2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)二推理與證明含解析北師大版選修1-2

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(二)(第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于 ()A.28 B.32 C.33 【解析】選B.視察知數(shù)列{an}滿意:a1=2,an+1-an=3n,故x=20+3×4=32.2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則a1=1,Sn=n2an,試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為()A.Sn=QUOTE B.Sn=QUOTEC.Sn=QUOTE D.Sn=QUOTE【解析】選A.Sn=n2an=n2(Sn-Sn-1),所以Sn=QUOTESn-1(n≥2,n∈N*),S1=a1=1,則S2=QUOTE,S3=QUOTE=QUOTE,S4=QUOTE.所以猜想得Sn=QUOTE.3.用反證法證明命題“QUOTE+QUOTE是無理數(shù)”時(shí),假設(shè)正確的是 ()A.假設(shè)QUOTE是有理數(shù) B.假設(shè)QUOTE是有理數(shù)C.假設(shè)QUOTE或QUOTE是有理數(shù) D.假設(shè)QUOTE+QUOTE是有理數(shù)【解析】選D.應(yīng)對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定,則QUOTE+QUOTE不是無理數(shù),即QUOTE+QUOTE是有理數(shù).4.已知f(x+1)=QUOTE,f(1)=1(x∈N+),猜想f(x)的表達(dá)式為 ()A.f(x)=QUOTE B.f(x)=QUOTEC.f(x)=QUOTE D.f(x)=QUOTE【解析】選B.當(dāng)x=1時(shí),f(2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE;當(dāng)x=2時(shí),f(3)=QUOTE=QUOTE=QUOTE;當(dāng)x=3時(shí),f(4)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.……故可猜想f(x)=QUOTE.5.細(xì)致視察下面○和●的排列規(guī)律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●…若依此規(guī)律接著下去,得到一系列的○和●,那么在前120個(gè)○和●中,●的個(gè)數(shù)是 ()A.13 B.14 C.15 【解析】選B.進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|….則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)=2+3+4+…+(n+1)=QUOTE,易知f(14)=119,f(15)=135,所以在前120個(gè)○和●中,●的個(gè)數(shù)是14.6.我們把平面幾何里相像形的概念推廣到空間:假如兩個(gè)幾何體大小不肯定相等,但形態(tài)完全相同,就把它們叫作相像體.下列幾何體中,肯定屬于相像體的有()①兩個(gè)球體;②兩個(gè)長方體;③兩個(gè)正四面體;④兩個(gè)正三棱柱;⑤兩個(gè)正四棱錐.A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【解析】選C.類比相像形中的對(duì)應(yīng)邊成比例知,①③屬于相像體.7.證明命題:“f(x)=ex+QUOTE在(0,+∞)上是增函數(shù)”.現(xiàn)給出的證法如下:因?yàn)閒(x)=ex+QUOTE,所以f′(x)=ex-QUOTE.因?yàn)閤>0,所以ex>1,0<QUOTE<1.所以ex-QUOTE>0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),運(yùn)用的證明方法是 ()A.綜合法 B.分析法C.反證法 D.以上都不是【解析】選A.從已知條件動(dòng)身利用已知的定理證得結(jié)論,是綜合法.8.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),滿意f(x)≤f(a)對(duì)x∈R恒成立,則函數(shù)()A.f(x-a)肯定為奇函數(shù) B.f(x-a)肯定為偶函數(shù)C.f(x+a)肯定為奇函數(shù) D.f(x+a)肯定為偶函數(shù)【解析】選D.由題意得,f(a)=sin(2a+φ)=1時(shí),2a+φ=2kπ+QUOTE,k∈Z,所以f(x+a)=sin(2x+2a+φ)=sin2x+2kπ+QUOTE=cos2x,此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù).9.