江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市華南實驗教育集團2024-2025學年九年級上學期期中考試數(shù)學試題

2024-2025學年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市華南實驗教育集團九年級（上）期中數(shù)學試卷一．選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共計30分，在每小題所給出的四個選項中恰有一項符合題目要求．）1．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根2．（3分）如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝130°，則∠ACB的大小是（）A．50° B．55° C．60° D．65°3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，則配方正確的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝574．（3分）如圖，D是△ABC邊AB上一點，添加一個條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD?AB5．（3分）黃金分割被很多人認為是“最美比例”，是因為它符合人們的視覺習慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個有著“最美比例”的鸚鵡螺，點B是線段AC的黃金分割點，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的長為（）cm．A． B． C． D．6．（3分）如圖，點B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中點，若OB＝1，則的長是（）A． B． C． D．2π7．（3分）如圖，在直角坐標系中，△OCD的頂點為O（0，0），C（﹣4，﹣3），D（﹣3，0），以點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作△OCD的位似圖形△OAB，位似比為1：3，則點A坐標為（）A．（9，9） B．（12，9） C．（9，12） D．（12，12）8．（3分）如圖是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，把一個簡易刻度尺與地面AB垂直放置，其中AB與“0”刻度線重合，O點落在“3”刻度線上，CD與“5”刻度線重合，若測得AB＝50cm，則CD的長是（）A．30cm B． C．20cm D．9．（3分）已知線段a，b，c，求作線段x，使，下列作圖中正確的是（）A． B． C． D．10．（3分）我們知道，除三角形外，其他多邊形都不具有穩(wěn)定性．如圖，將正五邊形OABCD的邊AB固定，向右推動該正五邊形，使得O為AD的中點，且點A，B，C，D在以點O為圓心的圓上，過點C作⊙O的切線EF，則∠BCF的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．36° D．54°二.填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共計18分．）11．（3分）如果4a＝5b，那么＝．12．（3分）設a是方程2x2+x﹣1＝0的一個根，則3﹣4a2﹣2a的值為．13．（3分）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長是4cm，則圓錐的側(cè)面積是cm2（結(jié)果保留π）．14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長線上一點．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為．15．（3分）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值為．16．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點P在BA的延長線上，PA＝AB，點D在BC邊上，PD＝PC，則的值是．三、解答題（本大題共有10小題，共計72分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（8分）解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1．（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．18．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0．（1）求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根（2）已知方程的一個根為x＝2，求m值及方程的另一根．19．（6分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長．20．（6分）如圖，在坐標系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）．（1）經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為；（2）這個圓的半徑為；（3）直接判斷點D（5，﹣3）與⊙M的位置關(guān)系．點D（5，﹣3）在⊙M．（填內(nèi)、外、上）21．（6分）智慧養(yǎng)老，讓老年人享受數(shù)字經(jīng)濟紅利．近年來，智慧養(yǎng)老成為老齡事業(yè)與產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向之一，廣東省正致力于打造智慧養(yǎng)老的新標桿，為老年人提供更加貼心、高效的養(yǎng)老服務，同時為數(shù)字經(jīng)濟的發(fā)展注入新活力．某養(yǎng)老服務機構(gòu)8月份為800名老人提供服務，10月份為1352名老人提供服務，求該機構(gòu)9、10月份服務老人人數(shù)的月平均增長率．22．（6分）學完圖形變換后，小宛以“正五邊形的變換”為主題開展探究活動：（1）如圖1，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點B的對應點為點B，折痕為AF，求∠AFB的大小．（2）如圖2，用一些全等的正五邊形按圖示方式拼接，使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點，所夾的銳角為24°，圖中所示的是前3個正五邊形拼接的情況，若拼接一圈后，中間能形成一個正多邊形，請直接寫出這個正多邊形的邊數(shù)．23．（8分）在Rt△AFD中，∠F＝90°，點B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O過點C，連接AC，將△AFC沿AC翻折得△AEC，且點E恰好落在直徑AB上．