2024-2025學年浙江省寧波市五校聯(lián)盟高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省寧波市五校聯(lián)盟高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列直線中，傾斜角最大的是(

)A.3x+y+1=0 B.3x?y+1=0 C.2.已知點A(3,2,?1)，B(4,1,?2)，C(?5,4,3)，且四邊形ABCD是平行四邊形，則點D的坐標為(

)A.?6,5,4 B.3,?2,7 C.?1,2,6 D.?6,1,?33.如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點，AB=a，A.a?12b+c B.a4.如圖，這是一個落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cmA.90cm B.100cm C.110cm D.120cm5.若直線2x+2a?5y+2=0與直線bx+2y?1=0互相垂直，則a2+A.3 B.3 C.5 D.6.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點分別為F1,F2，點AA.3 B.3+2 7.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,?b>0)的離心率為5，圓A.0,1 B.0,?10 C.0,?38.已知曲線E:xx+yy=1A.曲線E與直線y=?x無公共點

B.曲線E關(guān)于直線y=x對稱

C.曲線E與圓(x+2)2+(y+2)2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量e1=(t,?2t,?2),?e2A.若e1⊥e2，則t=?1 B.若e1//e2，則t=4510.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，PA.平面BB1P⊥平面ABCD

B.BP的最小值為22

C.若P是C1D1的中點，則AA1到平面BB111.中國結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，中國結(jié)有著復雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對應著數(shù)學曲線中的雙紐線．已知在平面直角坐標系xOy中，到兩定點F1?a,0,F2a,0距離之積為常數(shù)a2的點的軌跡C是雙紐線．若M(3,?0)是曲線A.曲線C上有且僅有1個點P滿足PF1=PF2

B.曲線C經(jīng)過5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

C.若直線y=kx與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.點(1,0)到直線y=kx+2的距離最大值是

．13.如圖，在三棱錐P?ABC中，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，則向量PC在向量BC上的投影向量為

(用向量BC來表示)．

14.我國南北朝時期的數(shù)學家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，其意思可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖，陰影部分是由雙曲線x24?y22=1與它的漸近線以及直線y=±42四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知直線l1:x+y+2=0，l2:x+y=0，直線l過點(1)求直線l的方程;(2)設(shè)l分別與l1、l2交于點A、B，O為坐標原點，求過三點A、B、O16.(本小題15分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為4的菱形，AB=BC=13，點D為棱AC上動點(

(1)求證：BB(2)已知BA1=21,?17.(本小題15分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為233，實軸長為6，A為雙曲線C的左頂點，設(shè)直線l過定點B(?2,0)，且與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點．

18.(本小題17分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BCD=∠ABC=90°，AB=2CD=2BC=42，M是棱PC上的點，且(1)求證：BD⊥平面PAD；(2)設(shè)二面角M?BD?C的大小為θ，若cosθ=131319.(本小題17分)已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點A為橢圓短軸的上端點，P為橢圓上異于(1)若a=52(2)若橢圓Γ是“圓橢圓”，求a的取值范圍；(3)若橢圓Γ是“圓橢圓”，且a取最大值，Q為P關(guān)于原點O的對稱點，Q也異于A點，直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，試問以線段MN為直徑的圓是否過定點？證明你的結(jié)論．

參考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.C

6.D

7.B

8.D

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.513.3214.3215.解：(1)因為直線l1的斜率為?1，所以直線l的斜率為1，

又直線l過點(10,?4)，所以直線l的方程為y=x?14．

(2)聯(lián)立x+y+2=0x?y?14=0,解得x=6,y=?8,所以A(6,?8)，

同理可得B(7,?7)．

設(shè)過三點A、B、O的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2?4F>0)，

則F=0,16.解：(1)∵BB且BB1?平面ACC1∴BB1//又∵BB1?平面B1BD∴BB(2)連結(jié)A1C，取AC中點O，連結(jié)

在菱形ACC1A∴△A又∵O為AC中點，∴A1O⊥AC同理BO=3，又∵BA∴A∴A又AB=BC=13，故OB,?OC,?OA以點O為原點，OB,?OC,?OA1為x軸，y軸，∴O(0,0,0),A(0,?2,0),A∴BD設(shè)平面B1BDE的一個法向量為則n?BD=0n?DE=0故n=(1,3,?3設(shè)AB與平面B1BDE所成角為∴sin所以直線AB與平面B1BDE所成角的正弦值為

17.解：(1)由雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為233，實軸長為6，

可得e=ca=233，2a=6，解得a=3，c=23，b=12?9=3，

則雙曲線的方程為x29?y23=1；

(2)證明：直線l過定點B(?2,0)，且與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點，A(?3,0)，

可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，E(x1,y1)，F(xiàn)(18.解：(1)證明：

因為∠BCD=90°，所以BD=4，∠CBD=45在△ABD中，∠ABD=45°，AB=4AD=所以AD即∠ADB=90°，取AD的中點O，連接PO，

因為△PAD是等邊三角形，

所以PO⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，又因為BD?平面ABCD，所以PO⊥BD，又PO∩AD=O，PO，AD?平面PAD，所以BD⊥平面PAD；(2)取AB的中點N，連接ON，

則ON/?/BD，所以AD⊥ON，

故PO，AD，ON兩兩垂直，以O(shè)為原點，ON,OD,OP的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A0,?2,0，D0,2,0，B4,2,0，CDM=DP+PM=DB=(4,0,0)，

易知平面ABCD的一個法向量為m=(0,0,1)，

設(shè)平面MBD的法向量為則DM?n=0當λ=12時，

令y=1，則x=0，z=0，

平面MBD的一個法向量為n=(0,1,0)，

因為m·n=0，當λ≠12時，

令z=2λ?1，得x=0，y=3(λ?1)，

故平面∵平面MBD與平面ABCD所成角的余弦值為13故有|cos?m解得λ=13或λ=35，

故

19.解：(1)由題意得橢圓方程為4x25設(shè)P(x,?y)?1≤y≤1，則=?1二次函數(shù)開口向下，對稱軸為y=?4，所以函數(shù)在[?1,?1]上單調(diào)遞減，所以y=?1時，函數(shù)取最大值，此時P為橢圓的短軸的另一個端點，∴橢圓4x25(2)因為橢圓方程為x2a2+y2=1則PA2=x由題意得，當且僅當y=?1時，函數(shù)值達到最大，①當開口向上時，滿足?a2+1>0?1a②當開口向下時，滿足?綜上可得a的取值范圍為1,(3)法—：由(2)可得a=2，則橢圓方程為由題意：設(shè)P(2cos則Q(