專項03 二次函數(shù)中的運動問題

專項03二次函數(shù)中的運動問題類型一點動問題1.(2023吉林長春綠園模擬)如圖，拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=2，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A點坐標(biāo)為(-1，0).(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；(2)點M(a，0)是x軸上的一個動點，當(dāng)CM+DM的值最小時，求a的值.2.(2023山東棗莊嶧城期中)如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(3，0)、B(-1，0)兩點，與y軸交于點C(0，3)，其頂點為D，連結(jié)AC.(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標(biāo).3.(2023山東聊城中考)如圖1，拋物線y=ax2+bx-9與x軸交于點A(-3，0)，B(6，0)，與y軸交于點C，連結(jié)AC，BC.點P是x軸上任意一點.(1)求拋物線的表達式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形，求點Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點P(m，0)從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時(點P與點A，B不重合)，過點P分別作PE∥BC，交AC于點E，PD⊥BC，垂足為點D，連結(jié)ED.當(dāng)m為何值時，△PED的面積最大?并求出最大值.類型二線動問題4.(2023吉林長春綠園新解放學(xué)校模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(2，4)和(6，0)，點P在拋物線上，且點P的橫坐標(biāo)為m.(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)-1≤x≤n時，-72≤y≤92，則n的取值范圍是(3)點M的橫坐標(biāo)為-3m，且PM∥x軸，將線段PM繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，以PM、PQ為鄰邊作正方形PMNQ.①當(dāng)拋物線的對稱軸平分正方形PMNQ的面積時，求m的值；②設(shè)正方形PMNQ的對稱中心為點R，當(dāng)點R位于拋物線對稱軸的左側(cè)，且點R到拋物線對稱軸的距離與點R到x軸的距離相等時，直接寫出m的值.5.(2023湖南衡陽中考)如圖，已知拋物線y=ax2-2ax+3與x軸交于點A(-1，0)和點B，與y軸交于點C，連結(jié)AC，過B、C兩點作直線.(1)求a的值；(2)將直線BC向下平移m(m>0)個單位長度，交拋物線于B'、C'兩點，在直線B'C'上方的拋物線上是否存在定點D，使無論m取何值，都是點D到直線B'C'的距離最大?若存在，請求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)拋物線上是否存在點P，使∠PBC+∠ACO=45°?若存在，請求出直線BP的解析式，若不存在，請說明理由. 類型三形動問題6.(2023吉林松原前郭南部學(xué)區(qū)模擬)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-6ax+c與x軸交于點A和點B(5，0)(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C0,?5(1)求拋物線的解析式；(2)D為拋物線的頂點，點P在拋物線的對稱軸上(不與點D重合)，將線段PD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點D恰好落在拋物線上的點Q處，求點Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線在x軸下方部分的圖象沿x軸翻折到x軸上方，與原拋物線在x軸上方的部分圖象組成新圖象，再將新圖象向左平移m個單位長度，若平移后的圖象在-1≤x<0范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，直接寫出m的取值范圍.7.(2023山東東營中考)如圖，拋物線過點O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的邊AB在線段OE上(點B在點A的左側(cè))，點C，D在拋物線上.設(shè)B(t，0)，當(dāng)t=2時，BC=4.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當(dāng)t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形ABCD的面積時，求拋物線平移的距離.

