2019極坐標參數方程150題教師版

專題：坐標系與參數方程(師)

一、解答題

1.在直角坐標系xOy中，拋物線C的方程為y2=4x.

(1)以坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，求。的極坐標方程；

(2)直線/的參數方程是仔:*為參數)，/與c交于4,B兩點,MB|=4V6,求1的傾斜角.

【來源】【市級聯考】河南省六市2019屆高三第二次聯考數學(文)試題

【答案】(1)psin20—4cos8=0；(2)或a=午

【解析】

【分析】

(1)由題意利用直角坐標與極坐標的轉化公式可將直角坐標方程轉化為極坐標方程；

(2)聯立直線參數方程與拋物線方程，結合參數的幾何意義求得sina的值即可確定直線的傾斜角.

【詳解】

ri'..(x=pcos6代入V=4%,

*ky=psind，

psin20—4cos0=0.

(2)不妨設點4B對應的參數分別是《2，

把直線Z的參數方程代入拋物線方程得：/si/a_4cosat-8=0,

fti+t=竺等

2V16+16sin2a

???型a，則|4B|=|t】T2l==4V6,

sin2a

(量2=有

?.?7T_ix37r

..sina=—,??a=-或a=—.

【點睛】2

本題主要考查直角坐標方程轉化為極坐標方程的方法，直線參數方程的幾何意義等知識，意在考查學生的轉化能力

和計算求解能力.

(%=1-已8為參數)

2.在直角坐標系xOy中，已知曲線G的參數方程：2；，，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極

Iy彳

軸建立極坐標系，曲線C?的極坐標方程為P=2asin(。+?)(a>0).

(1)若曲線G與曲線C2相切，求a的值；

(2)若曲線G與曲線交于48兩點，且[48|=n，求a的值.

【來源】江西省吉安市2019屆高三下學期第一次模擬考試數學(文)試題

【答案】⑴a=~(2)V2

4

【解析】

【分析】

(1)先把曲線G和曲線化成普通方程，再根據點到直線距離等于半徑列等式可解得；

(2)聯立直線與曲線C2的參數方程，利用參數的幾何意義可得答案

【詳解】

(1)直線C1的直角坐標方程為x+y-1=0.

22

圓。2的普通方程為(％-亨a)+(y—乎a)=Q2.

因為直線，與圓C?相切，所以償q°T=ana=

(1V2

IX=1——t

(2)把G的參數方程：1廠2(t為參數)代入曲線C2的普通方程：

.Iy苧_.

得產—\[2t—y/2a+1=0,故04-12=五,ht?=-V2a+1,

\AB\=5/6=1^-t2\=J(ti+126—%7=a=V2.

【點睛】

本加考查了簡單曲線的極坐標方程與普通方程之間的轉化，較為簡單

3.選修4-4：坐標系與參數方程

(%=24--t

在直角坐標系久Oy中，過點P(-2,-4)的直線Z的參數方程為21為參數),以坐標原點。為極點，以％軸

正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為psin28=2cos0,記直線Z與曲線C分別交于M,N兩點.

(1)求曲線。和/的直角坐標方程；

(2)證明：|PM|,|MN|,|PN|成等比數列.

【來源】【全國市級聯考】河北省定州市2018-2019學年高二下學期期中考試數學(理)試題

【答案】⑴y2=2x,y=x-2.(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)曲線C的極坐標方程左右兩邊同乘p，再利用x=pcosJ,y=psin?？汕笃渲苯亲鴺朔匠?；消參可求直線的普

通方程；

(2)把直線2的參數方程和曲線C的直角坐標方程聯立，利用韋達定理分別表示,利用等比中項

法即可證明。

【詳解】

(1)由psiMe=2cos0,得/sin/=2pcos0,

所以曲線C的直角坐標方程為y2=2x,

(x=-2+—t

由《2，消去參數3得直線I的普通方程為y=x—2.

(y=-4+^t

x=—2+—t

(2)證明：將直線I的參數方程12代入2=2%中，得/—107^+40=0.

^=_4+-t

設MN兩點對應的參數分別為052，則有Q+t2=10V2,trt2=40,

22

所以|MN『=k-t2\-(J+t2)-4口12=40.

因為|PM|x\PN\=|小2|=40=\MN\2,

所以|PM|,\MN\,|PN|成等比數列.

【點睛】

本題考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，直線的參數方程的應用，考查運算能力，屬于基礎題。

4.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為儼=8c°sa(a為參數)，在以坐標原點0為極點，x軸的正

半軸為極軸的極坐標系中，點M的極坐標為卜魚,斗)，直線1的極坐標方程為psin(0-9+2&=0.

