2024-2025學年高中數學第三章不等式3.1不等關系學案含解析北師大版必修5

PAGE§1不等關系內容標準學科素養(yǎng)1.會用不等式(組)正確表示出不等關系.2.理解并駕馭不等式的常用基本性質.3.會用作差法比較兩個實數大小.嚴密邏輯推理提升數學運算規(guī)范性質應用授課提示：對應學生用書第51頁[基礎相識]學問點一不等式與不等關系預習教材P69－74，思索并完成以下問題某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不小于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.(1)問題中表示不等關系的詞是什么？用符號怎樣表示？提示：不少于，用符號表示為≥.(2)你能用不等式表示對脂肪和蛋白質含量的規(guī)定嗎？提示：f≥2.5%，p≥2.3%.學問梳理1.不等式的定義所含的兩個要點．(1)不等符號＞、＜、≥、≤或≠．(2)所表示的關系是不等關系．2．不等式中的文字語言與符號語言之間的轉換.文字語言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號語言＞≥＜≤≤≥≥≤學問點二實數的大小比較思索并完成以下問題1．在指數、冪、對數比較大小時，常用什么方法？提示：單調性比較．2．假如給定實數a與b，那么如何比較它們的大小呢？提示：通常是通過推斷它們的差(a－b)的符號來比較它們的大小．當a與b都不為0時，也可通過它們的商與1的大小關系來比較它們的大?。畬W問梳理比較實數a，b的大小的依據學問點三不等式的性質思索并完成以下問題我們知道等式有一些基本性質，例如：(1)a＝bb＝a；(2)a＝b，b＝ca＝c；(3)a＝ba＋c＝b＋c；(4)a＝b，c≠0ac＝bc.那么不等式是否也具有類似的性質呢？提示：不等式也具有類似的性質．學問梳理不等式的幾個重要性質名稱式子表達性質1(對稱性)a＞bb＜a性質2(傳遞性)a＞b，b＞ca＞c性質3(可加性)a＞ba＋c＞b＋c性質4(可乘性)a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac性質5(同向可加性)a＞b，c＞da＋c＞b＋d性質6(同向同正可乘性)a＞b＞0，c＞d＞0ac＞性質7(可乘方性)a＞b＞0an＞bn(n∈N，n≥1)性質8(可開方性)a＞b＞0eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)[自我檢測]1．完成一項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現有工人工資預算20000元，設木工x(x≥0)人，瓦工y(y≥0)人，則關于工資x，y滿意的不等關系是()A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200解析：依據題，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200，故選D.答案：D2．若A＝eq\f(1,x2)＋3與B＝eq\f(1,x)＋2，則A與B的大小關系是()A．A＞B B．A＜BC．A≥B D．不確定解析：由于A－B＝eq\f(1,x2)＋3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，所以A＞B，故選A.答案：A3．已知－1＜2x－1＜1，則eq\f(2,x)－1的取值范圍是________．解析：由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1，所以eq\f(1,x)＞1.于是eq\f(2,x)＞2，eq\f(2,x)－1＞1，故eq\f(2,x)－1的取值范圍是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)授課提示：對應學生用書第52頁探究一用不等式(組)表示不等關系[閱讀教材P70例4例5及解答]題型：用不等式(組)表示不等關系方法步驟：①找到表示不等關系的詞語；②用不等式將不等關系表示出來．[例1](1)如圖所示的兩種廣告牌，其中圖1是由兩個等腰直角三角形構成的，圖2是一個矩形，則這兩個廣告牌面積的大小關系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示為________．(2)商人假如將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現在他采納提高售價，削減進貨量的方法增加利潤．已知這種商品的售價每提高1元，銷售量就可能相應削減10件，若把提價后的商品的售價設為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？[解題指南](1)借助兩圖形面積的大小關系建立a，b的不等式．(2)利用利潤＝(售價－進價)×銷售量及利潤不低于300元建立不等式．[解析](1)題圖1所示的廣告牌的面積為eq\f(1,2)(a2＋b2)，題圖2所示的廣告牌的面積為ab，明顯不等式表示為eq\f(1,2)(a2＋b2)＞ab.(2)若提價后商品的售價為x元，則銷售量削減eq\f(x－10,1)×10件，因此，每天的利潤為(x－8)[100－10(x－10)]元，則“每天的利潤不低于300元”可以表示為不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.[答案](1)eq\f(1,2)(a2＋b2)＞ab(2)見解析方法技巧1.用不等式(組)表示不等關系的方法(1)仔細審題，設出所求量，并確認所求量滿意的不等關系．(2)找出體現不等關系的關鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過”“不超過”等．用代數式表示相應各量，并用關鍵詞連接．特殊須要考慮的是“＜”“＞”中的“＝”能否取到．(3)多個不等關系用不等式組來表示．留意：對于實際問題中不要漏掉隱含條件．2．文字語言與數學符號語言之間的轉換．將實際問題中的不等關系寫成對應的不等式時，問題中關鍵性的文字語言與對應的數學符號語言之間的正確轉換，關系到是否能正確地用不等式表示出不等關系．跟蹤探究1.已知甲、乙兩種食物的維生素A，B含量如下表：食物甲乙維生素A/(單位/kg)600700維生素B/(單位/kg)800400設用xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成混合食物，并使混合食物內至少含有56000單位的維生素A和63000單位的維生素B，試用不等式組表示x，y所滿意的不等關系．解析：由題意知xkg的甲種食物中含有維生素A600x單位，含有維生素B800x單位，ykg的乙種食物中含有維生素A700y單位，含有維生素B400y單位，則xkg的甲種食物與ykg的乙種食物配成的混合食物總共含有維生素A(600x＋700y)單位，含有維生素B(800x＋400y)單位，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(600x＋700y≥56000，,800x＋400y≥63000，,x≥0，,y≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6x＋7y≥560，,4x＋2y≥315，,x≥0，,y≥0.))探究二比較數(式)的大小[閱讀教材P72例6及解答]試比較(x＋1)(x＋5)與(x＋3)2的大?。}型：比較兩代數式的大小．方法步驟：①作差．②化簡．③推斷符號下結論．[例2](1)設a＞0，b＞0，且a≠b，則abba和aabb的大小關系是________；(2)已知x＞1，比較x3－1與2x2－2x的大小．[解題指南](1)由a＞b＞0可知aabb＞0，abba＞0，故可考慮用作商法比較大??