專項03二次函數(shù)中的運動問題答案全解全析1.解析(1)∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=2，∴-b2=2∴b=-4，∴y=x2-4x+c，∵拋物線y=x2-4x+c經(jīng)過點A(-1，0)，∴0=1+4+c，∴c=-5，∴拋物線的解析式為y=x2-4x-5，∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9，∴拋物線的頂點D的坐標(biāo)為(2，-9).(2)如圖，作點C關(guān)于x軸的對稱點C'，連結(jié)C'D交x軸于點M，連結(jié)CM，此時CM+DM的值最小，令x=0，則y=-5，∴點C的坐標(biāo)為(0，-5)，∴點C'的坐標(biāo)為(0，5)，設(shè)直線C'D的解析式為y=mx+n(m≠0)，∴n=5,2m+n=?9,解得m=?7,n=5,∴直線C'D的解析式為y=-7x+5，令y=0，則-7x+5=0，解得x=57，即直線C'D與x軸的交點M的坐標(biāo)為572.解析(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(3，0)，B(-1，0)，C(0，3)，∴9a+3b+c=0,a?b+c=0,c=3,解得-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴頂點D的坐標(biāo)為(1，4).(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)，把A(3，0)，C(0，3)代入得3k+b=0,b=3,∴k=?1,b=3,∴直線AC的解析式為y=-x+3，如圖，過點F作FG⊥DE于點G，∵以A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形是平行四邊形，∴AC=EF，AC∥EF，∵OA∥FG，∴∠OAC=∠GFE，∴△OAC≌△GFE，∴FG=OA=3，設(shè)F(m，-m2+2m+3)，則G(1，-m2+2m+3)，∴FG=|m-1|=3，∴m=-2或m=4，當(dāng)m=-2時，-m2+2m+3=-5，∴F1(-2，-5)，當(dāng)m=4時，-m-5，∴F2(4，-5).綜上所述，滿足條件的點F的坐標(biāo)為(-2，-5)或(4，-5).3.解析(1)結(jié)合題意設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+3)(x-6)，∴-9=a·3×(-6)，∴a=12，∴y=12(x+3)(x-6)=12x2(2)如圖，拋物線的對稱軸為直線x=-3+62=32，由對稱性可得點C(0，-9)關(guān)于對稱軸對稱的點Q1的坐標(biāo)為(3，-9)，當(dāng)y=9時，即12x2-32x-9=9，解得x=3±3172，∴Q23?3172,9，Q33+3172,9，綜上所述(3)設(shè)△PED的面積為S，由題意得AP=m+3，BP=6-m，OB=6，OC=9，AB=9，∴BC=62+92=313，∵sin∠PBD=PDBP=OCBC，∴PD6?m=9313，∴PD=3(6?m)13，∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD=∠PDB=90°，∴PEBC=APAB，∴PE313=m+39，∴PE=13(m+3)3，∴S△PED=12PE·PD=12(m+3)(6-m)=-4.解析(1)將點(2，4)和(6，0)代入y=ax2+bx得4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=?12,b=3,(2)y=-12x2+3x=-12(x-3)2+92，對稱軸為直線x=3，頂點為3,92，令y=-72，解得x1=-1，∵當(dāng)-1≤x≤n時，-72≤y≤92(3)①如圖，∵拋物線的對稱軸平分正方形PMNQ的面積，平分正方形的面積的直線要過它的對稱中心，且PM∥x軸，∴對稱軸即直線x=3是線段PM的垂直平分線，∵點P的橫坐標(biāo)為m，點M的橫坐標(biāo)為-3m，∴m?3m2=3，解得m=-3，②如圖，∵點P的橫坐標(biāo)為m，點M的橫坐標(biāo)為-3m，∴R的橫坐標(biāo)是m?3m2=-m，∵點R位于拋物線對稱軸的左側(cè)，對稱軸為直線x=3，∴-m<3，即m>-3，∵點P在拋物線上，∴設(shè)Pm,?12m2+3m，∴M-3m，-12m2+3m，∵線段PM繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ-12m2+3m+(-3m-m)，即Qm，-12m2-m，易知R是MQ的中點，∴R-m，-12m2+m，∴點R到拋物線對稱軸的距離為3-(-m)=3+m，點R到x軸的距離為-12m2+m，∵點R到拋物線對稱軸的距離與點R到x軸的距離相等，∴3+m=-12m2+m，解得m1=2+10，5.