(1)求直線1的直角坐標方程與曲線C的普通方程；

(2)若N是曲線C上的動點，P為線段MN的中點，求點P到直線1的距離的最大值.

【來源】【校級聯考】山東省郛城一中等學校2019屆高三第三次模擬考試數學(文)試題

【答案】⑴x-y-4=0,C：y+y2=1；(2)苧

【解析】

【分析】

(1)直接利用極坐標方程、參數方程和普通方程互化的公式求直線1的直角坐標方程與曲線C的普通方程：(2)

設N(gcosa,sina),aG[0,2").先求出點P到直線1的距離d=受竺字—再求最大值.

72

【詳解】

(1)因為直線1的極坐標方程為psin(。一習+2a=0,

即psin0—pcos0+4=0.由x=Pcos0,y=psin0,

可得直線1的直角坐標方程為x—y—4=0.

將曲線C的參數方程儼=Bc°sa消去參數a,

得曲線C的普通方程為9+y2=i.

(2)設N(V3cosa,sin。)，Q￡[0,2n).

點M的極坐標(2V2,？)，化為直角坐標為(一2,2).

4

則pgcosa—1jsina+1).

所以點p到直線1的距離d=吸。陛n=媽#＜明

V2\22

所以當a=日時，點M到直線1的距離的最大值為苧.

【點睛】'

本題主要考查參數方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查三角函數的圖像和性質，考查點到直線的距離的最值

試卷第2頁，總79頁

的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

5.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為儼=8cosaQ為參數)，在以坐標原點。為極點，”軸的正半軸

為極軸的極坐標系中，點M的極坐標為卜魚,學，直線/的極坐標方程為psin(9-力+2e=0.

(1)求直線，的直角坐標方程與曲線C的普通方程；

(2)若N是曲線C上的動點，P為線段MN的中點，求點P到直線/的距離的最大值.

【來源】【校級聯考】山東省郛城一中等學校2019屆高三第三次模擬考試數學(理)試題

【答案】(1)x-y-4=0,*+y2=1；(2)壁.

【解析】

【分析】

(1)利用極坐標與直角坐標互化公式即可求得直線I的直角坐標方程，將曲線C的參數方程消參數a即可求得曲線C

的普通方程，問題得解。

(2)求出點M的直角坐標，再利用橢圓的參數方程表示點P的坐標為P(4cosa-l,/ina+l),利用點到直線距離

公式及兩角差的正弦公式即可整理點P到直線I的距離d=回譬回，問題得解。

【詳解】

(1)因為直線/的極坐標方程為psin(。一力+2或=0,

即Psin。一Pcos。+4=0.

由x=Pcos0,y=Psin0,

可得直線/的直角坐標方程為x—y—4=0.

將曲線C的參數方程儼=8c°sa消去參數a,

Iy=sina

得曲線C的普通方程為9+f=1.

(2)設N(V5cosa,sina),aG［0,2n).

點M的極坐標(2夜，-)化為直角坐標為(-2,2).

4

則P(fcosa-l,|sina+1).

所以點P到直線，的距離d==回鑼<苧，

加，V2V22

所以當a="時，點M到直線/的距離的最大值為雷.

【點睛】

本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程互化，還考查了參數方程化為普通方程，考查了點到直線的距離公式及

兩角差的正弦公式，還考查了正弦函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題。

6.［選修4-4：坐標系與參數方程］

在直角坐標系xOy中，曲線G的參數方程為｛;12魯EG為參數，「>°)，以坐標原點為極點，刀軸的正半軸為極

軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為p=4sin。.

(1)求Ci的普通方程和極坐標方程；

(2)若G與相交于4、B兩點,S.\AB\=2遍，求p的值.

【來源】江西省贛州市2019屆高三3月摸底考試數學(理)試題

【答案】⑴&的普通方程為丫2=2「%(720).極坐標方程為。5比2。=2「85。(0<。號).

z\3V3

⑵oP=—

【解析】

【分析】

(1)首先可根據參數方程的定義寫出曲線G的普通方程，再根據極坐標方程的y=psin。、x=pcos8即可寫出曲線

G的極坐標方程；

(2)本題首先可以設4為原點，然后根據=2K寫出點B的極坐標，將點B的極坐標代入的極坐標方程中求出。的

值，最后將點B的極坐標代入G的極坐標方程中即可求出p的值。

【詳解】

(1)由曲線G的參數方程為｛；［2般可得t=卷，

再將其帶入x=2Pt中，即可得到曲線G的普通方程為y2=2px(y>0),

將y=psin9、x=pcos。代入V=2px,

即可得到曲線G的極坐標方程為psiM。=2pcos0(O<0<今。

(2)由題意可知，顯然G與G有一個公共點為原點，

不妨設點4為原點，由|48|=2百可設點B的極坐標為(2舊,8)(0<6<^).

