滬教版 九年級數(shù)學(xué) 一模25壓軸題題型匯編

一謨2$壓軸時越型匯編>

砥知識定位

/考格分析:

上海歷年各區(qū)一模試卷第25題屬于幾何壓軸題，該題的特點(diǎn)是考察知識點(diǎn)廣、難度深、

區(qū)分度大等，是很多學(xué)生難以應(yīng)付的難題之一。一般這類題以幾何圖形為背景，包括常見的三

角形、四邊形（以圓為背景的幾何壓軸題通常出現(xiàn)在二模壓軸題中）等，考察的知識點(diǎn)包括常

見三角形及四邊形性質(zhì)與判定、相似三角形性質(zhì)與判定、勾股定理、銳角三角比以及比例性質(zhì)

等等，同時考察學(xué)生在中學(xué)階段需要培養(yǎng)的數(shù)形結(jié)合、分類討論和幾何運(yùn)動變化等數(shù)學(xué)思想。

雖然該題綜合性很強(qiáng)，但是縱觀歷年一模真題可以發(fā)現(xiàn)，這類題常見的考察題型有以下幾種：

函數(shù)關(guān)系式問題（三種）、特殊三角形存在性問題（如等腰三角形與直角三角形存在性問題）

以及相似三角形問題，因此本講義特選取近幾年一模原題進(jìn)行分析，針對不同題型進(jìn)行講解。

考忒占比:

幾何壓軸題的分值一般在14分左右，約占比整份試卷分值的10%,其中第一問屬于基礎(chǔ)

題，分值在4分左右，需要每位學(xué)生必須做對；第二、三問常考函數(shù)關(guān)系式或者特殊三角形、

相似三角形問題，分值至少各占5分，一般需要分類討論才能拿到高分！！

童鞋，你做好學(xué)習(xí)本節(jié)課的準(zhǔn)備了么?

Areyouready?

.X

II題型梳理

煙趣睛鏘

題型梳理1:線段與線段間的函數(shù)關(guān)系式問題

【題目】

[17靜安】如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AC與BD相交于點(diǎn)0,AC=BC,點(diǎn)E在

DC的延長線上，zBEC=zACB.已知BC=9,COSNABC=：錯誤!未找到引用

3A_______

源。./

(1)求證：BC2=CD-BE;

(2)設(shè)AD=x,CE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(3)如果ADBC-ADEB,求CE的長。

【題目分析】

本題考察了銳角三角比、相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形及等腰梯形

判定及性質(zhì)等等知識點(diǎn)，涉及的內(nèi)容匕瞰多，具有一定的難度。其中第一問證明線段之間的

比例關(guān)系，屬于典型的相似證明題，分析題意可知只要證明ADAOACEB即可，首先利用N

DCB進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可以求出NACD=NEBC,而易證NDAC=NACB=NCEB,所以△

DAC-ACEB;第二問屬于典型的線段與線段之間的函數(shù)關(guān)系式問題，是幾何綜合題?？碱}

型之一，具有一定的難度，一般需要結(jié)合相似三角形、勾股定理以及銳角三角比等知識進(jìn)行

求解，本題也不例外，由于AD、CE兩條線段分別在兩個易證的一對相似三角形ADAC與A

CEB中，因而可以考慮求解另外兩條對應(yīng)邊的表達(dá)式，由于CE:AD=BC:CD,此時的關(guān)

鍵在于求解BC和CD,而BC=9已知，CD則是唯一需求的線段，通過作垂直，構(gòu)造直角

三角形，利用銳角三角比或者勾股定理進(jìn)行列等式即可；第三問在相似三角形確定的情況下

求解線段長度，可以結(jié)合第一問、第二問的結(jié)論進(jìn)行分析。

【答案】

(1)證明：

11?zDCB=zACD+zACB,zDCB=zEBC+zBEC,zACB=zBEC,.-.zACD=zEBC

'.?AD//BC,/.zDAC=zACB=zCEB,."DAd&CEB,

,..BCAC^CDBE

CBBE

,.AC=BC,.-.BC2=CDBE.

