江蘇省泰州市泰興市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試高三數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到，利用交集概念求出交集.【詳解】，故，解得，故，又，故.故選：B2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先得到，利用復(fù)數(shù)除法法則得到，得到對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，求出所在象限.【詳解】的共軛復(fù)數(shù)是，故，所以，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A3.已知向量，，若，是共線向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)向量平行得到方程，求出，利用余弦二倍角公式得到答案.【詳解】由題意得，故，故.故選：B4.盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出來(lái)的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為．黃海是我國(guó)東部中強(qiáng)地震多發(fā)區(qū)之一，2013年4月21日，黃海海域發(fā)生里氏5.0級(jí)地震，2015年8月6日黃海海域發(fā)生里氏4.0級(jí)地震，前一次地震所釋放出來(lái)的能量約是后一次的（）倍．（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】D【解析】【分析】由題意得到方程組，相減后得到，結(jié)合給出的參考數(shù)據(jù)，得到.詳解】由題意得，兩式相減得，而，故，故選：D5.在1和15之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．若這個(gè)數(shù)中第1個(gè)為，第個(gè)為，則的最小值是（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合不等式的“乘1法”即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故選：C.6.已知函數(shù)（且）在上為單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知在兩段上均為增函數(shù)，且在1,+∞上的最小值大于或等于f1求出的范圍可得答案．【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，開(kāi)口向上的拋物線，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樵赗上為單調(diào)函數(shù)，所以，解得，所以，可得.故選：D.7.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體．在直角中，為斜邊上的高，，，現(xiàn)將沿翻折成，使得四面體為一個(gè)鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出各個(gè)邊長(zhǎng)，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時(shí)，由勾股定理逆定理得⊥，故滿足四面體為一個(gè)鱉臑，取中點(diǎn)，連接，得到，故點(diǎn)即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，從而求出外接球表面積.【詳解】因?yàn)橹苯侵?，為斜邊上的高，，，所以，，，，如圖，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時(shí)，由勾股定理逆定理得⊥，結(jié)合⊥，⊥，故滿足四面體為一個(gè)鱉臑，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椤?，⊥，故，故點(diǎn)即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，故該鱉臑外接球的表面積為為.故選：C8.已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形得到，令，則，根據(jù)的單調(diào)性得到，分和兩種情況，參變分離得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，求出最小值為，得到.【詳解】，令，則，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，可由向右平移得到，結(jié)合與的圖象可知，恒成立，當(dāng)時(shí)，由得到，其中，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，最小值為，故，綜上，.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：同構(gòu)構(gòu)造，從而令，得到，根據(jù)的單調(diào)性得到，再進(jìn)行下一步求解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，下列命題正確的是（）A.如果，，那么．B.如果，，那么．C.如果，，，，那么．D.如果，，，，那么．【答案】AB【解析】【分析】由線面垂直的定義可知選項(xiàng)A正確；由面面平行的性質(zhì)可知選項(xiàng)B正確；由線面垂直的性質(zhì)定理可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由面面平行的判定定理可知選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.如果，那么直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，由于，故，選項(xiàng)A正確.B.如果，那么平面內(nèi)的任意一條直線都與平面平行，由于，故，選項(xiàng)B正確.C.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直.如圖，選項(xiàng)條件中直線不一定是平面與平面的交線，故不能推出.選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.平面與平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.如圖，選項(xiàng)條件中兩直線可能平行，不能得到.選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)與的定義域均為，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）A. B.是奇函數(shù)C.是偶函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性得到，故；B選項(xiàng)，兩邊求導(dǎo)得到，B正確；C選項(xiàng)，兩邊求導(dǎo)得，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，令得，A正確；B選項(xiàng)，是偶函數(shù)，故，兩邊求導(dǎo)得，又函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，故為奇函數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，兩邊求導(dǎo)得，即，故關(guān)于直線對(duì)稱，無(wú)法得到為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，，故，D正確.故選：ABD11.在中，角的對(duì)邊分別為，為的外心，則（）A.若有兩個(gè)解，則B.的取值范圍為C.的最大值為9D.若為平面上的定點(diǎn)，則A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，由正弦定理求解即可；對(duì)于B，由正弦定理及向量的數(shù)量積公式求解即可；對(duì)于C，法一：用投影向量求解；法二：轉(zhuǎn)化到圓心求解；對(duì)于D，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，再求解即可.