湖北省武漢市重點中學5G聯(lián)合體2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學

湖北省武漢市重點中學5G聯(lián)合體2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷考試時間：2024年11月8日試卷滿分：150分祝考試順利注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．2．已知空間向量，且，則（

）A．10 B．6 C．4 D．3．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，，向量在向量上的投影向量為（

）．A． B．C． D．5．如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點分別為是上的任意一點，則錯誤的是（

）A．的離心率為 B．C．的最大值為 D．使為直角的點有2個7．已知互不相同的20個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設剩下的18個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若，則下列選項錯誤的是（

）A．B．剩下的18個樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變C．D．剩下18個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)8．已知P為棱長為1的正方體的內(nèi)切球表面一動點，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9．已知事件A，B滿足，，則（

）A．若，則B．若A與B互斥，則C．若P(AB)=0.1，則A與B相互獨立D．若A與B相互獨立，則10．（多選）如圖，在邊長為1的正方體中，點為線段的中點，點為線段的中點，則（

）A．點到直線的距離為 B．直線到直線的距離為C．點到平面的距離為 D．直線到平面的距離為11．數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美.在平面直角坐標系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下列說法正確的有（

）A．曲線圍成的圖形有條對稱軸B．曲線圍成的圖形的周長是C．若是曲線上任意一點，的最小值是D．曲線上的任意兩點間的距離不超過三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．同時拋擲兩顆質地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為4的概率為；13．過點且與圓：相切的直線方程為14．已知四棱錐的底面是平行四邊形ABCD，過棱PC的中點和點作一平面，分別交棱PB和PD于點和.①設，則.（用向量表示）②記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，則的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．某高校的入學面試中有3道難度相當?shù)念}目，李明答對每道題目的概率都是0.6．若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．用Y表示答對題目，用N表示沒有答對題目，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的，那么(1)在樹狀圖中填寫樣本點，并寫出樣本空間；(2)求李明第二次答題通過面試的概率；(3)求李明最終通過面試的概率．16．為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），使居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.(1)求直方圖中a，b的值；(2)由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表）；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸），估計x的值，并說明理由.17．已知中，；(1)求邊AB的中線所在直線的方程；(2)求經(jīng)過A，B，C三點的圓的標準方程；(3)已知圓與（2）中圓相交于，求直線AB的方程，并求AB.18．在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大小；(3)在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.19．有一個半徑為4的圓形紙片，設紙片上一定點到紙片圓心的距離為，將紙片折疊，使圓周上一點M與點F重合，以點F，E所在的直線為x軸，線段EF中點為原點O，建立平面直角坐標系．(1)記折痕與ME的交點P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程．(2)若直線與曲線C交于A，B兩點．（?。┊攌為何值時，為常數(shù)d，并求出d的值．（ⅱ）以A，B為切點，作曲線C的兩條切線，設其交點為Q，當時，證明：1．A【分析】由題及傾斜角定義可得答案.【詳解】斜率為0，則傾斜角為0.故選：A2．C【分析】運用空間向量平行的坐標結論計算.【詳解】因為，所以,即，則.故選：C.3．A【分析】由垂直關系求出a的值，再結合充分、必要條件的概念即可得答案.【詳解】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4．A【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算及投影向量的公式計算即可.【詳解】由題意可知，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A5．D【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用計算出與所成的角的余弦值.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，則，則與所成的角的余弦值為.故選：D6．D【分析】AB選項，由題可得a，b，c，后由離心率計算式，橢圓定義可判斷選項正誤；C選項，由橢圓方程結合兩點間距離公式可判斷選項正誤；D選項，即判斷以原點為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓是否有兩個交點.【詳解】，則.AB選項，，故A正確；，故B正確；C選項，由題可知，，設Px,y，則，由題可得，則，故C錯誤；D選項，因為直角，則P在以原點為圓心，半焦距為半徑的圓上，則，與聯(lián)立，可得.則滿足條件的點P為，共4個，故D錯誤.故選：D7．D【分析】設20個樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、第22百分位數(shù)與方差的定義與公式推導即可.【詳解】設20個樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的18個樣本數(shù)據(jù)為，對于A，依題意，，，，由，得，即，于是，因此，即，A正確；對于B，原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的18個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，B正確；對于C，因為，則，，，于是，，因此，即，C正確；對于D，因為，則剩下18個數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，又，則原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯誤.故選：D8．B【分析】如圖建立坐標系，可將轉化為在方向上的投影向量長度的倍，結合圖形可得答案【詳解】如圖以A為原點，分別為x，y，z軸建系，則，則，又，則.表示在方向上的投影向量的長度.如圖當P在G或F時，即當A，O，P共線時，取最值.因，內(nèi)切球半徑為.則,則，則.故選：B

