河南省安陽市龍安高級中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題含答案

河南省安陽市龍安高級中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．22．在棱長為的正方體中，滿足，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在邊長為1的正方體中，若點是側(cè)面的中心，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則（

）A． B． C． D．4．在正三棱柱中，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知是空間兩個不同的平面，是空間兩條不同的直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．在正方體中，直線與平面所成的角為（

）.

A． B． C． D．7．已知為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，8．米斗是隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來的稱量糧食的量器，早在先秦時期就有．如圖，是米斗中的一種，可盛10升米（1升）．已知該米斗的盛米部分為正四棱臺，上口寬為，下口寬，且，若該米斗的側(cè)棱與下底面所成角的正切值為，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C．直線的方向向量，平面的法向量是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則10．在平行六面體中，若所在直線的方向向量為，則所在直線的方向向量可能為（

）A． B．C． D．11．已知四面體平面，垂足為，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則平面C．若，則D．若，則四面體體積的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則直線和所成角的余弦值為.13．已知是空間的一個基底，若，若，則.14．在四棱錐中，底面為的中點，為上一點，當(dāng)時，.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.16．如圖，四棱錐中，底面，底面是邊長為2的菱形，，F(xiàn)為CD的中點，，以B為坐標(biāo)原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)寫出B，D，P，F(xiàn)四點的坐標(biāo)；(2)求.17．如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：(1)求證：；(2)求異面直線EF與所成角的余弦值.18．已知空間三點，設(shè)(1)求；(2)若向量與互相垂直，求實數(shù)k的值.19．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點，_________．從①；②平面這兩個條件中選一個，補充在上面問題的橫線中，并完成解答．

(1)求的長度；(2)在棱上是否存在一點，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由

參考答案1．【答案】C【詳解】向量若，則，．故選：C．2．【答案】A【詳解】

分別以射線，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由，，所以，，，A10,0,3，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為，故選：A.3．【答案】D【詳解】由題意得為的中點，所以，故．故選：D4．【答案】B【詳解】根據(jù)題意得，所以，等邊中，，因此，．故選：B．5．【答案】C【詳解】對于A，可相交，故錯誤；對于B，兩直線可異面，平行，也可以相交，故錯誤；對于C，垂直于同一個平面的兩條直線平行，故正確；對于D，兩平面可相交，故錯誤；故選：C.6．【答案】B【詳解】

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則，令，即，所以，所以.故選：B7．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個向量求解判斷.【詳解】對于A選項，因為設(shè)，即，可解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故A錯誤；對于B選項，因為設(shè)，無解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對于C選項，因為設(shè)，可解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故C錯誤；對于D選項，因為設(shè)，可解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤.故選B.8．【答案】B【詳解】設(shè)該米斗的高為，解得．易知上口的對角線的長度為，下口的對角線長度為，所以側(cè)棱與下底面所成角的正切值為，解得．故選：B9．【答案】AB【詳解】兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；兩個不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯誤；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯誤．故選：AB10．【答案】BC【詳解】由已知可得，故它們的方向向量共線，對于B選項，，滿足題意；對于C選項，，滿足題意；由于A、D選項不滿足題意．故選：BC.11．【答案】BCD【詳解】對于A與B：因為平面，平面，所以若又平面，所以平面，又因為平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又

平面，所以平面，又平面，所以，即與不垂直，故A不正確，B正確；對C：，因為則≌則≌，，所以，故C正確；對于D，在中，，則，，所以，又當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值所以四面體體積的最大值為，故D正確.故選：BCD12．【答案】【詳解】由題意知，則，故答案為：.13．【答案】3【詳解】，，因為，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以.故答案為：3.14．【答案】【詳解】以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，設(shè)，則，，因為，所以，即，解得，所以.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，，所以，所以；（2）因為，，則，，所以，，，設(shè)向量與夾角為，所以，所以向量與夾角的余弦值為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為底面是邊長為2的菱形，且，F(xiàn)為CD的中點，所以，又，；（2）.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，以D為原點，以射線DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，E0,0,1，，，，，，所以，，所以，所以，故．（2）因為，所以．因為，且，所以．18．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直的充要條件列出方程，代入化簡計算即得k值.【詳解】（1）由題意，，則；（2）由（1）可得因向量與互相垂直，則得：，解得，或.19．【答案】(1)選擇見解析，(2)存在，【詳解】（1）選①，連接，因為平面，又面，所以，又，，得到，所以，得到，所以，過點作直線，則平面，又，以為坐標(biāo)原點，以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，又為的中點，得到，所以；選②，因為平面，又面面，面，所以，又因為平面，又面，所以，又，，得到，所以，得到，所以，過點作直線，則平面，以為坐標(biāo)原點，以，，所