72復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（六大題型）（原卷版）

7．2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【題型歸納目錄】題型一：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算題型二：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義題型三：復(fù)數(shù)模的綜合問題題型四：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算題型五：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算題型六：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則：設(shè)，（），我們規(guī)定：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）復(fù)數(shù)加法中的規(guī)定是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，減法同樣．很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和（差）仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加（減）法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加（減）的情形．（2）復(fù)數(shù)的加減法，可模仿多項(xiàng)式的加減法法則計(jì)算，不必死記公式．2、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律：交換律：結(jié)合律：知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義1、復(fù)數(shù)的表示形式：代數(shù)形式：（）幾何表示：①坐標(biāo)表示：在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)表示復(fù)數(shù)（）；②向量表示：以原點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的向量表示復(fù)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量2、復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)于向量、，那么以、為兩邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是的和所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)角線表示的向量就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量．設(shè)復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為、，即、的坐標(biāo)形式為，以、為鄰邊作平行四邊形，則對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量是，由于，所以和的和就是與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：要會(huì)運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義去解題，利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理知識(shí)點(diǎn)三、復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算1、乘法運(yùn)算法則：設(shè)，（），我們規(guī)定：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實(shí)部與虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．（2）在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)（分母實(shí)數(shù)化），化簡(jiǎn)后寫成代數(shù)形式．2、乘法運(yùn)算律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）分配律：【典型例題】題型一：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算【方法技巧與總結(jié)】解決復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的思路兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（減），就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加（減），虛部相加（減）．復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算．當(dāng)多個(gè)復(fù)數(shù)相加（減）時(shí)，可將這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加（減），所有虛部相加（減）．例1．（2023·高一單元測(cè)試）已知，且，，則（

）A．1 B． C． D．2例2．已知，且，，則（

）A．1 B． C． D．2例3．（2023春·甘肅白銀·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式1．（2023春·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．變式2．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考期末）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．4 D．5題型二：復(fù)數(shù)加減法的幾何意義【方法技巧與總結(jié)】復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)（1）復(fù)數(shù)（）是與以原點(diǎn)為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)的．（2）一個(gè)向量可以平移，其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不變，但是其起點(diǎn)與終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可能改變．例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的向量，，它們的和為向量．請(qǐng)根據(jù)兩個(gè)向量相加的運(yùn)算寫出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)運(yùn)算過程．例5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量及在復(fù)平面內(nèi)分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對(duì)應(yīng)，試計(jì)算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)表示出來例6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0，3＋2i，－2＋4i．求：（1）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（3）向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知四邊形是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，是原點(diǎn)，點(diǎn)分別表示復(fù)數(shù)，是，的交點(diǎn)，如圖所示，求點(diǎn)表示的復(fù)數(shù).題型三：復(fù)數(shù)模的綜合問題【方法技巧與總結(jié)】表示復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解．例7．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）若，i為虛數(shù)單位，且，求的最小值.例8．（2023春·北京西城·高一北京市第十三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．例9．著名的費(fèi)馬問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾·德費(fèi)馬（16011665）于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對(duì)于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上材料，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式4．（2023春·上海寶山·高一上海交大附中校考期中）已知復(fù)數(shù)，滿足，，，則在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為______．變式5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，且，則的最小值為___________題型四：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法①首先按多項(xiàng)式的乘法展開．②再將換成．③然后再講行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)簯．（2）常用公式①．②．③．例10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，，則（

）A． B． C． D．或例11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算．(1)；(2)．例12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．變式6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)，其中．題型五：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟①首先將除式寫為分式．②再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．③然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．（2）常用公式①；②；③．例13．（2023春·廣西賀州·高一平桂高中?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的實(shí)部為（

）A． B． C． D．例14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足則（

）A． B． C． D．例15．（2023春·安徽安慶·高一?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式7．（2023春·北京昌平·高一?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù).(1)求；(2)若，求.變式8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．(1)求及；(2)若，求實(shí)數(shù)，的值．變式9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算．(1)；(2)；(3).變式10．（2023春·廣西玉林·高一校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)．(1)求z的共軛復(fù)數(shù)；(2)若，求實(shí)數(shù)a，b的值．變式11．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市田家炳中學(xué)校考期中）若復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求．變式12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．題型六：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)一元二次方程中時(shí)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩根且互為共軛復(fù)數(shù)．例16．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谀┓匠逃幸粋€(gè)根為，求的值為（

）A．5 B．3 C．4 D．2例17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若虛數(shù)是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)，的值分別為（

）A．1，2 B．，2 C．1， D．，例18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值．變式13．（2023春·上海普陀·高一曹楊二中校考期末）已知，且，復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）滿足．(1)求；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)根，求的所有可能值．變式14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程．變式15．（2023春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且滿足方程．(1)求和．(2)寫出一個(gè)以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面上，一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，0，則第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)不可能為（

）A． B． C． D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)與（a，b，c，）的積是純虛數(shù)，則（

）A．且 B．或C．且 D．或3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，為虛數(shù)單位，則與的關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)虛數(shù)根C．有一對(duì)共軛虛數(shù)根 D．有兩個(gè)虛數(shù)根5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)、、.下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)為（

）①；②若，則；③④若，則；⑤.A．1 B．2C．3 D．46．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，（是虛數(shù)單位）是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，那么，的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)，，則的最大值為（

）A．5 B． C．6 D．9．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則A． B． C． D．二、多選題10．（2023春·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）復(fù)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．的實(shí)部為3 B．的虛部為2C． D．11．（2023·高一單元測(cè)試）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題正確的是（

）A．若，則B．若，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為1C．若，則的最大值為3D．若復(fù)數(shù)，滿足，，，則12．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．z的實(shí)部是 B．z的虛部是C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．13．（2023春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）已知為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說法中正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D．若為復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)三、填空題14．（2023春·廣西玉林·高一校考階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的值是______．16．（2023·高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù)滿足，且為實(shí)數(shù)，則______．17．（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)a，，且a、b不同時(shí)為零，則______．四、