高等數(shù)學(xué)課件 D8-3全微分

二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用第三節(jié)一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

內(nèi)的點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴(lài)于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱(chēng)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束處全增量則稱(chēng)此函數(shù)在D

內(nèi)可微.(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x

的偏增量因此有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束所以函數(shù)在點(diǎn)可微.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意到,故有推廣:

類(lèi)似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,的全微分為于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束可知當(dāng)二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用

近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(可用于近似計(jì)算)半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求此圓柱體例4.計(jì)算的近似值.

解:設(shè),則取則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.微分應(yīng)用?近似計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束課外作業(yè):

P171.1，2（1）（3），4思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無(wú)窮小量;時(shí)是無(wú)窮小量.1.選擇題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)解:利用輪換對(duì)稱(chēng)性,可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(L.P245例2