概率復(fù)習(xí)教案1 人教課標(biāo)版

選修概率復(fù)習(xí)講義

隨機(jī)變量及其分布知識點：

離散型隨機(jī)變量及其及布

16.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果

的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母、等或希臘字母&、

n等表不。

17.離散型隨機(jī)變量：在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機(jī)變量可能取的值，我們可以按一

定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.

、離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的，設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為,??…

取每一個值(,……)的概率(&)=,則稱下表為離散型隨機(jī)變量的概率分布，簡稱分布列

XX1X2???Xi???Xn

PpiP2???Pi???P"

、分布列性質(zhì)①;②….

、二點分布：如果隨機(jī)變量的分布列為：

X10

ppq

其中,則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)的二點分布

、超幾何分布：一般地，設(shè)總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取(W)件，

這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機(jī)變量，

「k「n-k

則它取值為時的概率為尸(X=k)=M:M*=0,1,2,,m),

CN

其中m=Ymn[M,〃卜且”WWN,n,M,NeN*

二項分布及其應(yīng)用

7、條件概率：對任意事件和事件，在已知事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，叫做條件概率.

記作()，讀作發(fā)生的條件下的概率

8、公式：

P(B|A)=^^),P(A)>0.

由這個定義可知，對任意兩個事件、，若尸(互>>°,則有

P(AB)=P(B\A)P(A)

條件概率的性質(zhì)：

()非負(fù)性：對任意的e.0?P⑻A)“l(fā)；

()規(guī)范性：(O)；

()可列可加性：如果是兩個互斥事件，則

P(BC\A)=P(B\A)+P(C\A)

9、相互獨立事件：事件(或)是否發(fā)生對事件(或)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相

互獨立事件。P(AB)=P(A)P(B)

10、次獨立重復(fù)事件：在相同條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨立的，重復(fù)做的次試驗。

(=，…，)表示第次試驗結(jié)果，則(IAM…)=()()?“()

、二項分布：設(shè)在次獨立重復(fù)試驗中某個事件發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生次數(shù)目是一個隨機(jī)變量.如

果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中

尸(一)=。”尸(其中,……，)

于是可得隨機(jī)變量&的概率分布如下:

€01???A???n

廠丫兒kn-k

C）產(chǎn)"q?■?

P???CnPq

這樣的隨機(jī)變量自服從二項分布，記作。?(，),其中，為參數(shù)

、數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量&的概率分布為

gX1X2???Xi???

pP1P2???Pi?,,

則稱&=++???++???為&的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望.是離散

型隨機(jī)變量。

離散型隨機(jī)變量的均值與方差

E(ax+。)=aE(x)+b,D{ax+。)=a2D(X)

、二項分布的數(shù)學(xué)期望：()

M

14、超幾何分布數(shù)學(xué)期望：()n?一.

N

15、方差(之)?)??)??)?￡(%—￡(X))2pj

i=l

叫隨機(jī)變量&的均方差，簡稱方差。

、幾種分布的期望與方差一覽：

期望方差

兩點分布€,

超幾何分布

()()*()()

LE?c=7M1-------

胡M參數(shù)為N,M,n的超幾何分布-N(不要求)

二項分布，1?（）一，（）

正態(tài)分布

.正態(tài)分布：

若概率密度曲線就是或近似地是函數(shù)

]_（?'-1〃）"

f{x}=―1_=-e2b2,%e（―oo,+oo）

V24cr

的圖像，其中解析式中的實數(shù)〃、。（。>。）是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

則其分布叫正態(tài)分布記作：（）的圖象稱為正態(tài)曲線。

?基本性質(zhì)：

②曲線關(guān)于直線〃對稱，且在〃時位于最高點

兀

③當(dāng)時X<〃，曲線上升；當(dāng)x>〃時，曲線下降.并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以

軸為漸近線，向它無限靠近.

④當(dāng)〃一定時，曲線的形狀由。確定.b越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；。

越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

⑤當(dāng)。相同時，正態(tài)分布曲線的位置由期望值U來決定.

⑥正態(tài)曲線下的總面積等于.