代入C2的極坐標方程得2g=4sin。，即sin”^,又0<。轉，所以

再把(2百5)代入G的極坐標方程得26x^=2pxi,解得p=當.

【點睛】.

本題考查極坐標方程與參數方程的相關性質，主要考查極坐標方程、參數方程、普通方程的相互轉化，考查極坐標

方程的性質的應用，考查計算能力，考查方程思想，是中檔題。

7.在直角坐標系xOy中，直線，的參數方程為產：二;士(t為參數)，其中n>0.以坐標原點為極點，x軸的正半

Iy一幾。

軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為。=l(pER),曲線C2的極坐標方程為P2cos2。=1.

(1)求QC2的直角坐標方程；

(2)已知點P(-2,0),1與G交于點Q，與C2交于4B兩點，S.\PA\-\PB\=\PQ\2,求，的普通方程.

【來源】【市級聯考】福建省泉州市2019屆普通高中畢業(yè)班第二次質量檢查文科數學試題

【答案】(1)x=0,x2—y2=1(2)y=|x+1或y=+V7.

【解析】

【分析】

(1)利用極角概念得出曲線C1的直角坐標方程.對于。2先利用二倍角公式化簡再轉化.

(2)將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程,利用參數的意義求出直線的斜率.

【詳解】

解：(1)曲線G的直角坐標方程為x=0,

方程p2cos2。=1可化為p2(cos2?！猻in20)=1,

『=pcosf代(*得久2一2=1

(y=psinQ,)

(2)由直線I的參數方程為(t為參數)，得知直線，過點P(-2,0)

另設直線/的參數方程為「二，?=鬟s氏(其中t為參數，a為/的傾斜角，且a6(0,?),

則點Q對應的參數值為二即|PQ|=|二-I，

cosacosa

代入/—y2=1,得(—2+tcosa)2—(tsina)2=1,

整理，得(cos2a—sin2a)t2—4tcosa+3=0,

設4B對應的參數值分別為Jt2,

則tl+J=:"Sa,3

cosza-sinzatt=cos/a-sin/a

因為|P川?|PB|=|PQ『，所以

cos'a-sin'acos'a

所以23=-4■或23=V-

cosza-sinzacoszacosza-smzacos4a

解得tana=之或tana=日，

故l的普通方程為y=|x+1或y=yx+y/7.

［點睛］

本題考查極坐標轉化為直角坐標方程,以及直線與曲線的位置關系，參數的幾何意義，基礎題.

8.已知橢圓C:J+y2=1左頂點為4,。為原點，M,N是直線x=t上的兩個動點，且M。1ON,直線AM和AN分

別與橢圓。交于E,。兩點

(1)若￡=-1,求4M0N的面積的最小值；

(2)若E,0,。三點共線，求實數t的值.

【來源】【校級聯考】浙江省金麗衢十二校2019屆高三第一次聯考數學試題

【答案】(1)1;(2)V2±2

【解析】

【分析】

(1)由勾股定理、三角形面積可得：|MN|2=|0M|2+|0N|22210Ml?|0N|,\MN\=\0M\?\0N\,\MN\>2.再

利用S/JMON=g|MN|?1對x2=1,即可得出.⑵設E(夜cosasin。),可得4E方程為：丫=焉果&0+夜)，

可得M為9，靄黑),同理汽為&薪駕9,根據MO,ON利用數量積運算性質即可得出.

試卷第4頁，總79頁

【詳解】

(1)由勾股定理、三角形面積可得：

\MN\2=\OM\2+\0N\2>2\0M\?\0N\,\MN\=\OM\?\0N\,當且僅當|0M|=|0N|等號成立

\MN\>2.

S/MON=：|MN|?1對X2=1,

即4M0N的面積的最小值為1.

(2)設E(&cos8,sin61),

則M為［，等嚅)，同理W為3關署嚶)。，黯噌)，

\V2(cos0+1)/V2(1-COS0)\V2(l-cos0)/

VMO1ON,

OM?0/V=t2-=0,得t=&±2.