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理，得，有兩解的情形為，且，則，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理，得外接圓半徑，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，，于是，故B正確；對(duì)于C，法一：用投影向量求解：當(dāng)在上的投影向量的模最大，且與同向時(shí)，取得的最大值，此時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，則，在上的投影向量的模為，最大值為，故C錯(cuò)誤；法二：轉(zhuǎn)化到圓心：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如下圖，由正弦定理知A點(diǎn)在以為圓心半徑為優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)，由兩段優(yōu)弧拼接成，每段優(yōu)弧所對(duì)圓心角為，所以A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，已知，，，則的面積是______【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求得的值，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得的值，然后根據(jù)，得解．【詳解】解：由余弦定理知，，，，∴的面積．故答案為：．13.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，若，，則_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解，注意討論公比是否為1.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，這與已知，是矛盾的，所以，從而，，將上面兩個(gè)等式的兩邊分別相除，得，解得，由此可得，因此．故答案為：.14.已知，，，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義求出答案.【詳解】設(shè)在第四象限，表示在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)與反向時(shí)取到最小值，當(dāng)位于軸正半軸上時(shí)，投影數(shù)量為，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5分題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）若對(duì)任意，存在，使得，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）變形為，，結(jié)合開(kāi)口方向和根的判別式得到不等式，求出答案；（2）在上的值域包含在上的值域，其中，分和，得到在上的值域，根據(jù)包含關(guān)系得到不等式，得到答案.【小問(wèn)1詳解】，，需滿足，解得，故的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】對(duì)任意，存在，使得，故在上的值域包含在上的值域，其中時(shí)，，的對(duì)稱軸為，若，則在上單調(diào)遞增，故，但不會(huì)是1,2的子集，舍去；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，故，是1,2的子集，則，解得，綜上，的取值范圍是.16.在四棱錐中，底面是菱形，，，，底面，，點(diǎn)在棱上，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的大小．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）可得為中位線，從而，根據(jù)線面平行的判斷定理可得平面；（2）根據(jù)空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可得，利用解三角形可求二面角的大小?！拘?wèn)1詳解】連接，在菱形中，，故，而底面，平面，故，而，故，\同理，.因，而，故，而，故，而平面，平面，故平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）中可得且.由菱形可得，而底面，平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，故為二面角的平面角，由（1）可得，而，為等腰三角形，故，而為三角形內(nèi)角，故即二面角的平面角為.17.設(shè)函數(shù)．從下列三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件③：是的一個(gè)對(duì)稱中心．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式得到，若選①，求出，若選③，求出，故①③不能同時(shí)選，若選②，得到，故只有②和③滿足要求，并得到，求出最小正周期為；整體法得到函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）代入求出，并結(jié)合得到，利用求出答案.【小問(wèn)1詳解】，若選①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，故，又，解得，若選③，是的一個(gè)對(duì)稱中心，則，故，又，解得，顯然條件①和③不會(huì)同時(shí)成立，若選①②：因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，設(shè)的最小正周期為，則，故，又，，故，因?yàn)椋圆怀闪ⅲ?dāng)選②和③時(shí)，且，故當(dāng)時(shí)，滿足要求，，的最小正周期為；令，解得，故單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】，故，因?yàn)椋?，故，?18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，前項(xiàng)和為，為和的等比中項(xiàng)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）求證：數(shù)列.【答案】（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到方程，求出，，求出通項(xiàng)公式；（2）假設(shè)存在，得到，根據(jù)整除性可得存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列；（3）由等差數(shù)列求和公式得到，放縮得到，裂項(xiàng)求和即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意得，即，整理得，因?yàn)?，所以，，即，解得，故，an的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】不存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，理由如下：假設(shè)存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，，，，由題意得，整理得到,故或故（舍）或，,綜上，存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列；【小問(wèn)3詳解】由等差數(shù)列求和公式得，當(dāng)時(shí)，，.19.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線方程；（2）判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，請(qǐng)求出極小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線方程；（2）求導(dǎo)，并因式分解，得到，分，和三種情況，得到函數(shù)單調(diào)性和極小值；（3）先由得到，再考慮，結(jié)合（2）中所求的函數(shù)單調(diào)性，得到，故取，則，不合要求，當(dāng)時(shí)，，滿足當(dāng)時(shí)，，得到答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，，故在處的切線方程為，即；【