(2)^ylx2-\4x+8]，定義域為x>0且x*9;

'x2-14x+81

(3)CE=y

【解析】

解：(1)-.zDCB=zACD+zACB,zDCB=zEBC+zBEC,zACB=zBEC,.-.zACD=zEBC,

DCAC

■,AD//BC,/.zDAC=zACB=zCEB,."DAJCEB—=——BC-AC=CD-BE,

CBBE

■.AC=BC,..BCZ=CDBE.

(2)過點(diǎn)C作CF±AB,垂足為F.

在RMBCF中，BF=BCcosZABC=9x^=3,.'.AB=6.

過點(diǎn)A、D分別作AG^BC、DH_LBC,垂足分別為G、H.

在RbABG中，BG-AB-cosZ.ABC=6x—=2.

■.,AD//BC,DH=AG,:.DH2=AG2=AB2-BG2=62-22=32.

?.AG//DH,.-.GH=AD=x,.-.CH=BC-BG-GH=7-x.

.'.CD=yICH2+DH2=47-xK+32=&-14x+81.

CE_BCy99x

/△CEB-△DAC—=i=，貝[]y=i=

-CDXVX2-14X+81A/X2-14X+81

9x《x2-14x+81

定義域為x>0月/=9.

X2-14X+8I

(3),「△DBJDEB,NCDB二NBDE,zCBD<zDBEf

.*.zDBC=zDEB=zACB,.QB=OC.

??-AD//BC,=,/.AC=BD,，四邊形ABCD是等腰梯形.

C/C(JD

/.AB=CD,zABC=zDCB,X/zAGB=zDHC=90°.

.“ABG空ADCH,.-.CH=BG=2,.-.x=GH=BC-BG-CH=9-2-2=5.

9x515

..CE=y=

V52-14x5+81T

【難度系數(shù)】4

俐Si需昧

【題目】

3

[18嘉定]在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)P在邊CD上，tanZPBC=；,點(diǎn)Q是在射

線BP上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AB的平行線交射線AD于點(diǎn)M,點(diǎn)R在射線AD上，使

RQ始終與直線BP垂直。

(1)如圖8,當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時，求PQ的長；

(2)如圖9,試探索：礪的比值是否隨點(diǎn)Q的運(yùn)動而發(fā)生變化？若有變化，請說明你

的理由；若沒有變化，請求出它的比值；

若點(diǎn)Q在線段BP上，設(shè)PQ=x,RM=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域.

【答案】

6RM393

(l)PQ=y；(2)沒有變化，血」(3)=-x+一

202

【解析】

3rCrC3

(1)因為AB=8,tanzPBC=-,BC=DC=8,——=—=—,

4,BC84

.1.PC=6,BP=10,DP=2

當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時，因為RQ^BP,.“BCPSARQP,

BPPC5

(2)沒有變化。

如圖，設(shè)射線BP交AD的延長線于點(diǎn)H。

?-?RQ±BP,QM±AD

"RQM+NMQH=90°,zMHQ+zMQH=90°,.-.zRQM=zMHQ,

?.AHllBC,.-.zMHQ=zPBC,.■.Rt^RQM-Rt^PBC,

RMPC_3

''M2-ec-4

(3)如圖，由(2)易得RtARQMsRtAPBORtAQHMsRtWHD,

-DP=2,/.DH=1,PH=￥.-.QH=Y+X,.?.MQ=|(與+],

JDJ\JJ

)，二3

RM39326、

解得卜=城+功2*1

M。一4

總結(jié)：本題考察了正方形性質(zhì)、銳角三角比、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，具有一

定的綜合性。第一問中當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)D重合時，此時屬于有一對對頂角的直角三角形相似情

形，利用相似三角形碼列線段比例式求解即可；第二問關(guān)于線段比例的問題，一般結(jié)論都

比較容易得出，由于tan/RQM=RM:MQ,且RQJLBH,MQ±RH,所以結(jié)合"母子三

角形模型"可以發(fā)現(xiàn)NRQM=NMHQ=NPBC,問題得解；第三問屬于線段與線段之間函數(shù)

關(guān)系式問題，注意題設(shè)中已經(jīng)說明點(diǎn)Q在線段BP上，若沒有這條說明就需要分類討論：

點(diǎn)Q在線段上以及點(diǎn)Q在射線上兩種情況求解，該問降低了題目難度，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP

上時，分析題意可知有RfRQMsRfPBCsRtAQHMsRtAPHD，代入相應(yīng)的數(shù)值計算即可。

【難度系數(shù)】4

-題型梳理2：線段與面積間的函數(shù)關(guān)系式問題

【題目】

【17青浦】已知：如圖9,在菱形ABCD中，AB=5,聯(lián)結(jié)BD,inZABD=—，點(diǎn)P

s5

是射線BC上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合)，聯(lián)結(jié)AP,與對角線BD相交于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)

EC。

(1)求證：AE=CE;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，設(shè)BP=x,APEC的面積為y,求y

關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域;

BP

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時，若WEC是直角三角形，求線段多P的長。

【題目分析】

本題考察了菱形的性質(zhì)、銳角三角比、全等三角形以及相似三角形的性質(zhì)與判定、直角

三角形性質(zhì)與判定以及線段比例性質(zhì)等知識點(diǎn)，考察的題型包括線段與三角形面積之間的函

數(shù)關(guān)系式問題以及直角三角形存在性問題，難度較大，涉及的內(nèi)容較多。其中第一問考察菱

形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，屬于基礎(chǔ)題型；第二問關(guān)于線段與三角形面積之間的

函數(shù)關(guān)系式問題，是幾何綜合題中比較?？嫉囊活愵}型，一種方法是利用相似三角形的性質(zhì)

求解，即通過轉(zhuǎn)化求解相似三角形的面積比等于對應(yīng)邊長比的平方，另一種方法就是求出待

求三角形的面積表達(dá)式，進(jìn)而找出與已知題干線段之間的函數(shù)關(guān)系，一般第二種情況比較常

見，如本題中APEC中PC邊長容易表示，此時解題的關(guān)鍵就是求出E點(diǎn)到PC邊上的高，

而通過作垂直，可以利用勾股定理、銳角三角比以及線段比例性質(zhì)進(jìn)行求解；第三問屬于直

角三角形存在性問題，題干條件給出了點(diǎn)P在線段BC的延長線上，此時就不需要考慮點(diǎn)P

在線段BC上的情形，一般而言，需要首先利用已知條件排除不可能的直角情況，如本題中

的NEPC不可能為直角，針對剩下的可能情況顯然是需要分類討論的，而在直角三角形中求

解無非用到勾股定理以及銳角三角比等知識點(diǎn)進(jìn)行分析。

【答案】

(1),.四邊形ABCD是菱形，，BA=BC,zABD=zCBD,

又?.BE=BE,.”ABE%CBE,，AE=CE.

/c、lOx—2x2c

(2)y=--------------(0<x<5);

5+x

(3)5或15

【解析】

解：(1)?.四邊形ABCD是菱形,.-.BA=BC,zABD=zCBD,

又.BE=BE,.”ABE學(xué)CBE,，AE=CE.

(2)聯(lián)結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AH_LBC,過E作EF±BC,垂足分別為點(diǎn)H、F.

,?.四邊形ABCD是菱形，「.AC^BD,

?,AB=5,sinNABD=4,.-.A0=0C=V5,B0=0D=2石.

:-ACBD=BCAH,..AH=4,BH=3.

2

……AEADAE+EPAD+BP

'.'AD//BC,......-------

EPBPEP—-—BP

AP_5+xEP_x

~EP~~(~'"~AP~~5Vx

EFPE4x

"."EF//AH,-------------EF=

AHAP5+x

.1,1\4x\0x-2x2,.

■■y=-PDCr-EF=-(5-x)------=---------------0<x<5.

-22VJ5+x5+x、)

(3)因為點(diǎn)P在線段BC的延長線上，所以NEPC不可能為直角.

(i)當(dāng)NECP=90。時,

,"ABE%CBE,..NBAE=NBCE=90°,

53225

.；c°sNABP=^=膽-----=—!/.BP=—;

BPABBP53

(ii)當(dāng)NCEP=90°時,

.△ABE%CBE,.-.zAEB=zCEB=45°,：,AO=OE=y/5，:.ED=#,BE=3后.

DE5_V5

?.AD//BP,.-.BP=15

BP~BE'.而―訪

25

綜上所述，當(dāng)AEPC是直角三角形時,線段BP的長為三或15.

