專(zhuān)項(xiàng)27-成比例線段-重難點(diǎn)題型

成比例線段-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1成比例線段的概念】1．比例的項(xiàng)：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項(xiàng)，b，c稱為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項(xiàng)，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．【題型1成比例線段的概念】【例1】（浉河區(qū)校級(jí)一模）已知四條線段a，2，6，a+1成比例，則a的值為．【變式1-1】（岳陽(yáng)縣期中）在同一單位長(zhǎng)度下，下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20【變式1-2】若a：b＝c：d，則下列各式成立的是（）A．a(chǎn)：d＝c：b B．b：d＝c：a C．a(chǎn)+bb=c?dd D．a(chǎn)b【變式1-3】已知線段a、b、c滿足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．【題型2成比例線段概念的應(yīng)用】【例2】（江陰市期中）在比例尺為1：30000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝5cm，則A、B兩地的實(shí)際距離為km．【變式2-1】（高郵市期末）若三條線段a、b、c的長(zhǎng)滿足abA．能?chē)射J角三角形 B．能?chē)芍苯侨切?C．能?chē)赦g角三角形 D．不能?chē)扇切巍咀兪?-2】（渝中區(qū)期末）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab+1∴a+bb根據(jù)以上方法，解答下列問(wèn)題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【變式2-3】閱讀理解，并解決問(wèn)題：小明同學(xué)在一次教學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，存在一組都不為0的數(shù)a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同學(xué)還有新的發(fā)現(xiàn)（分比性質(zhì)）：若已知①ac=b問(wèn)題解決：（1）仿照上例，從①②中選一組數(shù)據(jù)寫(xiě)出分比性質(zhì)等式；（2）證明（1）中的分比性質(zhì)等式成立【知識(shí)點(diǎn)2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當(dāng)時(shí)，.【題型3比例的性質(zhì)（比值問(wèn)題）】【例3】（炎陵縣期末）已知2b3a?b=34【變式3-1】（平果市期末）如果ab=23【變式3-2】（雅安期末）若a2=b3【變式3-3】（梁溪區(qū)期末）若ab=cd=ef=23【題型4比例的性質(zhì)（三角形問(wèn)題）】【例4】（蘭州期末）已知△ABC和△DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=2【變式4-1】（沭陽(yáng)縣期末）已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a+b+c＝48，a4=b【變式4-2】（永登縣期末）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a+43=b+32=c+84，且a+b【變式4-3】已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且a5（1）2a+b3c（2）若△ABC的周長(zhǎng)為90，求各邊的長(zhǎng)．【題型5比例的性質(zhì)（閱讀理解類(lèi)）】【例5】（鼓樓區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列問(wèn)題：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【變式5-1】（椒江區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列問(wèn)題：a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c≠0，當(dāng)a+b?cc=a?b+c【變式5-2】解答下列各題：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均為非零的實(shí)數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+c【變式5-3】我們知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c滿足什么關(guān)系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【知識(shí)點(diǎn)3黃金分割】如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對(duì)于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）【題型6黃金分割】【例6】（閔行區(qū)期末）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)人的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度（上半身的長(zhǎng)度）與肚臍至足底的長(zhǎng)度（下半身的長(zhǎng)度）的比值為“黃金分割數(shù)”時(shí)，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長(zhǎng)度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計(jì)劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長(zhǎng)度增加．