.o■原則：

從上表看到，正態(tài)總體在(〃-2cr,〃+2cr)以外取值的概率只有，在(〃—3b,〃+3b)以

外取值的概率只有由于這些概率很小,通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.也就是說,通常認(rèn)

為這些情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的.

隨機(jī)變量及其分布復(fù)習(xí)題

—?、二項分布

.(南昌聯(lián)考)某同學(xué)做了道選擇題，每道題四個選項中有且只有一項是正確的，他每道

題都隨意地從中選了一個答案，記該同學(xué)至少答對道題的概率為，則下列數(shù)據(jù)中與的值最接

近的是()

.又一.義一

.X-.X-

.［角翠析］=?x+?=x+=x=x=x"x「)=x—=x-.

.(?湖北)計劃在某水庫建一座至多安裝臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去年的水文資料顯示，水

年△源量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在以上，其中，不

足的年份有年，不低于且不超過的年份有年，超過的年份有年，將年入流量在以上三段的頻

率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.

()求未來年中，至多有年的年入流量超過的概率.

()水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，

并有如下關(guān)不：

_________年入流量_____________<<__________WW_________>

發(fā)電機(jī)最多

可運行臺數(shù)_________

若某臺發(fā)電機(jī)運行，則該臺年利潤為萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運行，則該臺年虧損萬元，

欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

.解：()依題意，=(<<)==,

=(WW)==,

=(>)==.

由二項分布得，在未來年中至多有年的年入流量超過的概率為

=(一)+(—?)=+XX=.

()記水電站年總利潤為(單位：萬元).

①安裝臺發(fā)電機(jī)的情形.

由于水庫年入流量總大于，故一臺發(fā)電機(jī)運行的概率為，對應(yīng)的年利潤=,()=x=.

②安裝臺發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)<<時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時=—=,因止匕(=)=(<<)==;當(dāng)2時，兩臺發(fā)

電機(jī)運行，此時=x=,因止匕(=)=(2)=+=.由此得的分布列如下:

所以，()=X+x=.

③安裝臺發(fā)電機(jī)的情形.

依題意，當(dāng)<<時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時=—=,因止匕(=)=(<<)==；當(dāng)WW時，兩臺

發(fā)電機(jī)運行，此時=x—=,因止匕(=)=(WW)==；當(dāng)〉時，三臺發(fā)電機(jī)運行，此時=x=,

因此(=)=(>)==.由此得的分布列如下:

所以，()=x+x+X=.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)臺.

.(遼寧)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,

如圖-所示.

頻率.

組距

0.006--------------------------

0.005--------I---------

0.004-----------------------------------

0.003--------

0.002---------------------------------------------

O50—100—150200—250日銷售./個

圖-

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.

()求在未來連續(xù)天里，有連續(xù)天的日銷售量都不低于個且另天的日銷售量低于個的概率；

()用表示在未來天里日銷售量不低于個的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列，期望()及方差().

.解：()設(shè)表示事件“日銷售量不低于個”，表示事件“日銷售量低于個”，表示事件“在

未來連續(xù)天里有連續(xù)天日銷售量不低于個且另天銷售量低于個”.因此

0=(++)x=>

()=x=,

()=xxx=.

()可能取的值為，，，，相應(yīng)的概率分別為

(=)=,(一)=，

(=)=,(-)=>

(=)=,(-)=>

(二)=?=

的分布列為

因為?(，),所以期望()=x=,方差()=xx(一)=.

.(四川)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音

樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得分，出現(xiàn)兩次音樂獲得分，

出現(xiàn)三次音樂獲得分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除分(即獲得一分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，

且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.

()設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為，求的分布列.

()玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？

()玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而

減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

.解：()可能的取值為,，，

根據(jù)題意，有

(=)=xx=,

(=)=xx=,

(=)=><x=,

(=—)=xx=.

所以的分布列為:

()設(shè)''第盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件(=,,),則

()=()=()=(=—)=.

所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為一()=—=—=.

因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.

()由()知，的數(shù)學(xué)期望為=X+X+X—X=—.

這表明，獲得分?jǐn)?shù)的均值為負(fù).

因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大.

二、離散型隨機(jī)變量的分布列

.(福建)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧

客從一個裝有個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所

獲的獎勵額.