（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關(guān)系是；并證明你的結(jié)論．（2）若OB＝BD＝2，求CE的長．24．（8分）如何利用閑置紙板箱制作儲物盒準備素材小明收集到閑置紙板箱如圖①所示．將其拆解出的如圖②和圖③兩種矩形紙板，兩種紙板的長和寬如圖所示．設計方案小明分別將圖②和圖③兩種矩形紙板以不同的方式制作儲物盒．圖②矩形紙板的制作方式圖③矩形紙板的制作方式如圖④，裁去紙板角上4個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒．如圖⑤，將紙板四個角裁去4個相同的小矩形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．目標達成小明利用兩種不同的制作方式進一步探究．初步應用小明按照矩形紙板②的制作方式，制作了如圖④所示的儲物盒的底面積是816cm2，求這個儲物盒的容積．儲物收納小明按照矩形紙板③的制作方式，制作了如圖⑤所示儲物盒，若EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為800cm2．小明家里一個玩具攀爬小火車的實物圖和尺寸大小如圖⑥所示，通過計算判斷這個玩具能否完全放入該儲物盒．25．（9分）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點C．（1）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）①作⊙O，使得圓心O在射線AQ上，且⊙O經(jīng)過A、C兩點，交射線AQ于點B；②在射線CP上求作點M，使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等；（2）在（1）的條件下，若AC＝4，AB＝5，直接寫出OM的長＝．26．（9分）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多…【問題提出】（1）如圖①，PC是△PAB的角平分線，求證：．小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，過點B作BD∥PA，交PC的延長線于點D，利用“三角形相似”．小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，過點C分別作CD⊥PA交PA于點D，作CE⊥PB交PB于點E，利用“等面積法”．請根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．【嘗試應用】（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB上一點，連結(jié)CD，將△ACD沿CD所在直線折疊，使點A恰好落在邊BC的中點E處．若DE＝5，求AC的長．【拓展提高】（3）如圖③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD為∠BAC的角平分線．AD的垂直平分線EF交BC延長線于點F，連接AF，當BD＝3時，AF的長為．

2024-2025學年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市華南實驗教育集團九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共計30分，在每小題所給出的四個選項中恰有一項符合題目要求．）1．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝8＞0，進而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠AOB＝130°，則∠ACB的大小是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】利用圓周角定理計算即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠ACB＝65°．故選：D．【點評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，則配方正確的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57【分析】本題可以用配方法解一元二次方程，首先將常數(shù)項移到等號的右側(cè)，將等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即可將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，∴x2+8x＝﹣7，?x2+8x+16＝﹣7+16，∴（x+4）2＝9．∴故選：A．【點評】此題考查配方法的一般步驟：①把常數(shù)項移到等號的右邊；②把二次項的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．4．（3分）如圖，D是△ABC邊AB上一點，添加一個條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD?AB【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案．【解答】解：A、當∠ACD＝∠B時，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項不合題意；B、當∠ADC＝∠ACB時，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項不合題意；C、當時，無法得出△ACD∽△ABC，故此選項符合題意；D、當AC2＝AD?AB時，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．5．（3分）黃金分割被很多人認為是“最美比例”，是因為它符合人們的視覺習慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個有著“最美比例”的鸚鵡螺，點B是線段AC的黃金分割點，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的長為（）cm．A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AB＝AC，把AC＝16代入計算即可得到答案．【解答】解：∵點B是線段AC的黃金分割點（AB＞BC），∴AB＝AC，∵AC＝16，∴AB＝×16＝8﹣8，故選：C．【點評】本題考查了黃金分割的有關(guān)計算，掌握黃金分割的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，點B、C、D在⊙O上，∠ADB＝30°，A是的中點，若OB＝1，則的長是（）A． B． C． D．2π【分析】連接OA，由圓周角定理得∠AOB＝2∠ADB＝60°，由＝，求出∠BCD＝120°，再根據(jù)弧長公式計算即可．【解答】解：如圖，連接OA，∵∠ADB＝30°，∴∠AOB＝2∠ADB＝60°，∵A是的中點，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∴的長為＝π．