(2024·浙江高考)設(shè)集合S,T,S?N*,T?N*,S,T中至少有兩個(gè)元素,且S,T滿意:①對(duì)于隨意x,y∈S,若x≠y,都有xy∈T;②對(duì)于隨意x,y∈T,若x<y,則QUOTE∈S;下列命題正確的是 ()A.若S有4個(gè)元素,則S∪T有7個(gè)元素B.若S有4個(gè)元素,則S∪T有6個(gè)元素C.若S有3個(gè)元素,則S∪T有4個(gè)元素D.若S有3個(gè)元素,則S∪T有5個(gè)元素【解析】選A.對(duì)于AB,構(gòu)造S={q,q2,q3,q4},則T={q3,q4,q5,q6,q7},q≠1且q∈N*,則S∪T={q,q2,q3,q4,q5,q6,q7}共7個(gè)元素,對(duì)于CD,不妨設(shè)S={a,b,c},且a<b<c,則T={ab,ac,cb},且bc>ac>ab,所以QUOTE,QUOTE,QUOTE∈S,明顯QUOTE>QUOTE,QUOTE>QUOTE,①Q(mào)UOTE=b,QUOTE=a,QUOTE=a,則S={a,a2,a3},T={a3,a4,a5},S∪T有5個(gè)元素,②QUOTE=c?a=1,QUOTE=b,QUOTE有2種可能,(ⅰ)QUOTE=a,b=c與S為集合沖突,(ⅱ)QUOTE=b,b2=c,S=QUOTE,T=QUOTE,S∪T有4個(gè)元素,所以,當(dāng)S中有三個(gè)元素時(shí),S∪T的元素個(gè)數(shù)可為4,可為5,不唯一.10.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“n階幻方(n≥3,n∈N*)”是由前n2個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)n階方陣,其各行各列及兩條對(duì)角線所含的n個(gè)數(shù)之和(簡稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示).則“5階幻方”的幻和為 ()816357492A.75 B.65 C.55 【解析】選B.依題意“5階幻方”的幻和為QUOTE=QUOTE=65.11.如圖,已知四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,下列推斷肯定正確的是()A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBDC.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC【解析】選C.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,若AB⊥PC,則AB⊥平面PAC,所以AB⊥AC,這是不行能的,所以AB⊥PC不成立.設(shè)AC∩BD=O,連接PO,若AC⊥平面PBD,則AC⊥PO,這是不行能的,所以AC⊥平面PBD不成立.因?yàn)锽C⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.12.把正整數(shù)按肯定的規(guī)則排成了如下所示的三角形數(shù)表.設(shè)aij(i,j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù),如a42=8.若aij=2009,則i與j的和為 ()124357681012911131517141618202224A.105 B.106 C.107 【解析】選C.由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列,偶數(shù)行為偶數(shù)列,2009=2×1005-1,所以2009為第1005個(gè)奇數(shù),又前31個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為961,前32個(gè)奇數(shù)行內(nèi)數(shù)的個(gè)數(shù)的和為1024,故2009在第32個(gè)奇數(shù)行內(nèi),所以i=63,因?yàn)榈?3行的第一個(gè)數(shù)為2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1),所以m=44,即j=44,所以i+j=107.二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把答案填在題中的橫線上)13.若{bn}是等比數(shù)列,m,n,p是互不相等的正整數(shù),則有正確的結(jié)論:QUOTE·QUOTE·QUOTE=1.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,若{an}是等差數(shù)列,m,n,p是互不相等的正整數(shù),則有正確的結(jié)論:________.

