數(shù)學(xué)素材：教材梳理第二講二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理包括兩個(gè)：定理1是圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；定理2是圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角.這兩個(gè)定理的表述形式稍有差別,但反映的本質(zhì)相同，都反映了圓內(nèi)接四邊形所具有的特征.知識(shí)拓展利用這兩個(gè)定理，可以借助圓變換角的位置，得到角的相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系;再進(jìn)行其他的計(jì)算或證明。利用這兩個(gè)定理可以得出一些重要結(jié)論：如內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形。應(yīng)用這些性質(zhì)可以大大簡(jiǎn)化證明有關(guān)幾何題的推理過(guò)程。二、圓內(nèi)接四邊形的判定定理1.定理：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓.2.符號(hào)語(yǔ)言表述：在四邊形ABCD中，如果∠B+∠D=180°,那么四邊形ABCD內(nèi)接于圓。疑點(diǎn)突破要證明四邊形ABCD內(nèi)接于圓,就是要證明A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)，只要能證明這四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)距離相等即可.但是這個(gè)定點(diǎn)一時(shí)還找不出來(lái).不過(guò)對(duì)于不在同一條直線上的三點(diǎn)來(lái)說(shuō)，總可以確定一個(gè)圓。因此我們可以先經(jīng)過(guò)A、B、C、D中的任意三個(gè)點(diǎn)，譬如A、B、C三點(diǎn)作一個(gè)圓，再證明第四個(gè)點(diǎn)D也在這個(gè)圓上就可以了.但是直接證明點(diǎn)D在圓上很困難，所以我們采用反證法證明.也就是假設(shè)點(diǎn)D不在圓上，經(jīng)過(guò)推理論證，得出錯(cuò)誤的結(jié)論，這就說(shuō)明點(diǎn)D不在圓上是錯(cuò)誤的，因此點(diǎn)D只能在圓上.由于點(diǎn)D不在圓上時(shí)，可能出現(xiàn)點(diǎn)D在圓外和點(diǎn)D在圓內(nèi)兩種情況,所以應(yīng)分別加以證明，下面先討論點(diǎn)D在圓內(nèi)的情況.假設(shè)點(diǎn)D在圓內(nèi),若作出對(duì)角線BD,設(shè)BD和圓交于D′，連結(jié)AD′、CD′，則ABCD′為圓內(nèi)接四邊形（如圖2-圖2三、判定四點(diǎn)共圓的方法(1）如果四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，那么這四個(gè)點(diǎn)共圓.(2)如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。（3）如果一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.(4)如果兩個(gè)直角三角形有公共的斜邊，那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的距離相等）.問(wèn)題·探究問(wèn)題圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明，推導(dǎo)出與圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理相矛盾的結(jié)果，體現(xiàn)了用反證法證明幾何命題的基本思路。反證法是證明問(wèn)題的有效方法，那么與正面證明相比較，反證法有什么特點(diǎn)？它證明問(wèn)題的步驟怎樣?它有什么優(yōu)點(diǎn)？思路:反證法是一種間接證法，它先是提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理,導(dǎo)致矛盾，從而否定原假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。探究:反設(shè)是反證法的基礎(chǔ),為了正確地作出反設(shè),掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如:是/不是；存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于；等于/不等于;大（小)于/不大（?。┯?