故選：A．【點評】本題考查弧長的計算和圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理得到∠BOC＝120°和熟練掌握弧長公式．7．（3分）如圖，在直角坐標系中，△OCD的頂點為O（0，0），C（﹣4，﹣3），D（﹣3，0），以點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作△OCD的位似圖形△OAB，位似比為1：3，則點A坐標為（）A．（9，9） B．（12，9） C．（9，12） D．（12，12）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．【解答】解：以點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作△OCD的位似圖形△OAB，位似比為1：3，點C的坐標為（﹣4，﹣3），則點A坐標為（﹣4×（﹣3），（﹣3）×（﹣3）），即（12，9），故選：B．【點評】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．8．（3分）如圖是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，把一個簡易刻度尺與地面AB垂直放置，其中AB與“0”刻度線重合，O點落在“3”刻度線上，CD與“5”刻度線重合，若測得AB＝50cm，則CD的長是（）A．30cm B． C．20cm D．【分析】證明△COD∽△BOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)“相似三角形對應高的比等于相似比”列式計算即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得CD∥AB，∴△COD∽△BOA，∴，∵AB＝50cm，∴，故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．9．（3分）已知線段a，b，c，求作線段x，使，下列作圖中正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用圖形得比例線段，再與已知式作對比，可以得出結(jié)論．【解答】解：A、由圖可得，即且x是所求線段，所以圖形不能畫出，故此選項不符合題意；B、由圖可得，即且x是所求線段，所以圖形不能畫出，故此選項不符合題意；C、由圖可得，即，所以圖形不能畫出，故此選項不符合題意；D、由圖可得，即，所以圖形能畫出，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是掌握比例線段的性質(zhì)．10．（3分）我們知道，除三角形外，其他多邊形都不具有穩(wěn)定性．如圖，將正五邊形OABCD的邊AB固定，向右推動該正五邊形，使得O為AD的中點，且點A，B，C，D在以點O為圓心的圓上，過點C作⊙O的切線EF，則∠BCF的度數(shù)為（）A．18° B．30° C．36° D．54°【分析】連接OC，OB，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠BOC＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCF＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接OC，OB，∵五邊形OABCD的正五邊形，∴AB＝BC＝CD，∴，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣60°）＝60°，∵點C作⊙O的切線EF，∴∠OCF＝90°，∴∠BCF＝90°﹣60°＝30°，故選：B．【點評】本題考查了正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地找出輔助線是解題的關(guān)鍵．二.填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共計18分．）11．（3分）如果4a＝5b，那么＝．【分析】先根據(jù)4a＝5b得到b＝a，再代入所求式子中求解即可．【解答】解：∵4a＝5b，∴，∴．故答案為：．【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（3分）設a是方程2x2+x﹣1＝0的一個根，則3﹣4a2﹣2a的值為1．【分析】由a是方程2x2+x﹣1＝0的一個根，可得出2a2+a＝1，再將其代入原式＝3﹣2（2a2+a）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵a是方程2x2+x﹣1＝0的一個根，∴2a2+a﹣1＝0，∴2a2+a＝1，∴原式＝3﹣2（2a2+a）＝3﹣2×1＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查一元二次方程的根以及代數(shù)式求值，牢記“把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等”是解題的關(guān)鍵．13．（3分）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長是4cm，則圓錐的側(cè)面積是8πcm2（結(jié)果保留π）．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．【解答】解：底面圓的半徑為2，則底面周長＝4π，側(cè)面面積＝×4π×4＝8π（cm2）．故答案為：8π．【點評】本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．14．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長線上一點．若∠BCE＝110°，則∠BOD的度數(shù)為140°．【分析】根據(jù)鄰補角的定義求出∠BCD，再根據(jù)圓周角定理計算即可．【解答】解：∵∠BCE＝110°，∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，由圓周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，故答案為：140°．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．15．（3分）整式a2+b2﹣8a﹣2b+5的最小值為﹣12．【分析】先分組，然后運用配方法得到（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12，最后利用偶次方的非負性得到最小值．【解答】解：a2+b2﹣8a﹣2b+5，＝a2﹣8a+b2﹣2b+5，＝（a2﹣8a+16）+（b2﹣2b+1）+5﹣17，＝（a﹣4）2+（b﹣1）2﹣12，∵（a﹣4）2≥0，（b﹣1）2≥0，∴當a＝4，b＝1時，原式有最小值，最小值為﹣12．故答案為：﹣12．【點評】本題考查配方法的應用和偶次方的非負性，正確運用該配方法是解答本題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，點P在BA的延長線上，PA＝AB，點D在BC邊上，PD＝PC，則的值是．