【解析】等差數(shù)列中的an,am,ap可以類比等比數(shù)列中的bn,bm,bp,等差數(shù)列中的“差”可以類比等比數(shù)列中的“商”.等差數(shù)列中的“積”可以類比等比數(shù)列中的“乘方”.故m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=0.答案:m(ap-an)+n(am-ap)+p(an-am)=014.已知{bn}為等比數(shù)列,b5=2,則b1·b2·…·b9=29,若{an}為等差數(shù)列,a5=2,則在數(shù)列{an}中類似的結(jié)論為________.

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知:a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.所以a1+a2+…+a9=9a5=2×9.答案:a1+a2+…+a9=2×915.完成反證法證題的全過程.題目:設(shè)a1,a2,…,a7是由數(shù)字1,2,…,7隨意排成的一個(gè)數(shù)列,求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)為偶數(shù).【證明】假設(shè)p為奇數(shù),則________均為奇數(shù).①

因?yàn)?個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù),故有(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)為________.②

而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=________.③

②與③沖突,故p為偶數(shù).【解析】由假設(shè)p為奇數(shù)可知,(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)均為奇數(shù),故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0為奇數(shù),這與0為偶數(shù)相沖突.答案:(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)奇數(shù)016.對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.依據(jù)上述分解規(guī)律,若m3(m∈N*)的分解式中最小的數(shù)是73,則m的值為________.

【解析】依據(jù)23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,從23起,m3的分解規(guī)律恰為數(shù)列3,5,7,9,…,若干連續(xù)項(xiàng)之和,23為前兩項(xiàng)和,33為接下來三項(xiàng)和,故m3的首數(shù)為m2-m+1.因?yàn)閙3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是73,所以m2-m+1=73,所以m=9.答案:9三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)如圖,一個(gè)樹形圖依據(jù)下列規(guī)律不斷生長:1個(gè)空心圓點(diǎn)到下一行僅生長出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn),1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)到下一行生長出1個(gè)實(shí)心圓點(diǎn)和1個(gè)空心圓點(diǎn).(1)求第11行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)用an,an+1,an+2分別表示第n行,第n+1行,第n+2行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù).試猜想an,an+1,an+2之間的關(guān)系.【解析】(1)前6行中實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為:0,1,1,2,3,5,據(jù)此猜想這個(gè)數(shù)列的規(guī)律為:從第3項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和,故續(xù)寫這個(gè)數(shù)列到第11行如下:8,13,21,34,55,所以第11行的實(shí)心圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是55.(2)由(1)可猜想an+2=an+an+1.18.(12分)在平面幾何中,對(duì)于Rt△ABC,∠C=90°,設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,則(1)a2+b2=c2.(2)cos2A+cos2B=1.(3)Rt△ABC的外接圓半徑r=QUOTE.把上面的結(jié)論類比到空間寫出類似的結(jié)論,無需證明.【解析】在空間選取三個(gè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對(duì)象.(1)設(shè)三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1,S2,S3,底面積為S,則QUOTE+QUOTE+QUOTE=S2.(2)設(shè)三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=1.(3)設(shè)三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a,b,c,則這個(gè)四面體的外接球半徑R=QUOTE.19.(12分)(1)用反證法證明:若a,b,c∈R,且x=a2-2b+1,y=b2-2c+1,z=c2-2a+1,則x,y,z中至少有一個(gè)不小于0;(2)用分析法證明:QUOTE-QUOTE<2-QUOTE.【證明】(1)假設(shè)x,y,z均小于0,即:x=a2-2b+1<0…①;y=b2-2c+1<0…②;z=c2-2a+1<0…③;①+②+③得x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2<0,這與(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0沖突,則假設(shè)不成立,所以x,y,z中至少有一個(gè)不小于0.(2)因?yàn)镼UOTE+QUOTE>0,2+QUOTE>0,從而QUOTE-QUOTE<2-QUOTE?QUOTE+QUOTE<2+QUOTE?(QUOTE+QUOTE)2<(2+QUOTE)2?9+2QUOTE<9+4QUOTE?2QUOTE<4QUOTE?18<20,因?yàn)?8<20成立,所以原不等式成立.20.(12分)在銳角三角形ABC中,求證:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【證明】因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以A+B>QUOTE,所以A>QUOTE-B.因?yàn)閥=sinx在QUOTE上是增加的,所以sinA>sinQUOTE=cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.21.(12分)設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s<t且s,t∈Z}中全部的數(shù)從小到大排列組成的數(shù)列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,…,將數(shù)列{an}各項(xiàng)依據(jù)上小下大,左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表. 35691012__________________…(1)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行與第五行中的各數(shù).(2)求a100.【解析】(1)第四行的數(shù)分別為17,18,20,24,第五行的數(shù)分別為33,34,36,40,48.(2)設(shè)n為an的下標(biāo),三角形數(shù)表第一行第一個(gè)元素下標(biāo)為1.其次