你認(rèn)為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【變式6-1】（龍口市模擬）黃金分割具有嚴(yán)格的比例性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，這一比值能夠引起人們的美感．如圖，連接正五邊形ABCDE的各條對(duì)角線圍成個(gè)新的五邊形MNPQR．圖中有很多頂角為36°的等腰三角形，我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，黃金三角形的底與腰之比為5?12．若EM＝4，則AB＝【變式6-2】（市北區(qū)期末）如圖，線段AB＝1，點(diǎn)P1是線段AB的黃金分割點(diǎn)（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1?AB），點(diǎn)P2是線段AP1的黃金分割點(diǎn)（AP2＜P1P2），點(diǎn)P3是線段AP2的黃金分割點(diǎn)（AP3＜PA．(3?52)C．(12)【變式6-3】（平頂山期中）如果一個(gè)等腰三角形的頂角為36°，那么可求其底邊與腰之比等于5?12，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一個(gè)黃金三角形；作∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D，△BCD看作第二個(gè)黃金三角形；作∠BCD的平分線CE，交BD于點(diǎn)E，△A．（5?12）2018 B．（5?12）2019 C．（3+52）

成比例線段-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識(shí)點(diǎn)1成比例線段的概念】1．比例的項(xiàng)：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項(xiàng)，b，c稱為比例內(nèi)項(xiàng)．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項(xiàng)，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．【題型1成比例線段的概念】【例1】（浉河區(qū)校級(jí)一模）已知四條線段a，2，6，a+1成比例，則a的值為3．【解題思路】由四條線段a，2，6，a+1成比例，根據(jù)成比例線段的定義解答即可．【解答過(guò)程】解：∵四條線段a，2，6，a+1成比例，∴a2=6故答案為：3．【變式1-1】（岳陽(yáng)縣期中）在同一單位長(zhǎng)度下，下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20【解題思路】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【解答過(guò)程】解：A、∵1×30≠2×20，∴四條線段不成比例；B、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例；C、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例；D、∵5×20＝10×10，∴四條線段成比例；故選：D．【變式1-2】若a：b＝c：d，則下列各式成立的是（）A．a(chǎn)：d＝c：b B．b：d＝c：a C．a(chǎn)+bb=c?dd D．a(chǎn)b【解題思路】根據(jù)比例的性質(zhì)，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答過(guò)程】解：A、∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵a：b＝c：d，∴bc＝ad，∴b：d＝a：c，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵a+bb=ab+D、令ab=cd=k故選：D．【變式1-3】已知線段a、b、c滿足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．【解題思路】（1）利用a：b：c＝3：2：6，可設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝6k，則3k+2×2k+6k＝26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解．【解答過(guò)程】解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，∴設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝6k，又∵a+2b+c＝26，∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，∴a＝6，b＝4，c＝12；（2）∵x是a、b的比例中項(xiàng)，∴x2＝ab，∴x2＝4×6，∴x＝26或x＝﹣26（舍去），即x的值為26．【題型2成比例線段概念的應(yīng)用】【例2】（江陰市期中）在比例尺為1：30000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝5cm，則A、B兩地的實(shí)際距離為1.5km．【解題思路】設(shè)A、B兩地的實(shí)際距離為x厘米，根據(jù)比例尺的定義得到5x=1【解答過(guò)程】解：設(shè)A、B兩地的實(shí)際距離為x厘米，根據(jù)題意得5x解得x＝150000，150000cm＝1.5km．故答案為1.5．【變式2-1】（高郵市期末）若三條線段a、b、c的長(zhǎng)滿足abA．能?chē)射J角三角形 B．能?chē)芍苯侨切?C．能?chē)赦g角三角形 D．不能?chē)扇切巍窘忸}思路】根據(jù)比例線段和三角形的三邊關(guān)系解答即可．【解答過(guò)程】解：∵三條線段a、b、c的長(zhǎng)滿足ab設(shè)a＝（5+1）k，b＝2k則c＝（5?1）k∵5+1=∴不能?chē)扇切?，故選：D．