【分析】過點P作PE∥AC交DC延長線于點E，根據(jù)等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可證PB＝PE，再證△PCE≌△PDB，可得BD＝CE，再利用平行線分線段成比例的，結(jié)合線段的等量關(guān)系以及比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點P作PE∥AC交DC延長線于點E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AC∥PE，∴∠ACB＝∠E，∴∠B＝∠E，∴PB＝PE，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD，∴∠BPD＝∠EPC，∴在△PCE和△PDB中，，∴△PCE≌△PDB（SAS），∴BD＝CE，∵AC∥PE，∴，∵PA＝AB，∴，∴，∴．故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及全等三角形的判定，解決問題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，列出比例式．三、解答題（本大題共有10小題，共計72分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（8分）解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1．（2）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）．【分析】（1）先將一元二次根式變?yōu)橐话阈问剑缓笥霉椒ń夥匠碳纯?；?）先移項，再用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）原方程化為5x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，即x1＝1，；（2）原方程可化為3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，∴（3x+2）（x﹣2）＝0，∴x1＝2，．【點評】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．18．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0．（1）求證：該方程總有兩個不相等的實數(shù)根（2）已知方程的一個根為x＝2，求m值及方程的另一根．【分析】（1）根據(jù)題意只需要證明Δ＝m2﹣4（2m﹣7）＞0即可；（2）一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把x＝2代入原方程求出m的值，進而根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根即可．【解答】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣7＝0，∴Δ＝m2﹣4（2m﹣7）＝m2﹣8m+28＝（m2﹣8m+16）+12＝（m﹣4）2+12，∵（m﹣4）2≥0，∴（m﹣4）2+12＞0，∴該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：把x＝2代入x2+mx+2m﹣7＝0得：22+2m+2m﹣7＝0，解得，∴原方程為，設另一個根為x1，∴，∴，即另一個根為．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的定義．19．（6分）如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出證．（2）設BD＝x，則AD＝2x，AB＝3x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知＝，從而列出方程解出x的值．【解答】（1）證明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴＝，設BD＝x，則AD＝2x，AB＝3x，∵AE＝4，AC＝9，∴＝，解得：x＝（負值舍去），∴BD的長是．【點評】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．20．（6分）如圖，在坐標系中，A（1，6）、B（5，6）、C（7，4）．（1）經(jīng)過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為（3，2）；（2）這個圓的半徑為；（3）直接判斷點D（5，﹣3）與⊙M的位置關(guān)系．點D（5，﹣3）在⊙M外．（填內(nèi)、外、上）【分析】（1）AB的垂直平分線所在直線為x＝2，可知圓心M在直線x＝3上，設M（3，m），根據(jù)MA＝MC，可求M點坐標；（2）由（1）求出MA＝，即可求圓的半徑；（3）根據(jù)MD＝2＞，即可判斷D點位置．【解答】解：（1）∵A（1，6）、B（5，6），∴AB的垂直平分線所在直線為x＝3，∴圓心M在直線x＝3上，設M（3，m），∴MA＝MC，∴4+（m﹣6）2＝16+（m﹣4）2，解得m＝2，∴M（3，2），故答案為：（3，2）；（2）∵M（3，2），∴MA＝，故答案為：；（3）∵D（5，﹣3），M（3，2），∴MD＝2＞，∴點D（5，﹣3）在⊙M外，故答案為：外．【點評】本題考查三角形的外接圓與外心，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（6分）智慧養(yǎng)老，讓老年人享受數(shù)字經(jīng)濟紅利．近年來，智慧養(yǎng)老成為老齡事業(yè)與產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向之一，廣東省正致力于打造智慧養(yǎng)老的新標桿，為老年人提供更加貼心、高效的養(yǎng)老服務，同時為數(shù)字經(jīng)濟的發(fā)展注入新活力．某養(yǎng)老服務機構(gòu)8月份為800名老人提供服務，10月份為1352名老人提供服務，求該機構(gòu)9、10月份服務老人人數(shù)的月平均增長率．【分析】根據(jù)題意列出方程，解方程，即可求解．【解答】解：設該機構(gòu)兩個月平均增長率為x．根據(jù)題意得：（1+x）2＝，解得x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合題意，舍去）．答：該機構(gòu)9、10月份服務老人人數(shù)的月平均增長率為30%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意是關(guān)鍵．22．（6分）學完圖形變換后，小宛以“正五邊形的變換”為主題開展探究活動：（1）如圖1，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點B與點E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點B的對應點為點B，折痕為AF，求∠AFB的大小．