解析(1)∵拋物線y=ax2-2ax+3與x軸交于點A(-1，0)，∴a+2a+3=0，∴a=-1.(2)存在定點D，使無論m取何值，都是點D到直線B'C'的距離最大.理由如下：∵y=-x2+2x+3，當(dāng)x=0時，y=3，∴C(0，3)，當(dāng)y=0時，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，∴B(3，0)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，則3k+b=0,b=3,解得k=?1,b=3,∴直線BC的解析式為y=-x+3，∵將直線BC向下平移m(m>0)個單位長度，交拋物線于B'、C'兩點，∴直線B'C'的解析式為y=-x+3-m，設(shè)D(t，-t2+2t+3)，過點D作DE∥y軸，交B'C'于點E，作DF⊥B'C'于點F，設(shè)直線B'C'交y軸于點G，∴E(t，-t+3-m)，∴DE=-t2+2t+3-(-t+3-m)=-t2+3t+m，∵OB=OC=3，∠BOC=90°，∴∠BCO=∠CBO=45°，∵B'C'∥BC，∴∠B'GO=∠BCO=45°，∵DE∥y軸，∴∠DEF=∠B'GO=45°，∵∠DFE=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=22DE=22(-t2+3t+m)=-22t?322+2294+m，∵-22<0，(3)存在，直線BP的解析式為y=-13x+1或y=-3x+9.分情況求解如下①當(dāng)∠PBC在直線BC的下方時，在y軸正半軸上取點M(0，1)，連結(jié)BM并延長交拋物線于點P，如圖1，∵A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，M(0，1)，∴OB=OC=3，OM=OA=1，∠BOM=∠COA=90°，∴△BOM≌△COA，∴∠MBO=∠ACO，∵∠CBO=45°，∴∠PBC+∠MBO=45°，∴∠PBC+∠ACO=45°，設(shè)直線BM的解析式為y=k'x+b'(k'≠0)，則3k'+b'=0,b'=1,解得k'=?13,b'=1,∴直線BM的解析式為y=-13x+1，聯(lián)立y=?13②當(dāng)∠PBC在直線BC的上方時，作點M關(guān)于直線BC的對稱點M'，如圖2，連結(jié)MM'，CM'，直線BM'交拋物線于P，由對稱得∠PBC=∠MBC，MM'⊥BC，CM'=CM=2，∠BCM'=∠BCM=45°，∴∠PBC+∠ACO=∠MBC+∠OBM=45°，∠MCM'=90°，∴M'(2，3)，則直線BM'的解析式為y=-3x+9，聯(lián)立y=?3x+9,y=?x2+2x+3,解得x1=3,綜上所述，拋物線上存在點P，使∠PBC+∠ACO=45°，直線BP的解析式為y=-136.解析(1)將點B(5，0)、C0,?54分別代入拋物線y=ax2-6ax+c，得0=25a?30a+c,-54=c,解得a=?14,(2)∵y=-14x2+32x-54=-14(x-3)2+1，∴D(3，1).設(shè)點P(3，m)，∵PQ=PD=1-m，∴Q(3+1-m，m)，即Q(4-m，m)，將其代入拋物線解析式，得m=-14(4-m)2+32(4-m)-54，整理得m2+2m-3=0，∴(m-1)(m+3)=0，∴m=1或-3，∴P(3，1)或P(3，(3)2≤m≤3或m≥6.詳解：∵當(dāng)y=0時，x=1或5，∴A(1，0).根據(jù)題圖2的圖象可知，在AD段和點B的右側(cè)，y隨x的增大而增大.新圖象向左平移m個單位后，A(1-m，0)，B(5-m，0)，D(3-m，1).平移后的圖象在-1≤x<0范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，當(dāng)AD段平移到1≤x<0范圍內(nèi)時，1-m≤-1，3-m≥0，∴2≤m≤3.當(dāng)B點右側(cè)平移到-1≤x<0范圍內(nèi)時，5-m≤-1，即m≥6，∴2≤m≤3或m≥6.7.解析(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax(x-10)，∵當(dāng)t=2時，BC=4，∴點C的坐標(biāo)為(2，-4)，∴將點C坐標(biāo)代入解析式得2a(2-10)=-4，解得a=1