()若袋中所裝的個球中有個所標(biāo)的面值為元，其余個均為元，求：

()顧客所獲的獎勵額為元的概率；

()顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.

()商場對獎勵總額的預(yù)算是元，并規(guī)定袋中的個球只能由標(biāo)有面值元和元的兩種球組成,

或標(biāo)有面值元和元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位

顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.

.解：()設(shè)顧客所獲的獎勵額為.

()依題意，得(=)=)=.

即顧客所獲的獎勵額為元的概率為，

()依題意，得的所有可能取值為，.

(=)=，

(=)=)=>

即的分布列為

所以顧客所獲的獎勵額的期望為()=X+X=(元).

()根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為元.所以，先尋找期望為元的可能方案.對

于面值由元和元組成的情況，如果選擇(,，，)的方案，因為元是面值之和的最大值，所以期望

不可能為元；如果選擇(,，，)的方案，因為元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為元，

因此可能的方案是(,，，)，記為方案.

對于面值由元和元組成的情況，同理可排除(,，，)和(,，，)的方案，所以可能的方案是(,，，),

記為方案.

以下是對兩個方案的分析：

對于方案，即方案(,，，)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為，則的分布列為

的期望為()=x+x+x=,

的方差為()=(—)X+(—)X+(-)x=.

對于方案，即方案(,，，)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為，則的分布列為

的期望為()=x+x+x=,

的方差為()=(—)X+(一)X+(-)x=.

由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案獎勵額的方差比方案的小，所以應(yīng)該

選擇方案.

.［?江西卷］件產(chǎn)品中有件正品、件次品，從中任取件，則恰好取到件次品的概率是.

［解析］由超幾何分布的概率公式可得(恰好取到一件次品)=)=.

.(天津)某大學(xué)志愿者協(xié)會有名男同學(xué)，名女同學(xué).在這名同學(xué)中，名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)

院，其余名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這名同學(xué)中隨機(jī)選取名同

學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).

()求選出的名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；

0設(shè)為選出的名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

.解：()設(shè)“選出的名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件，貝IJ

()=,+,)=>

所以選出的名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為.

()隨機(jī)變量的所有可能值為，，，.

(=)=?)(=，，，)，

所以隨機(jī)變量的分布列是

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望()=x+x+x+x=.

.(.重慶卷)一盒中裝有張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中張卡片上的數(shù)字是，張卡片上的

數(shù)字是，張卡片上的數(shù)字是.從盒中任取張卡片.

()求所取張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；

()表示所取張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(注：若三個數(shù),，滿足則稱為這三個數(shù)的中位數(shù))

.解：()由古典概型中的概率計算公式知所求概率為=+)=.

()的所有可能值為，，，且

(=)=+)=,

(=)=++)=,

(=)=)=，

故的分布列為

從而()=X+X+X=.

三、互斥事件有一個發(fā)生的概率

.(?湖南)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排

甲組研發(fā)新產(chǎn)品，乙組研發(fā)新產(chǎn)品.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.

()求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率.

()若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤萬元；若新產(chǎn)品研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤萬

元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.

.解：記=｛甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功｝,=｛乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功｝,由題設(shè)知

()=>(尸，()=>()=>

且事件與，與，與，與都相互獨立.

()記=｛至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功｝,則=,于是()=()()=X=,

故所求的概率為()=—()=—=.

()設(shè)企業(yè)可獲利潤為(萬元)，則的可能取值為，，，.因為(=)=()=x=,(=)=()=x=,

(=)=()=X=,

(=)=()=X=,

故所求的分布列為

數(shù)學(xué)期望為

O=X+X+X+X===.

四相互對立與獨立事件同時發(fā)生的概率

.(?安徽)甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完局仍未出現(xiàn)

連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比

賽結(jié)果相互獨立.

()求甲在局以內(nèi)(含局)贏得比賽的概率；

()記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

.解：用表示“甲在局以內(nèi)(含局)贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲

勝"，則()=,()=,

()()=(四+(1AM)+(MM)=00+000+()()()()=+X+

義義=.

()的可能取值為，，，.

