寒假作業(yè)13 圓中重要模型之輔助圓模型（17道經(jīng)典題型+3道中考真題）

完成時(shí)間：________月________日天氣：寒假作業(yè)13圓中重要模型之輔助圓模型積累運(yùn)用輔助圓（隱圓）是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中的?？碱}，題目常以動(dòng)態(tài)問題出現(xiàn)，有點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)，或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等．輔助圓（隱圓）常見的有以下四種形式，動(dòng)點(diǎn)定長、定邊對(duì)直角、定邊對(duì)定角、四點(diǎn)共圓，上述四種動(dòng)態(tài)問題的軌跡是圓．題目具體表現(xiàn)為折疊問題、旋轉(zhuǎn)問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強(qiáng)，隱蔽性強(qiáng),很容易造成同學(xué)們的丟分．本課時(shí)就輔助圓模型進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，幫助同學(xué)們熟練掌握．1、動(dòng)點(diǎn)定長模型（圓的定義）如圖1，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B，C，P三點(diǎn)共圓，A為圓心，AB長為半徑．圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定值的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合．尋找隱圓技巧：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓?。畧D1圖22、定邊對(duì)直角模型（直角對(duì)直徑）如圖2，固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90°，則A，B，C三點(diǎn)共圓，AB為直徑．尋找隱圓技巧：一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。?、定邊對(duì)定角模型（定弦定角模型）如圖3，固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C，則A，B，C，P四點(diǎn)共圓．圖3圖4根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等．尋找隱圓技巧：AB為定值，∠P為定角，則P點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓．4、四點(diǎn)共圓模型（對(duì)角互補(bǔ)模型與等弦對(duì)等角）如圖4，若平面上A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)滿足，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓．尋找隱圓技巧：（1）四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角．基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD，則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°2．如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．68° B．88° C．90° D．112°3．如圖，在四邊形中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知在中，，，，，過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．5．在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（

）A． B．6 C． D．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．7．如圖，在中，，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，取的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為____________．8．如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點(diǎn)，連接DE，CE，CD，那么______________．9．如圖，在中，，，若D是與點(diǎn)C在直線異側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為__________________．能力提升練10．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．如圖，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過C作交PB的延長線于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．12．如圖，在邊長為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為13．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為____________；若，則的值為____________．14．如圖，是的直徑，，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)D，則線段的最大值為__________．15．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為_________．拓展培優(yōu)練16．定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，∠E的度數(shù)是____________；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連接CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．17．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓，則點(diǎn)C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到__________．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形中，，求的數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就是以的中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓；的外接圓也是以的中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓．這樣A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問題．（3）【問題拓展】如圖3，在中，，是邊上的高，且，求的長．中考真題練18．（2023·淮安·中考真題）如圖，在四邊形中，為內(nèi)部的任一條射線（不等于），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，連接，則面積的最大值是__________________．19．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，在矩形中，，M是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線對(duì)折，得到．當(dāng)射線交線段于點(diǎn)P時(shí)，連接，則的面積為______________________，的最大值為______________________．20．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，E是上的一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F．當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)到的距離是________________．

寒假作業(yè)13圓中重要模型之輔助圓模型參考答案基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)B，C，D到點(diǎn)O的距離相等，連接AC，BD，則下面結(jié)論不一定成立的是（

）A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°【答案】C【解析】如圖，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓．由題意可知：OA=OB=OC=OD，即點(diǎn)A，B，C，D都在圓O上．A．由圖可知AB為經(jīng)過圓心O的直徑，根據(jù)圓周角定理推論可知，故A不符合題意．B．因?yàn)?，所以根?jù)圓周角定理可知，故B不符合題意．C．當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)AC不平分，故C符合題意．D．根據(jù)圓周角定理推論可知，．故D不符合題意．故選C．2．如圖，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．68° B．88° C．90° D．112°【答案】B【解析】如圖，∵AB=AC=AD，∴點(diǎn)B，C，D在以點(diǎn)A為圓心，以AB的長為半徑的圓上；∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，

