新高考數(shù)學二輪復習 易錯點15 直線和圓（解析版）

易錯點15直線和圓易錯點1：直線的方程若直線方程含多個參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿足的方程的特征，即可找出直線所過定點坐標，并代入直線方程進行檢驗。注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算。易錯點2：圓的方程??(1)圓的一般方程的形式要熟悉，并且能和圓的標準方程的形式區(qū)分開；???(2)在求解圓的方程時要分析設哪種形式更簡單.??易錯點3：直線與圓相離直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決.易錯點4：直線與圓相切直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得.?易錯點5：直線與圓相交直線和圓相交時，有關(guān)弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理.?題組一：直線的方程1.【2016·上海文科】已知平行直線SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的距離_______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】利用兩平行線間距離公式得SKIPIF1<02.【2014四川】設SKIPIF1<0，過定點SKIPIF1<0的動直線SKIPIF1<0和過定點SKIPIF1<0的動直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】易知直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，且兩條直線相互垂直，故點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上運動，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選B．【叮囑】對于直線過定點，有以下常用結(jié)論：若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)），則直線SKIPIF1<0必過定點SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)），則直線SKIPIF1<0必過定點SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)），則直線SKIPIF1<0必過定點SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)），則直線SKIPIF1<0必過定點SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)），則直線SKIPIF1<0必過定點SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)），則直線SKIPIF1<0必過定點SKIPIF1<0。3.【2012浙江】設SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】“直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的充要條件是SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以是充分不必要條件。故選：SKIPIF1<0.題組二：圓的方程4.【2020年北京卷】已知半徑為1的圓經(jīng)過點SKIPIF1<0，則其圓心到原點的距離的最小值為（）．A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A.【解析】設圓心SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時取得等號，故選：A.5．【2018·天津文】在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0）的圓的方程為__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】設圓的方程為SKIPIF1<0，圓經(jīng)過三點（0，0），（1，1），（2，0），則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則圓的方程為SKIPIF1<0．6．【2015北京文】圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為SKIPIF1<0，則圓的標準方程為SKIPIF1<0．題組三：直線與圓相交7.【2021北京卷9】曲線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0變化時，直線SKIPIF1<0截曲線SKIPIF1<0的最小弦長為2，則SKIPIF1<0的值為 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由圓的性質(zhì)知，當SKIPIF1<0時，圓心到直線的距離最大，弦長最小，故此時有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．【2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅰ）】已知圓SKIPIF1<0，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圓SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，所以圓心SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，當過點SKIPIF1<0的直線和直線SKIPIF1<0垂直時，圓心到過點SKIPIF1<0的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時SKIPIF1<0根據(jù)弦長公式得最小值為SKIPIF1<0.故選：B.9.【2015全國1卷文】已知過點SKIPIF1<0且斜率為k的直線l與圓C：SKIPIF1<0交于M，N兩點.（=1\*ROMANI）求k的取值范圍；（=2\*ROMANII）SKIPIF1<0，其中O為坐標原點，求SKIPIF1<0.【答案】（=1\*ROMANI）SKIPIF1<0（=2\*ROMANII）2【解析】(1)由題設，可知直線l的方程為y＝kx＋1.因為l與C交于兩點，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3)，所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).（=2\*ROMANII）設SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,由題設可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以l的方程為SKIPIF1<0.故圓心在直線l上，所以SKIPIF1<0.題組四：直線與圓相切10．【2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅰ）】已知⊙M：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作⊙M的切線SKIPIF1<0，切點為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最小時，直線SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】圓的方程可化為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與圓相離．依圓的知識可知，四點SKIPIF1<0四點共圓，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0最?。郤KIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0．所以以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩圓的方程相減可得：SKIPIF1<0，即為直線SKIPIF1<0的方程．故選：D.11．【2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅲ）】若直線l與曲線y=SKIPIF1<0和x2+y2=SKIPIF1<0都相切，則l的方程為（）A．y=2x+1 B．y=2x+SKIPIF1<0 C．y=SKIPIF1<0x+1 D．y=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0【答案】D【解析】設直線SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上的切點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的導數(shù)為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0，兩邊平方并整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍），則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D.12.【2020?全國2卷】若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線SKIPIF1<0的距離為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】由于圓上的點SKIPIF1<0在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為SKIPIF1<0，則圓的半徑為SKIPIF1<0，圓的標準方程為SKIPIF1<0.由題意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以圓心的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，圓心到直線的距離均為SKIPIF1<0；圓心到直線的距離均為SKIPIF1<0圓心到直線SKIPIF1<0的距離均為SKIPIF1<0；所以，圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：B.題組五：直線與圓相離13.【2020年全國1卷】已知⊙M：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作⊙M的切線SKIPIF1<0，切點為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最小時，直線SKIPIF1<0的方程為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】圓的方程可化為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與圓相離．依圓的知識可知，四點SKIPIF1<0四點共圓，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0最小．∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0．所以以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩圓的方程相減可得：SKIPIF1<0，即為直線SKIPIF1<0的方程．故選：D.14．【2018年全國卷Ⅲ理數(shù)高考試題】直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0面積的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0點P在圓SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0圓心為（2，0），則圓心到直線距離SKIPIF1<0故點P到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0的范圍為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故答案選A.15．【2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試】圓SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為1，則SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】由SKIPIF1<0配方得SKIPIF1<0，所以圓心為SKIPIF1<0，因為圓SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為1，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選A.1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是（）A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0【答案】C【解析】AB的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心為SKIPIF1<0，圓x2＋y2－6x＝0的圓心為SKIPIF1<0，則兩圓圓心所在直線的方程為SKIPIF1<0，即3x－y－9＝0.故選：C.2．已知直線SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0變化時，所有直線都恒過點（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，∴直線過定點SKIPIF1<0，故選：D.3．圓SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離為A．1B．2C．SKIPIF1<0D．2SKIPIF1<0【答案】C【解析】圓心坐標為，由點到直線的距離公式可知，故選C.4．已知圓M：截直線所得線段的長度是，則圓M與圓N：的位置關(guān)系是A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離【答案】B【解析】由（）得（），所以圓的圓心為，半徑為，因為圓截直線所得線段的長度是，所以，解得，圓的圓心為，半徑為，所以，，，因為，所以圓與圓相交，故選B．5．圓x2+y2?2x?8y+13=0的圓心到直線ax+y?1=0的距離為1，則a=A．?B．?C．D．2【答案】A【解析】由題意知圓心為SKIPIF1<0，由距離公式有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選A．6．圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意可得圓的半徑為SKIPIF1<0，則圓的標準方程為SKIPIF1<0．7．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0的值是A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12【答案】D【解析】圓的標準方程為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．8．已知三點，，，則外接圓的圓心到原點的距離為A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意可得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等邊三角形，故SKIPIF1<0的外接圓圓心時SKIPIF1<0的中心，又等邊