數(shù)學(xué)素材：第二講五與圓有關(guān)的比例線段

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥探究1解：連接AD，BC，則由圓周角定理的推論可得∠A＝∠C?！郣t△APD∽Rt△CPB.∴eq\f（PA，PD)＝eq\f（PC，PB).∴PA·PB＝PC·PD。探究2解：結(jié)論P(yáng)A·PB＝PC·PD仍然成立(證明同上)．探究3解:如果CD與AB不垂直,如圖所示，CD,AB是圓內(nèi)的任意兩條相交弦，結(jié)論（1）仍然成立．證明:連接AD，BC.∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△APD∽△CPB.∴eq\f（PA，PC）＝eq\f(PD，PB)?！郟A·PB＝PC·PD.探究4解：當(dāng)點(diǎn)P在圓上時，在圖1中，PA＝PC＝0，所以PA·PB＝PC·PD仍成立．當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，在圖2中，連接AD，BC，容易證明△PAD∽PCB，所以eq\f(PA，PC)＝eq\f（PD,PB），即PA·PB＝PC·PD.圖1圖2探究5解：使割線PB繞P點(diǎn)運(yùn)動到切線的位置（如圖所示)，連接AC，AD,則∠PAC＝∠PDA。又因?yàn)椤螾＝∠P，所以△PAC∽△PDA，所以eq\f(PA，PD)＝eq\f(PC，PA)，即PA2＝PC·PD.因?yàn)锳,B兩點(diǎn)重合,所以PA·PB＝PC·PD仍然成立．探究6解：使割線PD繞P點(diǎn)運(yùn)動到切線位置時，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，又因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B重合，所以(1)式PA·PB＝PC·PD變?yōu)镻A2＝PC2，所以PA＝PC。思考:解：由切割線定理能證明切線長定理．證明如下：如圖，由P向圓任作一條割線PMN，由切割線定理得PA2＝PM·PN，PC2＝PM·PN?！郟A2＝PC2。∴PA＝PC。切線長定理的空間推廣：從球外一點(diǎn)引球的無數(shù)條切線，它們的切線長都相等．習(xí)題2.51．解：如圖,設(shè)圓的兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)P，PA＝12，PB＝18，PD∶PC＝3∶8。設(shè)PD＝3x，則PC＝8x。由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，∴12×18＝3x·8x，即x2＝9.∴x＝3?！郈D＝PC＋PD＝11x＝11×3＝33（cm)．2．解：如圖(1)是軸縱斷面圖，圖(2）是圓頭部分的圖形，其中弦CD＝30,直徑AB＝72，且AB⊥CD于M,因此MB就是圓頭部分的長．設(shè)MB＝x，由相交弦定理得MC·MD＝MB·MA。而MC＝MD，∴eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（CD，2)））2＝MB·MA＝（AB－MB)·MB.∴152＝(72－x）x,即x2－72x＋225＝0。解得x＝36＋3eq\r（119)或x＝36－3eq\r(119）（不合題意，舍去)．∴軸的全長為160＋(36＋3eq\r(119）)＝196＋3eq\r(119).圖(1）圖（2）3．證明:如圖，延長CP與圓相交于點(diǎn)D?！逴P⊥PC，∴PC＝PD.由相交弦定理，得PA·PB＝PC·PD，∴PC2＝PA·PB。4．解：設(shè)⊙O的半徑為x，由割線定理，得PA·PB＝PC·PD.∵PA＝6，PB＝PA＋AB＝6＋7eq\f（1,3）＝eq\f(40,3)，PC＝PO－OC＝12－x，PD＝PO＋OD＝12＋x，∴6×eq\f（40，3）＝(12－x）·(12＋x）．解得x＝8。∴⊙O的半徑為8.5．證明：由切割線定理和割線定理，得PN2＝NB·NA，NB·NA＝NM·NQ。故PN2＝NM·NQ。6．證明：由切割線定理得MA2＝MB·MC.∵M(jìn)A＝PM，∴PM2＝MB·MC,即eq\f（PM,MB)＝eq\f(MC，PM）.又∵∠BMP＝∠PMC，∴△BMP∽△PMC.∴∠MPB＝∠MCP。7．證明:連接GC.∵∠1和∠2都是Beq\x\to（G）上的圓周角,∴∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CF⊥AB，∴∠2＝90°－∠ABD，∠3＝90°－∠ABD.∴∠2＝∠3?！唷?＝∠3?！郣t△CHD≌Rt△CGD?！郉H＝DG.8．證明:連接OC，則∠AOC等于的度數(shù)．∵∠CDE等于度數(shù)的一半，且,∴∠AOC＝∠EDC?！唷螾OC＝∠PDF.又∵∠DPF＝∠OPC,∴△POC∽△PDF?！鄀q\f（PO,PD)＝eq\f（PC，PF）.∴PF·PO＝PD·PC.由割線定理，得PD·PC＝PA·PB,∴PF·PO＝PA·PB。9．解:(1）∵DG和FE是圓內(nèi)相交的弦，∴CF·CE＝CD·CG。(結(jié)論1）∵AB是圓的切線，∴AB2＝AD·AE.∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，(結(jié)論2)即eq\f（AC,AE)＝eq\f（AD，AC).而∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC?！摺螦EC＝∠G，∴∠ACD＝∠G?！郃C∥FG。(結(jié)論3）(2）如果∠BAD＝∠CAD，連接BC，BD，BG，BE?！逜B＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD.∴BD＝CD。(結(jié)論4）∴∠ABD＝∠ACD。∵∠ACD＝∠1，∠ABD＝∠2，∴∠1＝∠2。（結(jié)論5）∴.（結(jié)論6）∵∠1＝∠3,∠2＝∠4，∴∠3＝∠4.∴△ABE≌△ACE?！郆E＝CE.(結(jié)論7）∵AB＝AC