【變式2-2】（渝中區(qū)期末）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab+1∴a+bb根據(jù)以上方法，解答下列問(wèn)題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【解題思路】（1）把要求的式子化成a+bb（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得出a?bb=c?d【解答過(guò)程】解：（1）∵ab∴a+bb=ab+（2）∵ab∴ab?1∴a?bb∵a+bb∴a?bb∴a?ba+b【變式2-3】閱讀理解，并解決問(wèn)題：小明同學(xué)在一次教學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，存在一組都不為0的數(shù)a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同學(xué)還有新的發(fā)現(xiàn)（分比性質(zhì)）：若已知①ac=b問(wèn)題解決：（1）仿照上例，從①②中選一組數(shù)據(jù)寫(xiě)出分比性質(zhì)等式；（2）證明（1）中的分比性質(zhì)等式成立【解題思路】（1）利用分比性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）設(shè)ac=bd=k，則a＝kc．b＝kd，可得a?c【解答過(guò)程】解：（1）①若ac=bd，則a?cc=b?d（2）①若ac=b理由：設(shè)ac=則a＝kc．b＝kd，∴a?cc=kc?cc=∴a?cc同法可證結(jié)論②成立．【知識(shí)點(diǎn)2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當(dāng)時(shí)，.【題型3比例的性質(zhì)（比值問(wèn)題）】【例3】（炎陵縣期末）已知2b3a?b=34，則a【解題思路】根據(jù)2b3a?b=3【解答過(guò)程】解：∵2b3a?b∴3a?b2b∴3a2b∴ab故答案為：119【變式3-1】（平果市期末）如果ab=23，那么b?a【解題思路】利用比例的性質(zhì)由ab=23得到a2=b3，則可設(shè)a＝2t，b＝3t，然后把a(bǔ)＝2【解答過(guò)程】解：∵ab∴a2設(shè)a＝2t，b＝3t，∴b?aa+b故答案為15【變式3-2】（雅安期末）若a2=b3=c【解題思路】根據(jù)已知比例關(guān)系，用未知量k分別表示出a、b和c的值，代入原式中，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．【解答過(guò)程】解：設(shè)a2=則a＝2k，b＝3k，c＝4k，所以a+bc故答案是：54【變式3-3】（梁溪區(qū)期末）若ab=cd=ef=23（b【解題思路】根據(jù)已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式計(jì)算即可．【解答過(guò)程】解：∵ab∴a=23b，c=23d，∴a+c+e=2=2故答案為：23【題型4比例的性質(zhì)（三角形問(wèn)題）】【例4】（蘭州期末）已知△ABC和△DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=2【解題思路】設(shè)△ABC和△DEF的周長(zhǎng)分別是x厘米和y厘米．構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：設(shè)△ABC和△DEF的周長(zhǎng)分別是x厘米和y厘米．∵ABDE∴AB+BC+CADE+EF+FD由題意可得：y﹣x＝15②由①式得x=23將③式代入②式得：y?23∴y＝45，將y＝45代入③式得：x＝30，答：△ABC和△DEF的周長(zhǎng)分別是30厘米和45厘米．【變式4-1】（沭陽(yáng)縣期末）已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且a+b+c＝48，a4=b【解題思路】根據(jù)等式的性質(zhì)，可用x表示a，b，c，根據(jù)解方程，可得答案．【解答過(guò)程】解：設(shè)a4=得a＝4x，b＝5x，c＝7x．∵a+b+c＝48，∴4x+5x+7x＝48，解得x＝3，∴a＝4x＝12，b＝5x＝15，c＝7x＝21．【變式4-2】（永登縣期末）已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a+43=b+32=c+84，且a【解題思路】令第一個(gè)等式等于k，表示出a，b，c，代入第二個(gè)等式求出k的值，即可作出判斷．【解答過(guò)程】解：設(shè)a+43=可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，則△ABC為直角三角形．【變式4-3】已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且a5（1）2a+b3c（2）若△ABC的周長(zhǎng)為90，求各邊的長(zhǎng)．【解題思路】（1）直接設(shè)a＝5x，b＝4x，c＝6x，進(jìn)而代入求出答案；（2）直接設(shè)a＝5x，b＝4x，c＝6x，進(jìn)而代入求出答案．【解答過(guò)程】解：（1）∵a5∴設(shè)a＝5x，b＝4x，c＝6x，則2a+b3c（2）∵△ABC的周長(zhǎng)為90，∴5x+4x+6x＝90，解得：x＝6，則a＝5x＝30，b＝4x＝24，c＝6x＝36．