(=)=(⑷+()=()()+()()=，

(=)=(iAM)+0=

()()()+()()()=，

(=)=(MM)+(iA)=()()()()+()()()?()=，

(=)=一(=)一(=)一(=)=.

故的分布列為

=x+x+x+x=.

.(?北京)李明在場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨立):

場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)

主場客場

主場客場

主場客場

主場客場

主場客場

()從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過的概率；

()從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過，一場不超

過的概率；

()記為表中個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記為李明在這場比賽中的

命中次數(shù)，比較與的大小.(只需寫出結(jié)論)

.解：()根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在場比賽中，李明投籃命中率超過的有場，分別是主場，主

場，主場，客場，客場.

所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過的概率是.

()設(shè)事件為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件為“在

隨機(jī)選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件為“在隨機(jī)選擇的一個主場

和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過，一場不超過0.6”.

則=口，，相互獨立.

根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，()=,()=.

故()=()+()

=x+x

所以，在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過，一場不超過

的概率為.

()=.

.(?全國)設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁人需使用某種設(shè)備的概率分別為，，，，各人是否

需使用設(shè)備相互獨立.

()求同一工作日至少人需使用設(shè)備的概率；

()表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.

.解：記表示事件：同一工作日乙、丙中恰有人需使用設(shè)備，.

表示事件：甲需使用設(shè)備.

表示事件：丁需使用設(shè)備.

表示事件：同一工作日至少人需使用設(shè)備.

()因為()=，()=,()=X,=,,,

所以()=(.?+?+?尸

(,,)+(,)+(?■)=

()()()+()()+()()()=

()的可能取值為，，，，，其分布列為

(=)=(??)

=()()()

=(一)XX(一)

(=)=(?,+■?+■,)=

()()()+()()()+()()()=XX(-)+(-)XX+(一)XX><(—)=,

(=)=(??)=()()()=xx=,

(=)=()—(=)=，

(=)=-(=)-(=)-(=)-(=)=-------=，

所以=X(=)+X(=)+X(=)+X(=)+X(=)=+X+X+X=.

.(?山東)乒乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖-所示，甲上有兩個不相交的區(qū)域，，

乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域，.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：

回球一次，落點在上記分，在上記分，其他情況記分.對落點在上的來球，隊員小明回球的

落點在上的概率為，在上的概率為；對落點在上的來球，小明回球的落點在上的概率為，在

上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在，上各一次，小明的兩次回球互不影響.求:

()小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；

()兩次回球結(jié)束后，小明得分之和^的分布列與數(shù)學(xué)期望.

.解：()記為事件“小明對落點在上的來球回球的得分為分"),

則0=，()=，()=—=；

記為事件“小明對落點在上的來球回球的得分為分"),

則()=，()=，()=—=.

記為事件“小明兩次回球的落點中恰有次的落點在乙上”.

由題意，=+++,

由事件的獨立性和互斥性，

()=(+++)

=()+0+0+0

=()()+()()+()?()+()()

=x+x+x+x

所以小明兩次回球的落點中恰有次的落點在乙上的概率為.

由題意，隨機(jī)變量］可能的取值為,，，，，.

()由事件的獨立性和互斥性，得

(0=)=()=義=，

(《=)=(+)=()+()=x+x=,

《=)=()=X=,

(?=(+)=()+()=X+X=,

e=)=(+)=()+()=x+x=,

《=)=()=x=.

可得隨機(jī)變量f的分布列為：

所以數(shù)學(xué)期望E=x+x+x+x+x+x=.

.(?陜西)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為元，此作物的市場價格和這塊地

上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：

作物產(chǎn)量()

概率

作物市場價格(元)

概率

()設(shè)表示在這塊地上種植季此作物的利潤，求的分布列；

()若在這塊地上連續(xù)季種植此作物，求這季中至少有季的利潤不少于元的概率.

.解：()設(shè)表示事件“作物產(chǎn)量為kg”，表示事件“作物市場價格為元”，

由題設(shè)知()=,()=,

V利潤=產(chǎn)量X市場價格一成本,

所有可能的取值為

x—=,x-=,

x—=,又一=.

(=)=()()=