；(2)由于是整式比較大小，可以考慮用作差法比較大?。甗解析](1)∵a＞0，b＞0，且a≠b，可知aabb＞0，abba＞0，由eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)，當a＞b＞0時，由eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)＞1，∴aabb＞abba.當b＞a＞0時，由0＜eq\f(a,b)＜1，a－b＜0，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(a－b)＞1，∴aabb＞abba.綜上可得，aabb＞abba.(2)(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．因為x＞1，所以x－1＞0，又x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0.所以(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x.[答案](1)aabb＞abba(2)見解析延長探究1.若題(2)中條件不變，問法改為“比較x3＋6x與x2＋6的大小”結果如何？解析：因為(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，又因為x＞1，所以(x－1)(x2＋6)＞0，所以x3＋6x＞x2＋6.2．題(2)中，若把條件“x＞1”改為“x∈R”解析：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．因為x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，所以當x＞1時，(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x；當x＝1時，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；當x＜1時，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.方法技巧比較大小的方法(1)作差法：比較兩個代數式的大小，可以依據它們的差的符號進行推斷，一方面留意題目本身供應的字母的取值范圍，另一方面通常將兩代數式的差進行因式分解轉化為多個因式相乘，或通過配方轉化為幾個非負實數之和，然后推斷正負．作差法的一般步驟：作差——變形——判號——定論(2)作商法：作商比較通常適用于兩代數式同號的情形，然后比較它們的商與1的大?。魃谭ǖ囊话悴襟E：作商——變形——與1比較大小——定論(3)單調性法：利用函數單調性比較大小，通常先構造一個函數，再利用單調性．跟蹤探究2.設0＜x＜1，a＞0且a≠1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大?。馕觯骸?＜x＜1，∴0＜1－x＜1，1＜1＋x＜2，當a＞1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)．∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1.∴l(xiāng)oga(1－x2)＜0，－loga(1－x2)＞0，∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.當0＜a＜1時，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，∴l(xiāng)oga(1－x2)＞0.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.綜上所述：當0＜x＜1，a＞0且a≠1時，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.探究三不等式性質的應用[閱讀教材P73例8及解答]題型：不等式性質的應用方法步驟：①分別表示出增加面積前后的比值；②比較兩個比值的大小；③得出結論．[例3](1)已知－6＜a＜8，2＜b＜3，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．(2)已知a＞b＞0，c＞0，求證eq\f(c,a)＜eq\f(c,b).[解題指南](1)留意對a分0≤a＜8和－6＜a＜0探討．(2)依據不等式的可乘性證明．[解析](1)當0≤a＜8時，由2＜b＜3，所以eq\f(1,3)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以0≤eq\f(a,b)＜4；當－6＜a＜0時，0＜－a＜6，又eq\f(1,3)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2).所以0＜－eq\f(a,b)＜3，－3＜eq\f(a,b)＜0.綜上，得－3＜eq\f(a,b)＜4.(2)證明：因為a＞b＞0，所以ab＞0，eq\f(1,ab)＞0，于是a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，又c＞0，得eq\f(c,b)＞eq\f(c,a)，即eq\f(c,a)＜eq\f(c,b).[答案](1)(－3，4)(2)見解析延長探究3.題(2)中條件“c＞0”改為“c＞d＞0”，證明：eq\r(\f(c,b))＞eq\r(\f(d,a)).證明：因為a＞b＞0，所以ab＞0，eq\f(1,ab)＞0，于是a×eq\f(1,ab)＞b×eq\f(1,ab)，即eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)＞0，又c＞d＞0.所以eq\f(c,b)＞eq\f(d,a)＞0，所以eq\r(\f(c,b))＞eq\r(\f(d,a)).4．題(2)中條件“c＞0”改為“c＜d＜0，e＞0”，證明：eq\f(e,a－c)＜eq\f(e,b－d).證明：因為c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，又因為a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.所以0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又e＞0，所以eq\f(e,a－c)＜eq\f(e,b－d).方法技巧1.利用不等式的性質證明不等式留意事項(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題肯定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并留意在解題中敏捷精確地加以應用．(2)應用不等式的性質進行推導時，應留意緊扣不等式的性質成立的條件，且不行省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則．2．求含有字母的數(或式)的取值范圍時的留意點(1)要留意題設中的條件；(2)要正確運用不等式的性質，尤其是兩個同向不等式可加不行減，可乘不行除．跟蹤探究3.假如3＜a＜7，1＜b＜10，試求a＋b，3a－2b，eq\f(b,a2)的取值范圍．解析：因為3＜a＜7，1＜b＜10，所以3＋1＜a＋b＜7＋10，即4＜a＋b＜17.又因為9＜3a＜21，－20＜－2b＜－2，所以－11＜3a－2b＜19.因為9＜a2＜49，所以eq\f(1,49)＜eq\f(1,a2)＜eq\f(1,9)，于是eq\f(1,49)＜eq\f(b,a2)＜eq\f(10,9).授課提示：對應學生用書第54頁[課后小結](1)運用不等式的性質時，肯定要