∴∠CAD=88°，故選B.3．如圖，在四邊形中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，∵，∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴．故選D．4．如圖，已知在中，，，，，過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【解析】如圖，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)有最大值時(shí)，有最大值，∵，∴點(diǎn)A，C，B，P四點(diǎn)共圓．若有最大值，則應(yīng)為直徑，∵，∴是圓的直徑，∴，∴的最大值為，故選C．5．在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)，BM＝4，BN＝2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【解析】過線段MN的中點(diǎn)Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=MN，以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓，如圖，因?yàn)镺Q為MN的垂直平分線且OQ=MN，所以O(shè)Q=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所對(duì)的圓O的圓周角為45°，所以點(diǎn)P在圓O上，PM為圓O的弦，通過圖像可知，當(dāng)點(diǎn)P在位置時(shí)，恰好過格點(diǎn)且經(jīng)過圓心O，所以此時(shí)最大，等于圓O的直徑．∵BM＝4，BN＝2，∴，∴MQ=OQ=，∴OM=，∴，故選C．6．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．【答案】【解析】由折疊知，F(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD的長為半徑的圓，如圖所示，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)B，D，F(xiàn)共線，且F在B，D之間時(shí)，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為．7．如圖，在中，，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，取的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為____________．【答案】【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)O，∵，∴，∵E是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，也即點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)在線段上時(shí)，有最大值．連接交于D，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)有最大值．由勾股定理得，∴，∴的最大值為，故答案為：．8．如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點(diǎn)，連接DE，CE，CD，那么___________________．【答案】13【解析】∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊，E是AB的中點(diǎn)，∴AE=EB=EC=ED，∴A，C，B，D在以E為圓心的圓上，∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中點(diǎn)，∴∠ECB=45°，∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案為13．9．如圖，在中，，，若D是與點(diǎn)C在直線異側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為__________________．【答案】【解析】如圖所示，以為底邊，在的下方作等腰三角形，則，∵，∴點(diǎn)D在以O(shè)為圓心，6為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)過圓心時(shí)，最大．∵，，∴，∴的最大值為：，故答案為．能力提升練10．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓（如圖）.∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)M在以O(shè)點(diǎn)為圓心，以AO長為半徑的圓上，連接OB交圓O于點(diǎn)N，∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)，∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短，∵，，∴，∴，∴，故選D．11．如圖，在中，，，，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過C作交PB的延長線于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵在中，，，，，∴A，B，C，P四點(diǎn)共圓，AB為圓的直徑，AB=，∵，∴∴△ABC∽△PQC，∴，，即，∴當(dāng)PC取得最大值時(shí)，CQ即為最大值，∴當(dāng)PC=AB=5時(shí)，CQ取得最大值為，故選B．12．如圖，在邊長為1的菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E在邊上（與點(diǎn)A、B均不重合），點(diǎn)F在對(duì)角線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．的最小值為【答案】D【解析】∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AD=BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BAD==，∴△BAF≌△DAF≌△CBE，△ABC是等邊三角形，∴DF=CE，∠ABF=∠BCE，故A項(xiàng)答案正確．∵∠ABC=∠ABF+∠CBF=60゜，∴∠GCB+∠GBC=60゜，∴∠BGC=180゜-（∠GCB+∠GBC）=180゜-60゜=120゜，故B項(xiàng)答案正確．∵∠ABF=∠BCE，∠BEG=∠CEB，∴△BEG∽△CEB，∴，∴，∵，∴，故C項(xiàng)答案正確．∵，BC=1，點(diǎn)G在以線段BC為弦的弧BC上，∴當(dāng)點(diǎn)G在等邊△ABC的內(nèi)心處時(shí)，AG取最小值，如圖，∵△ABC是等邊三角形，BC=1，∴，AF=AC=，∠GAF=30゜，∴AG=2GF，AG2=GF2+AF2，∴解得AG=，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D.13．如圖，在中，，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，，分別與，交于點(diǎn)，，連接，，則的值為____________；若，則的值為____________．【答案】；【解析】∵，為的中點(diǎn)，∴，又∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在與中，,，∴，∴.∵，∴四點(diǎn)共圓，如圖：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴.故答案為；.14．如圖，是的直徑，，C為的三等分點(diǎn)（更靠近A點(diǎn)），點(diǎn)P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，取弦的中點(diǎn)D，則線段的最大值為__________．【答案】+1【解析】如圖，連接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AO中點(diǎn)K為圓心，以AD長為直徑的⊙K，連接CK，AC，當(dāng)點(diǎn)D在CK的延長線上時(shí)，CD的值最大，∵C為的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴CK⊥OA．在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK=，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值為+1，故答案為+1．15．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為_________．【答案】【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，如圖所示：連接OA，OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CDAC＝1，∵所對(duì)的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對(duì)的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的長為.故答案為π．拓展培優(yōu)練16．定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角．①若∠A＝40°，∠E的度數(shù)是____________；②求∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E在BD的延長線上，連接CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，求證：DA＝DE．【解析】（1）①∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠E＝20°．故答案為：20°；②，理由如下：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；（2）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，如圖，作四邊形ABCD的外接圓交CE于點(diǎn)F，連接AF，DF，∵四邊形FDBC內(nèi)接于⊙O，∴∠DFC+∠DBC＝180°，∵∠DFC+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DFE，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角，由（1）得∠E＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠E+∠DCE＝∠BDC，∴∠E＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DAF，∴∠E＝∠DAF，∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，∴△DAF≌△DEF（AAS），∴DA＝DE．17．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓，則點(diǎn)C、D必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到__________．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形中，，求的數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就是以的中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓；的外接圓也是以的中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓．這樣A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出的度數(shù)，請(qǐng)運(yùn)用小剛的思路解決這個(gè)問題．（3）【問題拓展】如圖3，在中，，是邊上的高，且，求的長．【解析】（1）如圖1，∵，∴以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)B，C，D必在上，∵是的圓心角，而是圓周角，∴，