【點睛】

本題考查了橢圓的標準方程及其性質、橢圓的參數方程、向量垂直與數量積的關系、勾股定理、基本不等式的性質,

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

9.在平面直角坐標系xQy中，已知曲線G：(，為參數)，C2：［；;望(機為參數).

(1)將G,C2的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

(2)設曲線G與。2的交點分別為A,B,O為坐標原點，求AO48的面積的最小值.

【來源】【市級聯考】遼寧省遼陽市2019屆高三下學期一模數學(理科)試題

【答案】(1)cos0y=sin9(x-2),y2=4x,(2)2A/2.

【解析】

【分析】

(1)將x=2+tcos。兩邊同時乘以sin。，將丫=tsin。兩邊同時乘以cos。，進而消去參數f

(2)將曲線G與C2的方程聯立，利用面積之和可得

【詳解】

解：⑴由Ci：(X=2ttC°n6。為參數)消去f得G：cos9v=sin。(x-2),

(y=tsint)

由儼=酬2(加為參數)消去利得y=4x,

(y=4m

(2)如圖：聯立2勺4%2"也"消去工得/in。.4ycos0-8sin0=0,

設A(xi,yi),B(必然)，

則>'1+?2=弊，yi)，2=-8,又Cl與x軸的交點F(1,0)

sinb

小y

5-

4

3

y=4x

2

1

-----------------1---------0

-5-4-3-2-1

-1

-4

-5

**?S^OAB=S^AOF+S^BOF=1|OF]|VI|+||OF||y2l=卞。Q（比1+1丁2|）

=|x1x|yi-y2\

2

=1V（yi+y2）-4yiy2

1（駕尸+32

5、sinO

l-sin2e~

=2sin20+乙'

所以sinO=1時SOAB取得最小值2VL

【點睛】

本最考查了參數方程化成普通方程，屬中檔題.

10.選修4-4：坐標系與參數方程

日，G為參數），以原點。為極點，為軸的正半軸為極軸建立極坐標

在直角坐標系xOy中，點M（0,D，直線/：

1十c

系，曲線C的極坐標方程為7P2+P2cos20=24.

（1）求曲線。的直角坐標方程；

（2）設直線Z與曲線C交于點4B,求高+焉的值.

\MA\\MB\

【來源】【市級聯考】廣東省湛江市2019年普通高考測試（二）理科數學試題

【答案】（1）?+?=1（2）g

【解析】

【分析】

x=里”為參數），與

（1）利用極坐標與普通的互化求解即可；（2）將直線/的參數方程化為標準形式為:

y=i+/

橢圓聯立，利用t的幾何意義求解高+焉即可

\MA\\MB\

【詳解】

（1）,?,7P2+p2cos28=24

7p2+p2（2cos20-1）=24

又???p2=x2+y2,x=pcos。

???曲線c的直角坐標方程為：1+。=1

43

_2_

X一.；U為參數）,

（2）將直線I的參數方程化為標準形式為：

y=i+W

代入曲線C方程，得19t2+-45=0.

△>0恒成立+t2=一等,t-2=—意

1.1_付1-七1__,（￡1+12）2一4亡[12_4

+上=西十兩一|titl-匕百—3

\MA\|MB|Itxl2

【點睛】

本題考查極坐標與普通方程的互化，考查直線參數方程t的幾何意義，考查計算能力，計算Itil+LI的值注意判斷

試卷第6頁，總79頁

tlt2的正負是關鍵，是中檔題

11.在極坐標系中，已知A(1,B(9,線段4B的垂直平分線，與極軸交于點C,求，的極坐標方程及ZL4BC的面積.

【來源】【全國百強校】江蘇省海安高級中學2019屆高三第二學期四月模擬考試數學試題

【答案】I的極坐標方程及pcos(。-9=5,44BC的面積20V3.

【解析】

【分析】

將A(1,B(9,9轉化為直角坐標系下的坐標形式，然后求出線段AB的中點與直線AB的斜率，進而求出直線/在

直角坐標系下的方程，再轉化為極坐標方程；在直角坐標系下，求出點C到直線AB的距離、線段A8的長度，從

而得出A4BC的面積.

【詳解】

解：以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系xoy

在平面直角坐標系wy中，

4(埔)8(9,9的坐標為相，步),8(|,等

線段AB的中點為4(|,竽)，kAB=V3

故線段4B中垂線的斜率為k=E~=W，

所以4B的中垂線方程為：y-W=J(x—|)

化簡得：x+V3y—10=0,

所以極坐標方程為pcosJ+V3psin0-10=0,

即pcos(6—g)=5,

令y=0,則％=10,

故在平面直角坐標系my中，C(10,0)

點C到直線AB-.y=百x的距離為d=嘿^=5V3,

線段4B=8,

故4ABC的面積為S=X5V3X8=20g.