（2）如圖2，用一些全等的正五邊形按圖示方式拼接，使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點，所夾的銳角為24°，圖中所示的是前3個正五邊形拼接的情況，若拼接一圈后，中間能形成一個正多邊形，請直接寫出這個正多邊形的邊數(shù)．【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進行計算即可；（2）根據(jù)拼圖和周角的定義求出正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，進而求出外角的度數(shù)，再根據(jù)外角和是360°確定正多邊形的邊數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠B＝＝108°，由題意可知，AM所在的直線是正五邊形的對稱軸，∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，由翻折的性質(zhì)可知，∠BAF＝∠B′AF＝∠BAM＝27°，∴∠AFB＝180°﹣108°﹣27°＝45°；（2）由題意可知，所得到的正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為360°﹣108°﹣108°﹣24°＝120°，則這個正多邊形的外角為180°﹣120°＝60°，所以這個正多邊形的邊數(shù)為＝6，即這個正多邊形是正六邊形．【點評】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)，掌握正五邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)以及正多邊形的外角和是360°是正確解答的關(guān)鍵．23．（8分）在Rt△AFD中，∠F＝90°，點B、C分別在AD、FD上，以AB為直徑的半圓O過點C，連接AC，將△AFC沿AC翻折得△AEC，且點E恰好落在直徑AB上．（1）判斷：直線FC與半圓O的位置關(guān)系是相切；并證明你的結(jié)論．（2）若OB＝BD＝2，求CE的長．【分析】（1）根據(jù)切線的判定定理證明∠F＝∠OCD＝90°，即可得出FC與⊙O相切；（2）利用∠COD＝60°，得出CE＝OC?sin∠COD進而求出．【解答】解：（1）直線FC與⊙O的位置關(guān)系是相切；證明：連接OC∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，由翻折得，∠1＝∠3，∠F＝∠AEC＝90°∴∠3＝∠2，∴OC∥AF，∴∠F＝∠OCD＝90°，∴FC與⊙O相切；（2）在Rt△OCD中，cos∠COD＝∴∠COD＝60°，在Rt△OCD中，CE＝OC?sin∠COD＝．【點評】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系以及解直角三角形等知識，切線的判定定理是初中階段最重要的定理之一同學們應熟練掌握．24．（8分）如何利用閑置紙板箱制作儲物盒準備素材小明收集到閑置紙板箱如圖①所示．將其拆解出的如圖②和圖③兩種矩形紙板，兩種紙板的長和寬如圖所示．設計方案小明分別將圖②和圖③兩種矩形紙板以不同的方式制作儲物盒．圖②矩形紙板的制作方式圖③矩形紙板的制作方式如圖④，裁去紙板角上4個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒．如圖⑤，將紙板四個角裁去4個相同的小矩形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．目標達成小明利用兩種不同的制作方式進一步探究．初步應用小明按照矩形紙板②的制作方式，制作了如圖④所示的儲物盒的底面積是816cm2，求這個儲物盒的容積．儲物收納小明按照矩形紙板③的制作方式，制作了如圖⑤所示儲物盒，若EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為800cm2．小明家里一個玩具攀爬小火車的實物圖和尺寸大小如圖⑥所示，通過計算判斷這個玩具能否完全放入該儲物盒．【分析】初步應用：設剪去小正方形的邊長為xcm，則折成的無蓋長方體儲物盒的底面為長（50﹣2x）cm，寬為（40﹣2x）cm的矩形，根據(jù)儲物盒的底面積是816cm2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其符合題意的值代入816x中，即可求出結(jié)論；儲物收納：設ME＝y(tǒng)cm，則折成的有蓋的長方體儲物盒的底面為長（50﹣y）cm，寬為（40﹣2y）cm的矩形，根據(jù)儲物盒的底面積為800cm2，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之可得出y的值（即折成的有蓋的長方體儲物盒的高），取其符合題意的值代入（50﹣y）及（40﹣2y）中，可得出折成的有蓋的長方體儲物盒的長及寬，再對比玩具攀爬小火車的尺寸，即可得出結(jié)論．【解答】解：初步應用：設剪去小正方形的邊長為xcm，則折成的無蓋長方體儲物盒的底面為長（50﹣2x）cm，寬為（40﹣2x）cm的矩形，根據(jù)題意得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝816，整理得：x2﹣45x+296＝0，解得：x1＝8，x2＝37（不符合題意，舍去），∴816x＝816×8＝6528．答：這個儲物盒的容積為6528cm3；儲物收納：設ME＝y(tǒng)cm，則折成的有蓋的長方體儲物盒的底面為長＝（50﹣y）cm，寬為（40﹣2y）cm的矩形，根據(jù)題意得：（50﹣y）（40﹣2y）＝800，整理得：y2﹣70y+600＝0，解得：y1＝10，y2＝60（不符合題意，舍去），∴50﹣y＝50﹣10＝40，40﹣2y＝40﹣2×10＝20，∴折成的有蓋的長方體儲物盒的長為40cm，寬為20cm，高為10cm．又∵40＞35，20＞15，10＜16，∴這個玩具不能完全放入該儲物盒．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．25．（9分）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點C．（1）尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不寫作法）①作⊙O，使得圓心O在射線AQ上，且⊙O經(jīng)過A、C兩點，交射線AQ于點B；②在射線CP上求作點M，使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等；（2）在（1）的條件下，若AC＝4，AB＝5，直接寫出OM的長＝．【分析】（1）作AC的垂直平分線交AQ于點O．（2）作AC的垂直平分線交AQ于點O，以點O為圓心，OC為半徑畫圓交AQ于點B，作∠CBQ的角平分線交AP于點M，點M即為所求；（3）根據(jù)三角形相似是性質(zhì)和勾股定理求解．【解答】解：（1）①⊙O即為所求；②點M即為所求；（2）過點M作MH⊥AQ于點H，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC