天津市北辰區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

北辰區(qū)2025屆高三第一次聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁，20小題.試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所?故選：A.2.設(shè)，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式、，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】解不等式可得或，由可得，因?yàn)榛騲>1，所以，是的必要不充分條件，故選：B.3.在下列各圖中，兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合線性相關(guān)關(guān)系的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：兩個(gè)變量為函數(shù)關(guān)系，不是線性相關(guān)關(guān)系，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：所有點(diǎn)不是在一條直線附近波動(dòng)，不是線性相關(guān)關(guān)系，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)于兩個(gè)變量x，y，y隨著x的增加而減少，且所有點(diǎn)都在一條直線附近波動(dòng)，所以具有線性相關(guān)關(guān)系，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：兩個(gè)變量不具有相關(guān)性，故D錯(cuò)誤．故選：C.4.在某測(cè)量中，設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東，則點(diǎn)在點(diǎn)的（）A.北偏西 B.北偏東C.北偏西 D.南偏西【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方向角的概念判斷即可【詳解】如下圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的南偏東，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏西，故選：A.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值的特征判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A、C；當(dāng)時(shí)，故排除B.故選：D6.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，即，又，，所以，所?故選：A7.已知三棱錐外接球的球心在線段上，若與均為面積是的等邊三角形，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式求出的值，分析可知，求出的長，可得出球的半徑，再利用球體表面積公式可求得球的表面積.【詳解】如下圖所示：設(shè)，因?yàn)榕c均為面積是的等邊三角形，則，可得，因?yàn)槿忮F外接球的球心在線段上，則，則，所以，球的半徑為，因此，三棱錐外接球的表面積為.故選：D.8.函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）①函數(shù)的最大值為；②函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為；③函數(shù)上單調(diào)遞減；④，將圖象向右平移單位，再向下平移個(gè)單位可得到的圖象.A.①③ B.①④ C.②③ D.③④【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】，①函數(shù)的最大值為，故正確；②易知函數(shù)的對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為，故錯(cuò)誤；③由，得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；④由，將圖象向右平移單位得到的圖象，再向下平移個(gè)單位可得到的圖象，故正確；故選：B9.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則hx的圖象可由的圖象上下平移得到，作出函數(shù)hx與的圖象，由題意，原問題等價(jià)于hx與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象列出不等式組求解即可得答案．【詳解】解：設(shè)，作出函數(shù)和的圖象如圖，則hx的圖象可由的圖象上下平移得到，要使方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于hx與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，只須滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．第Ⅱ卷（非選擇題共105分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.10.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再計(jì)算其模.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：11.的展開式中的系數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理確定的系數(shù).【詳解】因此展開式中的系數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查基本分析求解能力.12.已知圓心在軸上的圓與傾斜角為的直線相切于點(diǎn)則圓的方程為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心為，半徑為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可的半徑，根據(jù)點(diǎn)斜式方程，可得直線的方程，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，代入公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.【詳解】設(shè)圓心為，半徑為，依題意可得，直線的方程為：，整理得，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，解得，所以圓的方程為.故答案為：13.，，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到，從而有，再利用“1”的妙用，即可求解.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，得到，得到，又，，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故答案為：.14.天津是一個(gè)歷史悠久的文化古都，盤山，石家大院，古文化街，鼓樓這四個(gè)景點(diǎn)又是天津十分有名的旅游勝地.已知某游客游覽盤山的概率為，游覽石家大院，古文化街，鼓樓的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，則該游客只游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為______；該游客至少游覽三個(gè)景點(diǎn)的概率為______【答案】①.②.【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求出該游客只游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率；至少游覽三個(gè)景點(diǎn)分為游覽了三個(gè)景點(diǎn)或四個(gè)景點(diǎn)，分別求出這兩種情況的概率，相加即可.【詳解】只瀏覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為：.游覽三個(gè)景點(diǎn)的概率為：，游覽四個(gè)景點(diǎn)的概率為：，故至少游覽三個(gè)景點(diǎn)的概率為：.故答案為：；.15.如圖，平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足，則______；若的面積為，則的最小值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)，由平面向量線性運(yùn)算表示即可求出，由結(jié)合基本不等式可得的最小值.【詳解】設(shè)，則，∴，故，∴，即.由的面積為得，，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴的最小值為.故答案為：；.三、解答題：本大題共5個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16.已知的內(nèi)角，，，的對(duì)邊分別為，，，滿足（1）求角的大?。唬?）若，，求邊的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理求解；（2）利用二倍角公式和兩角差的余弦公式求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得：，即，因?yàn)?，所以，則；【小問2詳解】由（1）知，又，，由余弦定理得：，即，解得，則；【小問3詳解】由得：，則，所以，.17.如圖，垂直于梯形所在平面，，為的中點(diǎn)，，，四邊形為矩形.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到直線的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】分析】（1）設(shè)，由三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行判定推理即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到直線的距離；（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：設(shè)，連接，由四邊形為矩形，得為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：由垂直于梯形所在平面，，得直線、、兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，點(diǎn)到直線的距離為.【小問3詳解】解：由（2）可知，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，易知平面的一個(gè)法向量，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件列方程組可求出公差和公比，從而可求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法可求出，（3）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法可證得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為．因?yàn)?，所以，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．，由，得，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】，①，②①②，所以【小問3詳解】證明：因?yàn)?，所以所以因?yàn)樗裕?9.已知橢圓：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸長是焦距的倍，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問：軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)焦距，一個(gè)焦點(diǎn)為F?c,0，從而得到，解得、、，即可求出橢圓方程；（2）聯(lián)立，消元，根據(jù)題意可得且，從而可求得的關(guān)系式及點(diǎn)的坐標(biāo)，在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則，從而可得出結(jié)論.【小問1詳解】依題意設(shè)焦距為，一個(gè)焦點(diǎn)為F?c,0，因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值為，則，則，解得（負(fù)值已舍去），所以橢圓的方程；【小問2詳解】由，消元可得，∵動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)Px0,y且，即，化簡(jiǎn)得，，此時(shí)，，即，由，得，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則對(duì)滿足式的，恒成立，，，由，得，整理得由于式對(duì)滿足式的恒成立，所以，解得，故存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理定點(diǎn)問題的三個(gè)常用策略：（1）引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，通過等量關(guān)系代入化簡(jiǎn)變形，分析研究出變化的量與參數(shù)無關(guān)，從而找到定點(diǎn)；（2）特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明存在著動(dòng)態(tài)變化中不受變量影響的該定點(diǎn)；（3）定位分析法：先根據(jù)幾何性質(zhì)（如：圖形對(duì)稱性、點(diǎn)線相對(duì)性、動(dòng)態(tài)趨勢(shì)等）探索出定點(diǎn)大致位置，從而確定證明方向再加以證明.20.已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且.證明：.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求其導(dǎo)函數(shù)，得到，再求出，由直線方程的點(diǎn)斜式可得答案；（2）求出，然后對(duì)和分類討論，由在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)且滿足，由題意可知，可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值可得結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則所以，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.小問2詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，