【點睛】

本題考查了直線的極坐標方程問題，解題時可以將極坐標系下的問題轉化為平面直角坐標系下的問題，從而轉化為

熟悉的問題.

12.在直角坐標系久Oy中，曲線G的參數方程為卜=l+gos,“為參數)，以原點。為極點，以x軸正半軸為極

(y=1+V2sm0

軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為近pcos(e-§=m,(me/?).

(1)當m=4時，判斷曲線G與曲線。2的位置關系；

(2)當曲線G上有且只有一點到曲線C2的距離等于注時，求曲線C1上到曲線C2距離為2口的點的坐標.

【來源】【校級聯考】江西省上饒市重點中學2019屆高三六校第二次聯考文科數學試題

【答案】(1)相切；(2)(2,0)和(0,2)

【解析】

【分析】

(1)將C的參數方程化為普通方程，將/的極坐標方程化為直角坐標方程，考查圓心到直線的距離與半徑的大小即可

確定直線與圓的位置關系.

(2)由題意可得，圓心到直線的距離為2a,據此確定過圓心與直線/平行的直線方程，聯立直線方程與圓的方程即可

確定點的坐標.

【詳解】

(1)???圓C的方程為卜=1+fc°s。(。為參數).

(y=1+v2sin9

圓C的普通方程為(x-1)2+(y-I)2=2.

?直線，的極坐標方程為V^pcos-習=m,(meR).

.??直線2的直角坐標方程為：x+y-4=0.

???圓心(1,1)到直線，的距離為d=*=&.

二直線［與圓C相切.

(2)圓C上有且只有一點到直線1的距離等于近.

即圓心到直線，的距離為2注.

過圓心與直線I平行的直線方程為：x+y-2=0.

聯立方程組｛(二；；葭工=2,解得｛'I｛J=2>

故C上到直線，距離為2夜的點的坐標為(2,0)和(0,2)

【點睛】

本題主要考查參數方程與普通方程的互化，直角坐標方程與極坐標方程的互化，直線與圓的位置關系等知識，意在

考查學生的轉化能力和計算求解能力.

13.在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為六=呼:彳③'。屹為參數)，以直角坐標系的原點。為極點，x軸正

半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求圓C的極坐標方程；

(2)設曲線，1的極坐標方程為。=g(p20),曲線，2的極坐標方程為。=3(P20)，求三條曲線c,G，，2所圍成圖

o3

形的面積.

【來源】【校級聯考】河北省示范性高中2019屆高三下學期4月聯考數學(文)試題

【答案】(1)p=4sin(0+g)；(2)V3+^―.

【解析】

【分析】

(1)利用直角坐標和極坐標轉化的關系，得到答案.(2)判斷出三條曲線圍成的圖形為一個三角形和一個扇形，然

后分別求出其面積，相加后得到答案.

【詳解】

(1)由條件得圓C的直角坐標方程為(X-百)2+0-1)2=4,

得/+y2-2V3X-2y=0,將x=pcos。，y=psin。代入，

得p2—2V3/?cos0-2psin8=0,

即p=275cos。+2sin。，則p=4sin(0+今，

所以圓C的極坐標方程為p=4sin(0+

(2)由條件知曲線人和6是過原點。的兩條射線，設。和12分別與圓。交于異于點。的點4和B，

將。代入圓C的極坐標方程，得2(4,5,所以。4=4；

66

將。話代入圓C的極坐標方程，得8(27轉)，所以。8=2瘋

由(1)得圓C的圓心為C(遙,1),其極坐標為C(2,g),故射線。經過圓心C,

6

所以4COB=殳-&=&,/.ACB=2Z.COB=

3663

所以SZCOB=\-OCOB-sinzCOB=[?04?08?s嗚=后

扇形C4B的面積為SCAB=^^22=y,

故三條曲線C,I1，0所圍成圖形的面積為SZCOB+SEB=遍+學

【點睛】

本題考查直角坐標系轉化為極坐標，求曲線圍成的不規(guī)則圖形的面積，屬于中檔題.

x=-1——t,

14.在直角坐標系xOy中，直線/的參數方程為4e為參數).以坐標原點為極點，工軸的正半軸為極

y=2+當

軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為pcos2。=sine.