【難度系數(shù)】5

礪虢晡猿

【題目】

3

【17松江】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，cotZ^=-,

AB=16,點(diǎn)E在射線BC上，點(diǎn)F在線段BD上，且NDEF=NADB。

BCE

(1)求線段BD的長；

(2)設(shè)BE=x,ADEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)定義域；

(3)當(dāng)ADEF為等腰三角形時，求線段BE的長。

【答案】

(1)BD=20;

/c、/-24x2+400x—1八//c/

(2)y=---------------------,ZE乂域。<x<24;

(3)20或24或三

【解析】

解：(1)..四邊形ABCD是矩形，.?.NA=90。，

AO3

在RbBAD中，cotZADB=—=—,AB=16,.-.AD=12,

AB4

-,?BD=^AD2+AB2=20

(2)-.AD//BC,ZADB=ZDBC,

???ZDEF=ZADB，:"DEF=NDBC,

2

DE

：NEDF=NBDE,..AEDIBDE,

~BD

ABDE

1??BC=AD=12,BE=x,.CE=|尤-12|,

■,-CD=AB=16，,在RfCDE中，DE=7162+(x-12)2=A/X2-24X+400,

2

IIv7X-24X+400

S^IXDRDLF=—CXBEXCD=C—?x?16=8%',C

228x20

7

x3-24x2+400x…

二y=-------------------------,定乂域0<x<24

-50

(3)「AEDFSABDE,.?.當(dāng)ADEF是等腰三角形時，ABDE也是等腰三角形

i）當(dāng)BE=BD時，-.BD=20,.1.BE=20;

ii）當(dāng)DE=DB時，vDCxBE,/.BC=CE=12，,BE=24;

iii)當(dāng)EB=ED時，作EH_LBD于H，貝！|BH=38。=10,

cosNHBE=cosNADB，即歿=迫,BE--

BDBE20BE3

綜上所述，當(dāng)ADEF時等腰三角形時，線段BE的長為20或24或號.

總結(jié)：本題考察了銳角三角比、矩形性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)與判定、勾股定理、等腰三角形

性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，考察的題型有線段與三角形面積之間的函數(shù)關(guān)系式問題以及等腰三角

形存在性問題，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較大。其中第一問直接在直角三角形中利用銳角

三角比求解即可；第二問屬于線段與三角形面積之間的函數(shù)關(guān)系式問題，利用的是相似三角

形的面積比等于相似比的平方，通過分析可知AEDF-ABDE,此時解題的關(guān)鍵就是求解ABDE

的面積，而相應(yīng)的邊長CD和BE不難求解；第三問關(guān)于等腰三角形存在性問題，該類問題

一般有兩種方法，一種就是從待求等腰三角形出發(fā)，分別求出三邊長或者利用從角度考慮進(jìn)

行轉(zhuǎn)化求解，另一種就是通過相似性質(zhì)，將待求的等腰三角形存在性問題轉(zhuǎn)化到另一個三角

形中進(jìn)行分析。

【難度系數(shù)】4

-題型梳理3：線段與比例間的函數(shù)關(guān)系式問題

【題目】

[18奉賢】已知：如圖10,在梯形ABCD中,AB//CD,zD=90°,AD=CD=2，點(diǎn)E在

邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合)，NCEB=45°,EB與對角線AC相交于點(diǎn)F,設(shè)DE=x。