【題型5比例的性質(zhì)（閱讀理解類(lèi)）】【例5】（鼓樓區(qū)校級(jí)期中）閱讀下面的解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列問(wèn)題：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【解題思路】設(shè)y+zx=z+xy=x+yz=【解答過(guò)程】解：設(shè)y+zx=則y+z＝xk，z+x＝y(tǒng)k，x+y＝zk，∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，解得，x＝y(tǒng)＝z，則x?y?zx+y+z【變式5-1】（椒江區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列解題過(guò)程，然后解題：題目：已知xa?b=yb?c=zc?a（a、b、c解：設(shè)xa?b=yb?c=zc?a=k，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列問(wèn)題：a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c≠0，當(dāng)a+b?cc=a?b+c【解題思路】設(shè)a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca=k，利用比例的性質(zhì)得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+【解答過(guò)程】解：設(shè)a+b?cc=所以a+b﹣c＝kc①，a﹣b+c＝kb②，﹣a+b+c＝ka③，由①+②+③，得a+b+c＝k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k＝1．∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．∴(a+b)(b+c)(c+a)abc【變式5-2】解答下列各題：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均為非零的實(shí)數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+c【解題思路】（1）先展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù)因式分解法解方程即可求解．；（2）根據(jù)比例的等比性質(zhì)解決分式問(wèn)題．注意分兩種情況：a+b+c≠0；a+b+c＝0進(jìn)行討論．本題還可以設(shè)參數(shù)法解答．【解答過(guò)程】解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，x2+5x+6＝2x+16，x2+3x﹣10＝0，（x﹣2）（x+5）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5；（2）若a+b+c≠0，由等比定理有a+b?cc所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，于是有(a+b)(b+c)(c+a)abc若a+b+c＝0，則a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，于是有(a+b)(b+c)(c+a)abc【變式5-3】我們知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c滿足什么關(guān)系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【解題思路】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)求得t的值，把t的值代入代數(shù)式即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）∵ab=cd，∴a+c＝0；（2）①當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，b+ca∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+ca∴t2﹣t﹣2＝0．【知識(shí)點(diǎn)3黃金分割】如圖，若線段AB上一點(diǎn)C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即），則稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對(duì)于線段AB而言，黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．）【題型6黃金分割】【例6】（閔行區(qū)期末）古希臘藝術(shù)家發(fā)現(xiàn)當(dāng)人的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度（上半身的長(zhǎng)度）與肚臍至足底的長(zhǎng)度（下半身的長(zhǎng)度）的比值為“黃金分割數(shù)”時(shí)，人體的身材是最優(yōu)美的．一位女士身高為154cm，她上半身的長(zhǎng)度為62cm，為了使自己的身材顯得更為優(yōu)美，計(jì)劃選擇一雙合適的高跟鞋，使自己的下半身長(zhǎng)度增加．你認(rèn)為選擇鞋跟高為多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解題思路】她下半身的長(zhǎng)度為92cm，設(shè)鞋跟高為x厘米時(shí)，她身材顯得更為優(yōu)美，利用黃金分割的定義得到6292+x【解答過(guò)程】解：∵一位女士身高為154cm，她上半身的長(zhǎng)度為62cm，∴她下半身的長(zhǎng)度為92cm，設(shè)鞋跟高為x厘米時(shí)，她身材顯得更為優(yōu)美，根據(jù)題意得6292+x解得x≈8.3（cm）．經(jīng)檢驗(yàn)x＝8.3為原方程的解，所以選擇鞋跟高為8厘米的高跟鞋最佳．故選：C．【變式6-1】（龍口市模擬）黃金分割具有嚴(yán)格的比例性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，這一比值能夠引起人們的美感．如圖，連接正五邊形ABCDE的各條對(duì)角線圍成個(gè)新的五邊形MNPQR．圖中有很多頂角為36°的等腰三角形，我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，黃金三角形的底與腰之比為5?12．若EM＝4，則AB＝25+【解題思路】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理與正多邊形的性質(zhì)得出△EDN為黃金三角形，再根據(jù)黃金三角形的底與腰之比求出DE，即可得出結(jié)果．【解答過(guò)程】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝DE，正五邊形內(nèi)角和（5﹣2）×180°＝540°，∴∠EDC＝∠AED＝∠BCD＝1