(1)求直線/的普通方程及曲線C的直角坐標方程；

(2)若直線1與曲線C交于力，B兩點，P(-l,2),求|PA|?|PB|.

【來源】【市級聯考】河北省邯鄲市2018-2019學年高二下學期期中考試數學試題(理科)

【答案】(1)x+y—1=0,y=x2；(2)2.

【解析]

【分析】

(1)由直線1的參數方程能求出1的普通方程.由曲線C的極坐標方程能求出曲線C的直角坐標方程.

fx=-1--t

(2)將《廣，代人y=x2,得12+方￡-2=0,利用韋達定理能求出(k|P8|的值.

52+爭

【詳解】

(1)直線/的普通方程為x+y-l=0.

由pcos?。=sin?,得p2cos2。=psin?,

試卷第8頁，總79頁

則y=%2,故曲線C的直角坐標方程為y=X2

%=-1--t

(2)將/，代人y=/,得產+療白一2=0,

y=2+裊

則￡也=一2，

故伊川?|PB|=|tit2|=2.

【點睛】

本題考查直線的普通方程和曲線的直線坐標方程的求法，考查兩段積的求法，考查極坐標方程、參數方程、直角坐

標方程的互化等基礎知識，考查運算求解能力.

15.選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xoy中，圓C的參數方程為（勿為參數），現以原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極

V—oLTl（p

坐標系.

（I）求圓C的極坐標方程；

（H）設P,Q是圓C上的兩個動點，且NPOQ=%求|OP|+|OQ|的最大值.

【來源】【市級聯考】湖南省株洲市2019屆高三第二次教學質量檢測（二模）文科數學試題

【答案】（I）p=2cos0；（1J）2V3

【解析】

【分析】

（I）先由參數方程寫出直角坐標方程，再由x=pcosO,y=psin。代入化簡即可得到圓的極坐標方程；

（）先根據4P0Q=g設出P,Q的極坐標，再對|OP|+|OQ|化一，求出。的范圍進而求出|0P|+I0QI的最大值。

【詳解】

（I）圓C的直角坐標方程為（X—1）2+y21,即％2+丫2-2尤=0,

所以圓C的極坐標方程為p2-2pcos0=0,即p=2cos0.

(H)設P的極坐標為(pi，0),Q(pz，0+p,則

|OP|=p1=2cos0/|OQ|=p2=2cos則

|OP|+|OQ|=2cos0+2cos(04--)=3cos0—V3sin0=2-\/3cos(04--),

36

--<9<-

又22■所以-汴。竦，

232

所以當。=一狎，|OP|+|OQ|取最大值2后

【點睛】

本題考查參數方程，直角坐標方程與極坐標方程的互化，以及極坐標的應用，注意。的范圍，側重計算能力的考查。

x=1H-----1

16.在直角坐標系xOy中，直線/的參數方程為%（t為參數），以。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

y=i+.

坐標系，曲線c的極坐標方程為psiM。=2acosJ.

（I）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（H）點直線/與曲線C交于兩點，^\PA\.\PB\=5,求a的值.

【來源】【市級聯考】廣東省汕尾市普通高中2019屆高三教學質量監(jiān)測理科數學試題

【答案】（I）x—2y+1=0,y2-2ax-,

（II）a=0或1.

【解析】

【分析】

（I）利用極直互化公式即可把曲線C的極坐標方程化為普通方程，消去參數t求出直線的普通方程即可；

（n）聯立直線方程和c的方程，結合二次函數的性質得到關于t的方程，由t的兒何意義列方程，解出即可.

【詳解】

（I）vC:psin20=2acos0.

???p2sin20=2apeos。，

y2=2ax,

2^5.

X=1+—t

而直線1的參數方程為（t為參數）,

1+與

(y=5

則1的普通方程是：x-2y+l=0；

(II)由(I)得：y2=2ax①，1的參數方程為《：(t為參數)②,

(y=i+爭

將②代入①得：t2+(2V5-4V5a)t+5(1-2a)=0,

故1也=5(1—2a),

由伊川?|PB|=5,即5|1-2a|=5

解得：a=0或1.

【點睛】

本窗考查了極坐標方程，參數方程以及普通方程的轉化，考查直線和曲線的位置關系，是一道常規(guī)題.

17.在平面直角坐標系xOy中，曲線C】的參數方程為;請;:(其中t為參數).以坐標原點。為原點，x軸的非

負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為P=4V2sin(0+?).

(I)寫出曲線G的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

(II)設點P,Q分別在曲線G，C2上運動，若P,Q兩點間距離的最小值為2VL求實數小的值.