(1)用含x的代數(shù)式表示線段CF的長；

(2)如果把ACAE的周長記作C.-cAE,ABAF的周

長記作GBAF,設(shè)產(chǎn)^=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

^△BAF

3

(3)當(dāng)NABE的正切值是《時，求AB的長。

【題目分析】

本題考察了直角梯形性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、銳角三角比等知識點(diǎn),

考察的題型有線段與比例之間的函數(shù)關(guān)系式問題，屬于幾何壓軸題中?？碱}型之一，解決這

類題型一般有兩種方法，一種就是分別求出比例式中兩個量與已知線段之間的關(guān)系，然后找

出對應(yīng)等量關(guān)系即可另一種方法就是利用相似三角形性質(zhì)、線段成比例性質(zhì)進(jìn)行分析求解。

本題第一問中求解CF關(guān)于x的表達(dá)式，由于CF所在三角形屬于一般三角形，此時可以考

慮利用相似三角形轉(zhuǎn)化或者是作垂線構(gòu)造直角三角形求解，通過分析題意可知，ACEF-A

CAE,這是解題本問的關(guān)鍵；第二問屬于線段與比例之間的函數(shù)關(guān)系式問題，利用三角形相

似具有傳遞性可知，對應(yīng)的比例式可用"相似三角形的周長比等于相似比"這一條性質(zhì)求解；

第三問利用ABAF—CAE可表示出AB,最后通過銳角三角函數(shù)建立等式求解即可。

【答案】

》F=&+4/；(2)y=&l(0<x<2);(3)AB=-

42+x2

【解析】

(1)如圖，在RTADAC中,AD=CD=2，二AC=272,zCAD=45°,

22

在RRCDE中，CD=2,DE=x,/.CE=x+4,r

4AB

(2)如圖，由NCEF=NBAF,zCFE=zBFA,得△CEF^BAF,

又“CEF?4AE,「.△BAFiCAE,

C^CAE_AE_2-x

=AF

根據(jù)相似二角形的周長比等于相似比可知，yCABAF2日”'

272

整理得y=Rl(0<X<2)

2+x

AP35

(3)如圖在RTSBE中，tanzABE=——=-，得AB=—(2-幻，

AB53

由△BAFsaCAE,根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可知，

「Ap2V22V2[qr

VACAEd---------=--------------華口1AC°/C\D

y=7-------=7^，,2+x5s、，解得X=；,.?.AB=w(2_x)=j

CABAFAB-(2-x)232

【難度系數(shù)】4

nr礪破需猿

【題目】

3

【17奉賢】已知：如圖8,RbABC中，NACB=90。，BC=8,cotNBAC=-，點(diǎn)D

4

BC上(不與點(diǎn)B、C重合)，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，NDAE=NBAC,點(diǎn)F在線段AE

上，

(3)當(dāng)AADE是以AD為腰的等腰三角形時，求線段BD的長。

【答案】

25

(1)BD=y

25-2x

(2)y=(0<x<8);

2x

25

⑶5或？

【解析】

(1)-.zDAE=zBAC,/.zCAF=zBAD,

AFPC

???zACF=zB,."ACFSAABD,/.—=—.

ADBD

???NACB=90°,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn),.-.AF=FC,.-.AD=BD,

BD=x,BC=8,CD=8-x,AD=x,

在RfACB中，NACB=90°,cotABAC=—,

BC

33

又：BC=8,cot/BAC=—,:.AC=8x-=6,

44

在RNACD中，AC2+DC2=AD2,

25

:.62+(8-x)2=x2,解得:x=—,

4

25

二.若點(diǎn)F恰好是AE的中點(diǎn)時，線段BD的長是一.

4

(2)過點(diǎn)A作AQ//BC,交CF的延長線于點(diǎn)Q,.-.zQAC=zACB=90°.

-.'zACF=zB,."ACQSACBA,=,

.??BC=8,AC=6,/.AB=10,

ACFC

〔FACFSAABD

AFFQ

?.AQ//BC

?..y

-1-5-----3X

25_25-2x

...y=(0<x<8)

-3x2x

5

(3)若SDE是以AD為腰的等腰三角形，

①當(dāng)AE=AD時，.ACJ_DE,.?.EC=CZ)=8-x.

,/QC=,AC=6,.'.AQ=.

???AQ//BC,.?噂=笫

9

??.5二25-2x,解得：玉=5,々=20(不符合題意，舍去)；

8-％2x

ACA.F

②當(dāng)AD=DE時，聯(lián)結(jié)DF,?；SC%AABD,.?—=—.

ABAD

?.zFAD=zCAB，,VADjCAB..-.zAFD=zACB=90o.

，AF=EF,即y==l,解得：“當(dāng)

2x4

25

綜上所述，當(dāng)△ADE是以AD為腰的等腰三角形時，8。的長是5或于.

總結(jié)：本題考察了銳角三角比、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與

判定等知識點(diǎn)，考察的題型有線段與比例之間的函數(shù)關(guān)系式問題以及等腰三角形存在性問

題，難度較大，綜合性較強(qiáng)。其中第一問給出了點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，此時CF是直角三角形

斜邊中線，即AAFC是等腰三角形，通過分析可知AACF-AABD,則AABD也是等腰三角形,

這是解題的關(guān)鍵，最后利用勾股定理解題即可；第二問屬于線段與比例之間的函數(shù)關(guān)系式問

題，一種解法就是分別求出AF、EF關(guān)于x的表達(dá)式求解，另一種方法就是通過比例轉(zhuǎn)化，

找出與之相等的比例式，此時用到相似三角形性質(zhì)求解，該問的解法不唯一；第三問關(guān)于等

腰三角形存在性問題，確定AD是一條腰，此時需要分類討論，一般可以從角度入手解題比

從邊長入手更簡單。

【難度系數(shù)】5

-題型梳理4：等腰三角形存在性問題

【題目】(18松江】如圖,已知AABC中,zACB=90°,AC=1,BC=2,CD平分N

ACB交邊AB與點(diǎn)D,P是射線CD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)APO/,

(i)求線段CD的長；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在CD的延長線上，且NPAB=45。時，求CP的長；

c

(3)記點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CM、PM,若4MP是等

腰三角形，求CP的長。

【題目分析】

本題考察了線段比例性質(zhì)、銳角三角比、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)

與判定，其中第三問屬于典型的等腰三角形存在性問題，考察學(xué)生分類討論以及數(shù)形結(jié)合等

數(shù)學(xué)思想，具有一定的綜合性和難度。第一問注意到CD平分直角NACB，通過作DH±BC,

利用相似比求解難度不大；第二問給出了NPAB=45。，又NACP=NBCP=45。，此時應(yīng)該考

慮用相似三角形求解，通過分析可知AADP-ACDB,進(jìn)而有ADBD=CD-PD,再聯(lián)立DH:

AC=BD:AB解出未知線段;第三問是本題的難題，需要分類討論，一種方法是分別求出

三角形的三條邊長，然后分別兩兩組合討論即可，另一種是根據(jù)圖形特點(diǎn)，利用角度關(guān)系進(jìn)

行轉(zhuǎn)化，結(jié)合勾股定理、銳角三角比以及等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行分析。

【答案】

(1)CD=|V2;

(2)CP=-V2;

2

(3)手或|拒或滓

【解析】

(1)解：過點(diǎn)D作DH_LBC

1??ZACB=90°,CD平分NACB,.-,DH//AC,DH=CH,

PHBHx_2-x

令,解得

DH=x~AC~~BCx=§,

:.CD=-42

3

(2)NAC3=90°,CD平分NACB,.-.zBCD=45°,

1.-zPAB=45°,.-.zBCD=zPAB,

ADDP

又NADP=NCDB,...AADP”4DB,——=——,§PADBD=CDPD.

CDDB

2

由(1)得些=里=3=2,

BA~AC~\~3

???ZACS=90=,AC=1,BC=2，:.AB=^,

??皿g,如竽"..爾不

?1.CP=CD+￡)P=—+—=—

362

(3)vZACB=90°,M為邊AB的中點(diǎn)，r.CM=絲=正，

22

①當(dāng)CPi=CM時，CP、=與；

AR

②當(dāng)MP2=MC時，CM，

.-.P2M=AM=BM,.".ZMAP2=ZMR2A,ZMBP2=ZMP2B,

.".ZMAP2+ZMP2A+ZMBP2+ZMP2B=2(ZMP2A+MP2B)=180O,

.?.ZAP2B=90°,

過點(diǎn)P2分別作CA、CB垂線，垂足為N,H,.-.ZANP2=ZBHP2=90°

???ZAC3=90°,CD平分NAC8,.-.R2N=R2H,CN=CH,NNP2H=90°,，NAP2N=NBP2H；

「.△P2NA當(dāng)P2HB,/.AN=BH

：.CH=W,:.CP,=^;

...令A(yù)N=x,/.l+x=2-x,/.x=—

22

③當(dāng)P3C=P3M時

2=CP-^-，:心3=*

22

?.■ACP3M-^CMP3,:.CM^CPyCP2,

【難度系數(shù)】5

T例魅睛猿

【題目】

[18閔行】如圖,在RfABC中,zACB=90°,AC=4,BC=3,CD是斜邊上中線，點(diǎn)E

在邊AC上，點(diǎn)F在邊BC上，且NEDA=NFDB,聯(lián)結(jié)EF、DC交于點(diǎn)G。

(1)當(dāng)NEDF=90°時，求AE的長；

(2)CE=x,CF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(3)如果ACFG是等腰三角形，求CF與CE的比值。

【答案】

在RbEHD中，設(shè)DH=EH=a,

BCEH34

在RMAEH中和RbABC中，tan/A=^=而=1,.-.AH=-a.

