)合”過程可表示為y=f(u)=f(g(x))=ln(2x－1).一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).復(fù)合函數(shù)的概念歸納總結(jié)外層函數(shù)內(nèi)層函數(shù)說明：復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))以下函數(shù)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？練習(xí)反思歸納：從外向內(nèi)分解成基本初等函數(shù)直到中間變量.思考2：如何求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢?我們先來研究y=sin2x的導(dǎo)數(shù).探究2：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)u=2x，y=sinu.

猜想y=sin2x的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=sinu，u=2x的導(dǎo)數(shù)有關(guān).

以y′x

表示y對x的導(dǎo)數(shù),以y′u

表示y對u的導(dǎo)數(shù),以u′x

表示u對x的導(dǎo)數(shù).我們可以先得到函數(shù)y=sinu，u=2x的導(dǎo)數(shù)y′u=(sinu′)=cosu,u′x

=(2x)′=2.

我們可以再換個角度來求y′x

：y′x

=(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[(sinx)'·cosx＋sinx·(cosx)'

]=2[cosx·cosx＋sinx·(-sinx)]=2[cos2x-sin2x]=2cos2x.可以發(fā)現(xiàn)，y′x

=2cos2x=cosu·2=y′u

·u′x歸納總結(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)結(jié)果顯示y′x＝y(tǒng)'u·u′x

結(jié)構(gòu)特點思考4：現(xiàn)在，你可以用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求函數(shù)

y＝ln(2x-1)的導(dǎo)數(shù)了嗎？解：函數(shù)y＝ln(2x-1)可以看成是由y＝lnu和u＝2x-1復(fù)合而成.以y′u

表示對u求導(dǎo),以u′x表示對x求導(dǎo).因為y'u＝(lnu)'＝,u'x＝2,所以y'x＝y(tǒng)'u·u'x＝

·2

=

分解求導(dǎo)

相乘

回代復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))求導(dǎo)的基本步驟是：（1）分解：設(shè)u=g(x)，則y=f(u).

（2）求導(dǎo)：

y′u=f′(u)，u′x

=g′(x)（3）相乘：y′x＝y(tǒng)'u·u′x（4）回代：用u=g(x)替換上式中的u.反思歸納

例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解：例題說明：對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程及中間變量，直接運用公式，從外層開始由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).如解：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).課本P79求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解：練習(xí)課本P81解：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):課本P81例題例2：某個彈簧震子在震動過程中的位移y(單位:mm),關(guān)于時間t(單位:s)的函數(shù)滿足關(guān)系.求函數(shù)y在t=3s時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義.解:課本P80練習(xí)1.某港口在一天24小時內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系式s(t)＝3sin (0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義.將t＝18代入s′(t)，2.求下列函數(shù)在給定點處的導(dǎo)數(shù):解：課本P81例題解：練習(xí)課本P81隨堂檢測1.曲線y＝2xex－2在點(2,4)處切線的斜率等于（

）A.2e B.e C.6 D.2解析：∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，∴k＝y(tǒng)′|x＝2＝2e0＋4e0＝6，故選C.3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________．解：∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1).令x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝2×0－4＝－4.5.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為_____.解析：設(shè)直線y＝x＋1切曲線y＝ln(x＋a)于點(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù).

記作：y=f(g(x)).1.復(fù)合函數(shù)：2.