【來源】【市級聯考】安徽省淮南市2019屆高三第二次模擬考試文科數學試卷

22

【答案】(I)Ct:x+y—m+1=0,C2：(x—2)+(y-2)=8：(II)m=-3或m=13.

【解析】

【分析】

(i)消去參數后可得G的普通方程，利用仁二；黑可得的直角方程.

(II)利用PQ的最小值得到圓心到直線的距離，從而可求出ni.

【詳解】

(I)曲線Ci：x+y-m+1=0：曲線C2的極坐標方程為

p=4>/2sin(0+9=4(sin8+cos。)，即p?=4psin。+4pcos0,

將x=pcosJ,y=psin。代入，得C2：(x—2)2+(y-2)2=8

(ID因為曲線G的半徑r=2&,若點P,Q分別在曲線G，C2上運動，P，Q兩點間距離的最小值為2&，即圓C2的

圓心到直線G的距離4近，

與翳-4V2,解得m=-3或m=13.

【點睛】

極坐標方程與直角方程的互化，關鍵是旨二2個：，必要時須在給定方程中構造pcosO,psinO.在極坐標系中，當

動點在不同的幾何對象上運動變化時，我們可把它們轉化到直角方程，在平面直角坐標系中討論它們的位置關系.

18.在直角坐標系xoy中，曲線Ci的參數方程為(0為參數)，以原點。為極點，x軸的非負半軸為極

軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為p=4cos6.

(1)求曲線G的普通方程和。2的直角坐標方程；

(2)已知曲線。3的極坐標方程為。=a,o<a<7i,p&R,點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與的交點，

且4B均異于原點0,且|4陰=4近，求實數a的值.

【來源】【市級聯考】甘肅省蘭州市2019屆高三實戰(zhàn)模擬考試(二診)數學(文)試題

【答案】(1)G的普通方程為/+。-2)2=4,的直角坐標方程為(x—2)2+y2=4

(2)—

4

【解析】

【分析】

(1)利用cos2(p+siMw=1可得曲線G的普通方程,將p=4COS0左右兩邊同時乘以P，再化為直角坐標方程。

(2)將曲線與曲線G，C2的極坐標方程分別聯立，求出4B兩點的極徑，則|4B|=|PA-PBI.

【詳解】

(1)由曲線a的參數方程為(W為參數)

消去參數得曲線G的普通方程為/+(y-2)2=4,

因為曲線C2的極坐標方程為p=4cos0,

所以p2=4pcos8

所以C2的直角坐標方程為％2+y2=4%,整理得(％-2)2+y2=4

(2)Ci：x2+(y-2)2=4化為極坐標方程p=4sin0

所以|48|=|PA—pB\=4|sina-cosa|=4\/2|sin(a—=4/

所以sin(仇-3)=±1

試卷第10頁，總79頁

所以a—；=1+k7（kGZ）即a=午+kn（k6Z）

又因為Ovavm所以a=芋.

4

【點睛】

本題考查直線的參數方程與極坐標方程，是高考的重要考點，解題的關鍵是熟練掌握極坐標與直角坐標的互化。

19.直角坐標系xOy中，曲線6的參數方程為卜=彳+營。5&（其中。為參數）；以。為極點，以x軸的非負半軸為

（y=1+y/Ssina

極軸建立極坐標系，直線，的極坐標方程為。=*p€R）,曲線C2：p=4sin0.

（I）求曲線a的普通方程和極坐標方程；

（D）已知直線/與曲線6和曲線C2分別交于M和N兩點（均異于點。），求線段MN的長.

【來源】【市級聯考】山東省青島市2019屆高三3月教學質量檢測（一模）數學（理）試題

【答案】（I）G的普通方程為（x-2）2+（y-=5,G的極坐標方程為：p=4cos0+2sin0；（II）372.

【解析】

【分析】

（I）消去參數可得普通方程，再利用公式化成極坐標方程；

（II）設M,N的極坐標并分別代入G，C2可得Pi，P2,再利用|MN|=|p/+|p2|可得.

【詳解】

（I）因為曲線G的參數方程為卜=2+gosa為參數），

（y=1+\5sina

所以G的普通方程為（x-2）2+（y—I）2=5①，

在極坐標系中，將]:[代入①得「2-4pcos。-2psin。=0,

化簡得，G的極坐標方程為：p=4cos。+2sin。②.

（II）因為直線，的極坐標方程為。=與（p6R）,

且直線嗚曲線G和和曲線C2分別交于M,N,可設N（P2,牛），

將M（Pi書代入②得ip=4cos牛+2si吟=4x（-y）+2xy=-y[2,

將N代入曲線Cz：P=4sin0得02=4sin午=4X孝=2vL

所以|MN|=Ip/+\p2\=|-V2|+2V2=3V2.

【點睛】

本題考查了簡單曲線的極坐標方程，熟記參數方程與普通方程的互化方法、以及極坐標與直角坐標的互化公式即可,

屬于?？碱}型.

20.在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為匕：::吃（9為參數），直線1經過點P（l,2），傾斜角a=；

（1）寫出圓C的普通方程和直線1的參數方程；

（2）設直線1與圓C相交于A,B兩點，求|PA|?|PB|的值.

【來源】【全國百強校】吉林省實驗中學2018-2019學年高二下學期期中考試數學（文）試題

（x=1+—t

【答案】（1）x2+y2-16,\（t為參數）；（2）11

（7=2+^

【解析】

【分析】

（1）利用三角恒等式消參得到圓C的普通方程，根據直線的參數方程公式寫出直線的參數方程得解；（2）把直線

1的參數方程代入圓的普通方程消元整理，再利用直線參數方程t的兒何意義解答.

【詳解】

由t消去仇得圓C的普通方程為x2+y2=16.

（y=4smt7

又直線1過點P（l,2）且傾斜角a=g

6

（X=1+tCOSmx=1+—t

所以i的參數方程為￡m?（t為參數）.

[y=2+tsin-（^y=2+|t

x—1+—t,

（2）把直線1的參數方程12代入/+/=16,

[y=2+#

得（1+^t）2+（2+：t）216,

即/+(V^+2)t—11—0,所以t&=—11,

由參數方程的幾何意義得，YA|?|PB|=|titz|=ll.

【點睛】

本題主要考查直線的參數方程和t的幾何意義，考查參數方程和普通方程的互化，意在考查學生對這些知識的理解

掌握水平和分析推理能力.

21.［選修4-4:坐標系與參數方程］

(x=2+-t

己知曲線/的參數方程為：(t為參數)，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標

方程為p=4A/2COS(6-?).

(1)求曲線。的直角坐標方程；

⑵設P(2,1).直線，與曲線C交于點4,B.求|PA||PB|的值.

【來源】【市級聯考】廣西壯族自治區(qū)南寧、梧州等八市2019屆高三4月聯合調研考試數學(理)試題

【答案】(1)。一2y+(y-2)2=8；(2)7

【解析】

【分析】

(1)先將p=4V2cos(0-弱化為p2=4pcos6+4psin9f進而可得出其直角坐標方程；

(2)將直線參數方程代入(1)的結果，整理得到產+“一7=0,再設48兩點對應的參數分別為J，進而

可得|P川?由8|=|￡1日，即可求出結果.

【詳解】

(1)由。=4V2cos—§得p=4cos0+4sin0,

.,.p2=4pcos0+4psin6f

又％=pcos。，y=psind,

Ax2+y2=4%4-4y即曲線C的直角坐標方程為。-2)2+(y-2)2=8.

2+-t

(2)將廣:代入C的直角坐標方程,得尚/+(_白一1)2=8,

\y1--1

5

，￡2+g￡—7—0,

設48兩點對應的參數分別為七2，

.」也=-7.

則|P川“PB|=|tit2l=7.

【點睛】

本題主要考查極坐標方程與直角坐標的互化，以及參數方程的應用，熟記公式即可求解，屬于?？碱}型.

22.選修4-4：坐標系與參數方程

I黑(。為參數)，過點“(0,匈且傾斜角為a的直線/與曲線C交于

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

4B兩點.

(1)求a的取值范圍；

(2)求4B中點Q的軌跡的參數方程.

【來源】【市級聯考】內蒙古赤峰市2019屆高三4月模擬考試數學(理)試題

x=--V-2si.n2?a?,

2

【答案】(1)(%4)(2)后r-(t為參數，-<a<-n).

y=———cos2a

/22

【解析】

【分析】

(1)求出曲線和直線的普通方程，通過直線與圓相交求出斜率的范圍，從而得出傾斜角的范圍;

(2)設出4BQ對應的參數，聯立直線與圓的方程，借助韋達定理表示Q的參數，從而得出點Q的軌跡的參數方程.

【詳解】

解：(1)曲線C的直角坐標方程為公+丫2=1,

當a=1時，，與。交于兩點，

當aH1時，記tana=/c,則I的方程為y=fcx+V2,

［與C交于兩點當且僅當|磊|V1,