,.,Rt^ABC中,zACB=90°,AC=4,BC=3,AB=yjAC2+BC2=5.

:CD是斜邊上中線，.(口=：.

.AH+HD=AD,，ga+a=|,解得"弋,.\AE=|a=.

(2)分別過點(diǎn)E、F作AB的垂線垂足為H、M,

_

/CE=x,CF=yz/.AE=4x,CF=3-y.

34

在RfAEH中，EW=-(4-x),AH=-(4-x),

43

同理RNBFM中，F(xiàn)M=-(3-y),BM=-(3-y).

4737

：.DH=-x——，DM=-y+—.

510'510

RbFHD和RbFMD中r/zEDA=zFDB,

43

-(3-y)-(4-x)

/.tanzEDA=tanzFDB,即：----亍=]---y

-yH-----------x------

510510

化簡得y」：了二?函數(shù)定義域為籌4》＜4.

14x+4439

(3)⑴當(dāng)CG二CF時，

過點(diǎn)G作GNLBC于點(diǎn)N,CF=CG=y,

一34

Rt^HCG中，coszDCB=-,sinzDCB=-,

342

.?.CN?，GN=-yr--FN=-y.

CFFN_1

,二五

??GN//AC~GN~2

(ii)當(dāng)CF=GF時，過點(diǎn)G作GP_LBC于點(diǎn)P,CF=y,

/coszDCB=|z.\CG=2(y-cosZ￡)CB)=|yz

C

F

E

一34

在RbPCG中,coszDCB=-,sinzDCB=-,

?g247

「.CP二一y,GP=——y,/.FP=-y

252525

CFPF_7

"J』

PG~24

(iii)CG=CF的情況不存在.

CF17

，綜上所述，在的值為萬或五

總結(jié)：本題考察了勾股定理、銳角三角比、相似三角形的性質(zhì)與判定以及等腰三角形性質(zhì)與

判定，綜合性較強(qiáng)。第一問中當(dāng)NEDF=90。時，zEDA=zFDB=45°,此時出現(xiàn)了等腰直角

三角形，通過解直角三角形以及直角三角形斜邊中線性質(zhì)求解；第二問屬于線段與線段之間

的函數(shù)關(guān)系式問題，通過分別過點(diǎn)E、F作AB的垂線垂足為H、M,在不同三角形中利用

銳角三角比表示出各條線段長度求解；第三問關(guān)于等腰三角形存在性問題，當(dāng)CG=C或

CF=GF時需要利用相似三角形性質(zhì)。

【難度系數(shù)】5

-感-知識梳理5：相似三角形問題

【題目】

【17楊浦】在RfABC中，NACB=90°,AC=BC=2，點(diǎn)P為邊BC上的點(diǎn)(不與點(diǎn)B、

C重合)，點(diǎn)P關(guān)于直線AC、AB的對稱點(diǎn)分別為M、N,聯(lián)結(jié)MN交邊AB于點(diǎn)F,交

邊AC于點(diǎn)E。A

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)時，求NM的正切值；

(2)聯(lián)結(jié)FP,設(shè)CP=x,S，、MPF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫"

出定義域；

MCPB

(3)聯(lián)結(jié)AM,當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動時，MEF與^ABM是否一定相似？若是，請證明；

若不是，請求出當(dāng)AAEF與AABM相似時CP的長。

【題目分析】

本題考察了圖形對稱性質(zhì)、銳角三角比、等腰直角三角形與矩形及正方形的性質(zhì)與判定、相

似三角形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，考察的題型不僅包括線段與三角形面積之間的函數(shù)關(guān)系問

題，還涉及相似三角形存在性問題，具有一定的難度和深度。第一問關(guān)鍵在于判斷N

NBP=90°,利用圖形對稱的性質(zhì)可以相應(yīng)的角度關(guān)系；第二問考察線段與三角形面積之間

的函數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于APMF中MP邊上的高,通過線段成比例求出對應(yīng)的邊長；

第三問屬于相似三角形存在性問題，一般需要分類討論，本題的解法不唯一。

【答案】

14x—x'

(1)tanzM=-;(2)y=(0<x<2);

34

(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動時，AEAF-AABM

【解析】

解：(1)聯(lián)結(jié)BN,

?:點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，,CP=BP=1...NACB=90。，AC=BC,.-.zA=zB=45°.