；都是不都是；至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)至多有(n—1)個(gè);至多有一個(gè)至少有兩個(gè);唯一至少有兩個(gè).歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā),否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn).導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾,與已知的公理、定義、定理、公式矛盾，與反設(shè)矛盾，自相矛盾。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法（結(jié)論的反面不止一種),如在上述定理證明中，假設(shè)點(diǎn)D不在圓上，則有點(diǎn)D在圓外和點(diǎn)D在圓內(nèi)兩種情況,必須一一證出這兩種情況都不成立后，才能肯定點(diǎn)D在圓上。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1）反設(shè);(2）歸謬；（3)結(jié)論.對(duì)于一些從正面難以說(shuō)明的問(wèn)題，反證法往往有著出奇制勝的作用.典題·熱題例1如圖2—圖2思路分析:連結(jié)EF。由∠B+∠AEF=180°，∠B+∠C=180°，可得∠AEF=∠C.證明：連結(jié)EF.∵ABCD為平行四邊形，∴∠B+∠C=180°?！逜、B、F、E內(nèi)接于圓,∴∠B+∠AEF=180°?！唷螦EF=∠C.∴C、D、E、F四點(diǎn)共圓。深化升華要證明四點(diǎn)共圓，首先要把這四個(gè)點(diǎn)連結(jié)組成四邊形，然后說(shuō)明其對(duì)角互補(bǔ)或外角等于它的內(nèi)對(duì)角.例2兩圓相交于A、B，過(guò)A作兩直線分別交兩圓于C、D和E、F。若∠EAB=∠DAB.求證：CD=EF。思路分析：要證CD=EF，只需證明△CBD≌△EBF即可.從圖2—圖2證明：∵ABEC為圓內(nèi)接四邊形，∴∠2=∠CEB.又∵∠1=∠ECB，且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB?！郆C=BE。在△CBD與△EBF中，∠C=∠E，∠D=∠F,BC=BE，∴△CBD≌△EBF?！郈D=EF。深化升華利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),直接寫(xiě)出∠2=∠CEB，簡(jiǎn)化了通過(guò)弧與角的計(jì)算推證∠2=∠CEB的過(guò)程,正如運(yùn)用算術(shù)乘法的九九表一樣，可以大大簡(jiǎn)化思維的過(guò)程.例3在銳角△ABC中,BD、CE分別是邊AC、AB上的高線，DG⊥CE于G,EF⊥BD于F.求證：FG∥BC.思路分析：證FG∥BC，只需證∠DFG=∠DBC即可.我們?cè)O(shè)法由共斜邊的兩個(gè)直角三角形的四頂點(diǎn)共圓來(lái)分析角的關(guān)系，探求證明的思路。證明:如圖2-同理，Rt△EDF與Rt△DGE共斜邊DE，所以D、E、F、G四點(diǎn)共圓.圖2于是，∠DEG=∠DFG.因此，∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC。例4如圖2-圖2求證：△ABC的外心O與A、P、Q四點(diǎn)共圓。思路分析：要證O、A、P、Q四點(diǎn)共圓，只需證∠CPO=∠AQO即可。為此，只要證△CPO≌△AQO即可。證明：連結(jié)OA、OC、OP、OQ。在△OCP和△OAQ中，OC=OA，由已知，CA=AB，AP=BQ,∴CP=AQ.又O是△ABC的外心，∴∠OCP=∠OAC。由于等腰三角形的外心在頂角的平分線上，∴∠OAC=∠OAQ，從而∠OCP=∠OAQ?！唷鱋CP≌△OAQ.∴∠CPO=∠AQO.∴O、A、P、Q四點(diǎn)共圓。深化升華本題也可證△OAP≌△OBQ，得到角相等，進(jìn)而說(shuō)明四點(diǎn)共圓.你可以試著寫(xiě)出另一種證明.例5如圖2—2-圖2思路分析：由已知條件可以證明四邊形ABEF是正方形，且邊長(zhǎng)為2，則正方形面積為2。而△ABD的面積為正方形面積的一半，所以，只需證明S四邊形APQB=S△ABD，即證S△BPD=S△BPQ，即證DQ∥PB.因?yàn)锽P⊥AE，所以,只需證DQ⊥AE。證明:∵AE、BF為互相垂直的兩條直徑，垂足O為圓心,∴AE、BF互相平分、垂直且相等.∴四邊形ABEF是正方形.∴∠ACB=∠AEF=45°，即∠DCQ=∠QED?！郉、Q、E、C四點(diǎn)共圓.連結(jié)CE、DQ，則∠DCE+∠DQE=180°.∵AE為⊙O的直徑，∴∠DCE=90°，∠DQE=90°?！摺螰OE=90°，進(jìn)而DQ∥BF，∴S△BPQ=S△BPD?！郤△ABP+S△BPQ=S△A