9．BC【分析】根據(jù)給定條件，結合概率的性質、互斥事件、相互獨立事件的概率公式，逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，由，得，A錯誤；對于B，由A與B互斥，得，B正確；對于C，由，得，則A與B相互獨立，C正確；對于D，由A與B相互獨立，得相互獨立，則，D錯誤.故選：BC10．ABD【分析】建立空間直角坐標系，求出直線的單位方向向量，由點到直線距離的向量公式求解可判斷A；先證明，然后由由點到直線距離的向量公式求解可判斷B；求出平面的法向量，由點到平面的向量公式可判斷CD.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，A1,0,0．因為，，．設，所以，所以點到直線的距離為，故A正確．因為，，所以，所以，所以點到直線的距離即為直線到直線的距離．，．設，所以，所以直線到直線的距離為，故B正確．設平面的一個法向量，又，，所以取，則，，所以，所以．又，所以點到平面的距離為，故C錯誤．因為，平面，所以平面，所以到平面的距離即為點到平面的距離．又平面的單位法向量，，所以直線到平面的距離為，故D正確．故選：ABD11．BCD【分析】分情況去掉絕對值，可得曲線的四段關系式，進而作出曲線的圖像，即可判斷各選項.【詳解】當，時，曲線方程可化為，即，是以為圓心，為半徑的圓在第一象限的半圓，同理可作出其他象限內(nèi)的圖象，且在曲線上，如圖所示，

A選項：曲線圍成的圖形有條對稱軸，分別是直線，，，，A錯誤；B選項：曲線圍成的圖形的周長為，B正確；C選項：到直線的距離為，且點到直線的距離為，由圓的性質，曲線上任意一點到直線的距離最小值為，即，所以的最小值是，C正確；D選項：綜上，易知曲線上任意兩點間的距離最大值為，D正確；故選：BCD.12．【分析】按古典概型概率公式求解.【詳解】同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，基本事件共有個；設兩枚骰子點數(shù)之和為4為事件，則事件包含：，，共3個基本事件，所以.故答案為：13．或【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.【詳解】圓：即，圓心為，半徑，當切線的斜率不存在時，直線恰好與圓相切；當切線的斜率存在時，設切線為，即，則，解得，所求切線方程為，綜上可得過點與圓相切的直線方程為或.故答案為：或14．【分析】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，從而得解；②設,利用空間向量基本定理中的推論四點共面得到,設,利用體積分割轉化將表示為然后利用得到的關系將此式轉化為關于的函數(shù)，適當整理，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得其取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，底面是平行四邊形ABCD，所以，即得，如圖所示，設，，又A，M，E，F(xiàn)四點共面，不共面，，設，則，由，求得，當時，取得最小值為，此時，當，或時，即當或時取得最大值為，故答案為：，

【點睛】關鍵點點睛：設,利用空間向量基本定理中的推論四點共面得到,設,利用體積分割轉化將表示為然后利用得到的關系將此式轉化為關于的函數(shù)，適當整理，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得其取值范圍.15．(1)樹狀圖見解析，樣本空間為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，列出樹狀圖，并寫出樣本空間即可；（2）由第二次通過面試，即第一次沒有通過，第二次通過，結合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解；（3）先求出未通過面試的概率，結合對立事件的概率求法，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得樹狀圖及樣本點，如圖所示，其樣本空間為.（2）解：由題意知，，所以第二次答題通過面試的概率.（3）解：由題意，李明未通過的概率為，所以李明通過面試的概率為.16．(1)，(2)噸(3)【分析】（1）結合圖中數(shù)據(jù)，由直方圖中所有長方形的面積之和為1列出等式，即可求出答案；（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法，直接計算即可；（3）結合圖中數(shù)據(jù)易知標準在中，由此即可求出的估計值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，又，則，.（2）該市居民用水的平均數(shù)估計為：（噸）.（3）因的頻率為，的頻率為，故的估計值為（噸）．所以有的居民每月的用水量不超過標準（噸）．17．(1)(2)(3).【分析】（1）先求出AB的中點坐標，進而求出中線的斜率，結合直線的點斜式方程即可求解；（2）根據(jù)兩點坐標表示求出AB的斜率，進而可得直線AB、BC的中垂線方程，聯(lián)立方程組，解之可得，結合圓的標準方程即可求解；（3）根據(jù)兩圓的方程相減可得，利用點線距公式和幾何法求弦長計算即可求解.【詳解】（1）AB中點為，所以其中線方程為.（2），直線AB的中垂線方程為，同理直線BC的中垂線方程為，，解得，即，所以所求圓標準方程為.（3）由題意，圓與的方程相減，得，直線AB的距離為，所以.18．(1)證明見解析(2)(3)存在，或【分析】（1）應用線面垂直的判定定理證明線面垂直關系，再由性質定理得到線線垂直關系，進而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.用向量法求與平面所成角的大?。唬?）假設存在點，使平面與平面成角余弦值為，設，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.因為，故，由幾何關系可知，，，，故，，，，，，，，，設平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設與平面所成角的大小為，則有，設為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標系中，，，，設，則，，設平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設平面的法向量為，則有，即，不妨令