《微分方程數(shù)值解》課程教學大綱

《微分方程數(shù)值解》教學大綱課程名稱：微分方程數(shù)值解英文名稱：NumericalMethodsofDifferentialEquations課程編號：F035092182學分：2.5總學時/課內實踐學時：40/8課程性質：選修課程開課單位：數(shù)理科學與工程學院數(shù)學系基層教學組織適應對象：信息與計算科學專業(yè)一、課程簡介微分方程數(shù)值解課程是信息與計算科學及相關專業(yè)的重要課程之一，旨在幫助學生掌握微分方程數(shù)值求解的基本方法和技巧。該課程的主要內容包括常微分方程和偏微分方程的數(shù)值解法，如Euler法、Runge-Kutta法、有限差分法和有限元法等。通過理論講授與編程實踐相結合，學生將學習如何有效地應用這些數(shù)值方法解決實際問題。教學方式以講授為主，輔以上機實驗和課題研究，考核方式包括平時作業(yè)、實驗報告和期末考試。課程的特色在于強調數(shù)值方法在工程和科學計算中的廣泛應用，并培養(yǎng)學生分析和解決復雜問題的能力。在教學過程中融入思政元素，通過歷史數(shù)學家的貢獻和科學進步的案例，增強學生的責任意識和社會擔當，同時培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和民族自豪感。TheNumericalSolutionsofDifferentialEquationscourseisafundamentalcourseforInformationandComputationalScienceandrelatedmajors.Itaimstoequipstudentswithessentialmethodsandtechniquesforsolvingdifferentialequationsnumerically.Thecoursecoverskeytopicssuchasnumericalmethodsforordinaryandpartialdifferentialequations,includingEuler'smethod,Runge-Kuttamethods,finitedifferencemethods,andfiniteelementmethods.Bycombiningtheoreticallectureswithhands-onprogrammingpractice,studentswilllearnhowtoeffectivelyapplythesenumericalmethodstosolvereal-worldproblems.Thecourseistaughtprimarilythroughlectures,supplementedbycomputerlabsessionsandresearchprojects.Assessmentsincluderegularassignments,labreports,andafinalexam.Thecourseischaracterizedbyitsemphasisontheextensiveapplicationsofnumericalmethodsinengineeringandscientificcomputing,fosteringstudents'abilitiestoanalyzeandsolvecomplexproblems.Ideologicalandpoliticalelementsareintegratedintothecoursebydiscussingthecontributionsofhistoricalmathematiciansandexamplesofscientificprogress,therebyenhancingstudents'senseofresponsibility,socialcommitment,innovationspirit,andnationalpride.二、課程目標1.了解橢圓、拋物和雙曲三類典型偏微分方程有限元法和有限差分法的發(fā)展歷程、前沿研究動態(tài)，勤奮踏實，具備良好的科學和文化素養(yǎng)，培養(yǎng)協(xié)同合作、服務社會的意識和利用現(xiàn)代技術獲取信息、開展學術研究的綜合素質，增強科技興國的使命感。2.掌握變分形式Ritz-Galerkin方法，橢圓型方程和拋物型方程的有限元法，二階橢圓、拋物和雙曲三類典型偏微分方程的有限差分法，離散化方程的解法等相關的基本理論，學會使用成熟的求解偏微分方程的模塊化軟件，為后續(xù)課程的學習和理論的實踐應用打下堅實基礎。3.培養(yǎng)學生設計和分析數(shù)值求解橢圓型方程的有限元法和有限差分法的基本能力，掌握用數(shù)值方法處理實際應用問題時所遵循的基本步驟和基本思想；培養(yǎng)獨立思考和判斷，具備基本的算法編程和數(shù)值模擬實驗的能力，能夠運用所學專業(yè)知識解決實際問題的應用和創(chuàng)新能力。1.Toknowtheelliptic,parabolicandhyperbolicpartialdifferentialequationsofthreekindsoftypicaldevelopmentoffiniteelementmethodandfinitedifferencemethod,dynamicandcutting-edgeresearchassiduoussureness,havegoodscientificandculturalquality,cultivatetheconsciousnessofcooperationandservethesocietyandmakeuseofmoderninformationtechnology,todevelopthecomprehensivequalityofacademicresearch,enhancethesenseofscienceandtechnologyandrejuvenatingthecountry.2.MastervariationalRitz-Galerkinmethod,finiteelementmethodforellipticequationsandparabolicequations,finitedifferencemethodforsecond-orderelliptic,parabolicandhyperbolicpartialdifferentialequations,solutionmethodfordiscretizedequationsandotherrelatedbasictheories,andlearntousematuremodularsoftwareforsolvingpartialdifferentialequations.Layasolidfoundationforthestudyofsubsequentcoursesandthepracticalapplicationoftheory.3.Trainstudentstodesignandanalyzethebasicabilityoffiniteelementmethodandfinitedifferencemethodforsolvingellipticequationsnumerically,andmasterthebasicstepsandideasfollowedbynumericalmethodstodealwithpracticalapplicationproblems;Cultivateindependentthinkingandjudgment,havetheabilityofbasicalgorithmprogrammingandnumericalsimulationexperiment,andcanusetheprofessionalknowledgetosolvepracticalproblemswiththeapplicationandinnovationability.三、課程目標與畢業(yè)要求對應關系本課程的課程目標對信息與計算科學專業(yè)畢業(yè)要求指標點的支撐情況如表1所示：表1課程目標與畢業(yè)要求對應關系畢業(yè)要求指標點課程目標畢業(yè)要求1：知識要求具有扎實的數(shù)學基礎，掌握信息科學、計算科學和計算機科學的基本理論和基本知識。課程目標2畢業(yè)要求2：能力要求能運用所學數(shù)學和計算機知識解決某些科研或生產中的實際問題。課程目標3畢業(yè)要求3：素質要求具有正確的人生觀、價值觀和道德觀，愛國、誠信、友善、守法，具有高度的社會責任感；具有良好的心理素質和積極的人生態(tài)度。課程目標1四、課程教學安排課程共有6項教學內容，具體安排如下。表2：課程教學安排表序號教學內容思政元素課堂教學學時實驗/實踐教學學時學時小計1橢圓型方程的有限差分法培養(yǎng)奮斗精神4482離散化方程的解法883拋物型方程的差分法和有限元法4264雙曲型方程的有限差分法厚植愛國主義情懷4265變分形式Ritz-Galerkin方法愛國教育666有限元空間與橢圓型方程的有限元法66合計32840教學安排1.橢圓型方程的有限差分法教學要求：1.掌握差分逼近的基本概念：截斷誤差、網(wǎng)函數(shù)、相容條件、穩(wěn)定性和先驗估計等；2.掌握直接差分化法和有限體積法，了解待定系數(shù)法和變分差分法和邊值條件的逼近方法；3.掌握Poisson方程的五點差分格式、誤差估計和邊值條件的處理；4.掌握極值定理、比較定理和五點格式的斂速估計。教學內容：1.差分逼近的基本概念；2.兩點邊值問題的差分格式；3.二階橢圓型方程的差分格式；4.極值定理、斂速估計。重點難點：極值定理、斂速估計。思政要素:借助橢圓型方程的實際應用案例，引導學生要像工匠一樣吃苦耐勞，精益求精，積極進取，善于創(chuàng)新，為我國的社會主義事業(yè)貢獻力量。2.離散化方程的解法教學要求：1.掌握離散方程的基本特征、求解的四類一般迭代法；2.掌握交替方向迭代；3.了解共軛梯度法和預共軛梯度法的基本原理；4.了解多重網(wǎng)格法的構造和思想。教學內容：1．基本迭代法；2．交替方向迭代法；3．預處理共軛梯度法；4.多重網(wǎng)格法。重點難點：多重網(wǎng)格法。3.拋物型方程的差分法和有限元法教學要求：1.以一維熱傳導方程為例，掌握拋物型方程的四種最簡差分格式；2.掌握拋物型方程有限差分法的穩(wěn)定性的定義和判別方法，了解差分格式的收斂性和誤差估計；3.掌握拋物型方程的有限元法。教學內容：1．最簡差分格式；2．穩(wěn)定性與收斂性；3．有限元法。重點難點：有限元法。4.雙曲型方程的有限差分法教學要求：1.掌握波動方程及其特征，了解依存域、決定域和影響域，掌握顯格式的構造及其穩(wěn)定性分析；2.掌握幾種常見的逼近雙曲方程的差分格式：迎風格式、積分守恒差分格式和黏性差分格式；3.掌握雙曲方程幾種邊值條件的提法及相應的逼近方法。教學內容：1.波動方程的差分逼近；2.初值問題的差分逼近；3.初邊值問題和對流占優(yōu)擴散方程的差分逼近。重點難點：初邊值問題和對流占優(yōu)擴散方程的差分逼近。思政元素:講授我國數(shù)學家的案例，培養(yǎng)學生科學精神，激發(fā)學生愛國情懷。5.變分形式Ritz-Galerkin方法教學要求：1.以二次函數(shù)的極值問題為例，掌握變分問題的基本概念和方法；2.了解弦平衡方程的建立，掌握一維Sobolev空間的相關概念和性質，掌握極小位能原理和虛功原理；3.掌握二維Sobolev空間的相關概念和性質，以Poisson方程的第一邊值問題為例，掌握一般二階橢圓邊值問題的極小位能原理和虛功原理，初步了解一般和特殊的辯證思維方式；4.掌握求解變分問題的一種重要數(shù)值解法：Ritz-Galerkin方法，了解有限元法的發(fā)展歷程，培養(yǎng)科學和文化素養(yǎng)。教學內容：1．二次函數(shù)的極值；2．兩點邊值問題；3．二階橢圓邊值問題；4.Ritz-Galerkin方法。重點難點：Ritz-Galerkin方法。思政元素：講授我國古代南北朝數(shù)學家祖沖之推算的圓周率的真值比歐洲要早一千多年。他不僅在數(shù)學界出名，還是偉大的天文學家。通過這些介紹，學生不僅深刻理解無理數(shù)的概念，也認識到我們祖先的聰明智慧，增強民族自豪感，激發(fā)學生的求知欲，激勵學生發(fā)奮學習，積極向上，勇于創(chuàng)新。6.有限元空間與橢圓型方程的有限元法教學要求：1.掌握兩點邊值問題從不同觀點出發(fā)可導出相同的有限元法；2.掌握線性有限元法的誤差估計的結論及證明過程，特別是要掌握有限元解在關于L2范數(shù)下的對偶論證方法；3.會構造基于三角形網(wǎng)格的Lagrange型和