甘肅省慶陽市寧縣第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

甘肅省慶陽市寧縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個數(shù)不是“拐角數(shù)”.（

）

A．22 B．30 C．37 D．462．在等差數(shù)列an中，已知，，則數(shù)列an的通項公式可以為（

）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前n項和為，且，若，，則（

）A．550 B．520 C．450 D．4254．過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．5．直線：，：，若，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或16．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．57．若點在圓C：的外部，則m的取值可能為（

）A．5 B．1 C． D．8．已知線段的端點B的坐標是，端點A在圓上運動，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是的前項和，，，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．是以為周期的周期數(shù)列10．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．公比為 B．C．當(dāng)時， D．的前10項積為111．若方程表示的曲線為圓，則實數(shù)的值可以為（

）A．0 B． C．1 D．2三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)等差數(shù)列與的前n項和分別為，，且，則．13．設(shè)直線與直線的交點為P，則P到直線的距離的最大值為．14．已知，，，第三個頂點C在曲線上移動，則的重心的軌跡方程是．四、解答題（本大題共5小題）15．等差數(shù)列an的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列的前項和.16．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．17．已知點，直線.(1)求點P到直線l的距離；(2)求點P關(guān)于直線l的對稱點Q的坐標.18．已知的圓心在x軸上，經(jīng)過點和．(1)求的方程；(2)過點的直線l與交于A、B兩點．（ⅰ）若，求直線l的方程；（ⅱ）求弦AB最短時直線l的方程．19．把滿足任意總有的函數(shù)稱為和弦型函數(shù).(1)已知為和弦型函數(shù)且，求的值；(2)在（1）的條件下，定義數(shù)列：，求的值；(3)若為和弦型函數(shù)且對任意非零實數(shù)，總有．設(shè)有理數(shù)滿足，判斷與的大小關(guān)系，并給出證明．

參考答案1．【答案】B【分析】由根據(jù)題意觀察“拐角數(shù)”的性質(zhì)，可得第個“拐角數(shù)”等于，進而逐項判斷即可得到答案.【詳解】由題意得第1個“拐角數(shù)”為，第2個“拐角數(shù)”為，第3個“拐角數(shù)”為，第4個“拐角數(shù)”為，…，則第個“拐角數(shù)”為.對于A：第6個“拐角數(shù)”是，故A錯誤；對于B，C：第7個“拐角數(shù)”是，第8個“拐角數(shù)”是，則30不是“拐角數(shù)”，故B正確，故C錯誤；對于D：第9個“拐角數(shù)”是，故D錯誤.故選B.2．【答案】C【詳解】方法一（基本量法）設(shè)an的首項為，公差為d，則由，得，∴．代入，整理得，解得．當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．方法二（等差數(shù)列的性質(zhì)）∵，∴．，∴，∴．當(dāng)時，；當(dāng)時，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和與積，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系）∴，是方程的兩根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．故選：3．【答案】D【詳解】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可得，，，，成等比數(shù)列，則，設(shè)，則，∵等比數(shù)列中，，∴解得，，故，∴，故選：D．4．【答案】B【詳解】

設(shè)直線的傾斜角為，，當(dāng)直線的斜率不存在時，，符合，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，因為點，，，則，，因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，所以，因為，又，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.5．【答案】C【詳解】因為：，：垂直，所以，解得或，將，代入方程，均滿足題意，所以當(dāng)或時，.故選：.6．【答案】A【詳解】因為直線與直線平行，所以，解之得.于是直線，即，所以與之間的距離為.故選：A7．【答案】C【詳解】因為點在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項可知，m的取值可以為.故選：C8．【答案】B【詳解】設(shè)，，由中點坐標公式得，所以，故，因為A在圓上運動，所以，化簡得，故B正確.故選：B9．【答案】BD【詳解】，，，，，，則數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，故正確；則，故錯誤；，故正確；可得，故錯誤．故選：10．【答案】ABD【詳解】對于A項，設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由，得，解得，故A正確；對于B項，，則，故B正確；對于C項，，當(dāng)時，，則，故C錯誤；對于D項，由，可得an的前10項積為，故D正確．故選：ABD.11．【答案】AD【詳解】方程，即，若方程表示圓，則，解得或，結(jié)合選項可知AD正確，BC錯誤.故選：AD12．【答案】【詳解】，故答案為：．13．【答案】【詳解】由可以得到，故，直線的方程可整理為：，故直線過定點，因為到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故答案為：.14．【答案】【詳解】設(shè)，因，則.因，，則重心坐標為.設(shè)，則，則.故重心軌跡方程為：.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項和公差的方程，即可求解；（2）根據(jù)數(shù)列正項和負項的分界，討論與的關(guān)系，求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，∵，∴，∵，∴

?，∴公差為，∴，∴；（2）由已知，時，；時，；綜上.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因為，，成等差數(shù)列，則，即，解得或（舍去），所以的通項公式為.（2）由（1）可知：，則，所以.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為點，直線，所以點P到直線l的距離為；（2）設(shè)點關(guān)于直線對稱的點的坐標為，則中點的坐標為，又直線的斜率為，所以，解得，即.18．【答案】(1)(2)①或；②.【詳解】（1）設(shè)圓心為，由題意可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的標準方程為.（2）①當(dāng)時，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.②當(dāng)時，圓心到直線的距離最大，此時，AB取最小值，因為，則，此時，直線的方程為，即.19．【答案】(1)；(2)(3)，證明見解析【分析】（1）利用所給定義，使用賦值法分別令、代入計算即可得解；（2）令代入計算可得，即可得其通項公式，結(jié)合對數(shù)運算與等差數(shù)列求和公式計算即可得解；（3）令，數(shù)列滿足，從而只需證明數(shù)列為遞增數(shù)列即可得證.【詳解】（1）令，則，可得，令，則，則；（2）令，則，，即，又，所以數(shù)列為以為公比，為首項的等比數(shù)列，即，則；（3）由題意得：函數(shù)定義域為，定