,??點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，,CM=CP=1.

???點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為N,.-.AB±PN，且AB平分PN,

.-.BN=BP=1,.-.zNPB=zPNB.

???ABJLPN,zB=45°,.?.zNPB=45°,..NPNB=45°,...NNBP=90°,

在RbMBN中，tanNM=^^=L

BM3

(2)作FH，BC于H，作FQ^BN,

???NNBP=90°,，F(xiàn)HBQ為矩形,

??,NABC=45°,，BF平分NNBP,/.FH=FQ,

H

「.FHBQ為正方形，，F(xiàn)H=BH,

FHMH

??-NB±BC,FH±BC,.-.FH//NB,/.——=——

BNMB

FHMB-BH℃FHMB-FH

---=----------,即-----=----------

BNMBBNMB

.「CP二x,/.BN=BP=2-x,MB=2+x,

FH2+x-FH4-x2

-=--------------,?.FH=-----------

2—x2+x4

■.y=-MPFH=-x2xx^^-,:.y=4x~x(0<x<2)

-224-4

(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動時，AEAF-AABM.

CEMCCE_xx(2-x)

證明：設(shè)CP=x,-.AC//NB,—=——:.CE=

BNMB2-x2+x2+x

■.AE=2-CE=2-X(2~-^^-

2+x2+尤

AE_AF

??.AC〃NB，?啜噎~BN~AB-AF

4+x2

即2+x_A/=—(4+x2)

2-x~2V2-AF4

4+―

.空=2+x=

AF也(4+/)2+x

4

..AB2V2,AB_AE

.BM_2+x'"BMAF

.ZEAF=NABM=45°,.“EAFSAABM.

，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動時，AAEF與AABM一定相似.

【難度系數(shù)】5

礪艘晡球

【題目】

【17浦東】如圖麻,矢蹌ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E是射線CB上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是

射線CD上一點(diǎn)，且AFJLAE,射線EF與對角線BD交于點(diǎn)G,與射線AD交于點(diǎn)M。

(1)當(dāng)點(diǎn)￡在線段改上時，求證：3￡838口；,

(2)在(1)的條件下，聯(lián)結(jié)AG,設(shè)BE=x,tanzMAG=y，求y關(guān)于x,

的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；A尸二一TXH0

(3)當(dāng)AAGM與AADF相似時，求BE的長。\XG

BE

【答案】

(1)證明：...A/_LAE,「.NEAF=90°.

X?ZBA￡)=90o,:.ZBAE+ZEAD=ZEAD+ZDAF,ZBAE=ZDAF；

AHApAQAH

又=。尸=90。，「.△ABE?4ADF,???一=—，二一=—;

ADAFAEAF

又；4BAD=/EAF,/.△ABD-△AEF.

(2)y=^^(0〈元＜4);

9+4x

⑶假31

【解析】

M：(1)---AFA.AE,.-.zEAF=90°.

X/ZBAD=90°,:.ZBAE+ZEAD=ZEAD+ZDAF,ZBAE=Z.DAF；

ARA17AnAn

^:ZABE=ZADF=90°,/.△ABE-△ADF，.二一=—,/.——=—;

ADAFAEAF

又..NBAO=NE4尸,「.△ABD-△AEF.

(2)???△ABD-SEF,:NADB=ZAFE;

AMFMAMGM

文：4AMF=4GMD,/.△AMF-△GMD^LLL

7:GM=DM~MF~~DM

又：NAMG=4FMD,「.△GAM-△DFM,:.ZGAM=ZDFM.

ACLAVABBE3x4

,/△ABE^AADFt—=—-=—,BPDF=-x,

ADDF4DF3

EC4-r12-3r

一c……tanZDFM=—=——=———

在RMFEC中,NECF=90。，F(xiàn)C”49+4x,

JH---X

3

12-3r

：.y=tanZGAM=---------.(