【高中數(shù)學(xué)課件】極值

高中數(shù)學(xué)：極值函數(shù)極值是高中數(shù)學(xué)的重要概念，也是后續(xù)學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)。本課件將帶領(lǐng)大家深入學(xué)習(xí)極值的定義、性質(zhì)以及求解方法，并結(jié)合具體例題進(jìn)行講解。導(dǎo)言11.引入學(xué)習(xí)極值是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是后續(xù)學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)。從實(shí)際問題切入，讓學(xué)生體會(huì)極值的意義。22.意義極值問題廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中，例如求最優(yōu)解、最值等，學(xué)習(xí)極值有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。33.目標(biāo)通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握極值的定義、性質(zhì)和解決方法，并能運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。初次接觸極值在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些與極值相關(guān)的問題。例如，我們要找到一條最短的路徑，或者要找到一個(gè)最大的面積。在數(shù)學(xué)中，極值的概念也十分重要，它幫助我們解決許多優(yōu)化問題，找到函數(shù)的最大值或最小值。極值的定義最大值函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值，稱為函數(shù)的最大值，即最大值是函數(shù)在定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值。最小值函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最小值，稱為函數(shù)的最小值，即最小值是函數(shù)在定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值。極大值函數(shù)在某點(diǎn)附近的局部最大值，稱為函數(shù)的極大值，即極大值是函數(shù)在該點(diǎn)附近所有函數(shù)值中的最大值。極小值函數(shù)在某點(diǎn)附近的局部最小值，稱為函數(shù)的極小值，即極小值是函數(shù)在該點(diǎn)附近所有函數(shù)值中的最小值。極值的特點(diǎn)極值點(diǎn)函數(shù)在極值點(diǎn)處取得最大值或最小值。極值點(diǎn)通常對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的峰值或谷值。臨界點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)稱為臨界點(diǎn)。極值點(diǎn)通常是臨界點(diǎn)，但臨界點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。極值的基本性質(zhì)單調(diào)性函數(shù)在極值點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)，由導(dǎo)數(shù)符號(hào)決定導(dǎo)數(shù)為零一階導(dǎo)數(shù)為零，函數(shù)可能在該點(diǎn)取得極值二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)可以判斷極值點(diǎn)是極大值還是極小值函數(shù)圖像通過(guò)觀察函數(shù)圖像，可以直觀地判斷極值點(diǎn)極值問題的解決步驟確定函數(shù)首先要確定函數(shù)表達(dá)式，并明確定義域，為后續(xù)步驟提供基礎(chǔ)。尋找臨界點(diǎn)求解導(dǎo)數(shù)并找出導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)可能對(duì)應(yīng)函數(shù)的極值點(diǎn)。判斷臨界點(diǎn)類型利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況或二階導(dǎo)數(shù)判定臨界點(diǎn)是極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)還是拐點(diǎn)。比較大小將所有可能的極值點(diǎn)和端點(diǎn)代入原函數(shù)，比較大小，確定最大值或最小值。尋找臨界點(diǎn)尋找臨界點(diǎn)是求函數(shù)極值的關(guān)鍵步驟，它標(biāo)志著函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變化點(diǎn)。在臨界點(diǎn)處，導(dǎo)數(shù)可能為零，也可能不存在。1導(dǎo)數(shù)為零函數(shù)在該點(diǎn)處的切線平行于x軸。2導(dǎo)數(shù)不存在函數(shù)在該點(diǎn)處可能存在尖點(diǎn)或拐點(diǎn)。3定義域邊界函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)也可能是臨界點(diǎn)。臨界點(diǎn)分類極大值點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，對(duì)應(yīng)圖形為函數(shù)圖像的“山峰”。極小值點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)左側(cè)遞減，右側(cè)遞增，對(duì)應(yīng)圖形為函數(shù)圖像的“山谷”。拐點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相同，圖形形狀發(fā)生變化，如從凹形變?yōu)橥剐位蚍粗?。判斷臨界點(diǎn)類型確定一個(gè)臨界點(diǎn)是最大值、最小值還是鞍點(diǎn)，需要根據(jù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷。1一階導(dǎo)數(shù)如果一階導(dǎo)數(shù)在臨界點(diǎn)處為零，則該臨界點(diǎn)可能為極值點(diǎn)或鞍點(diǎn)。2二階導(dǎo)數(shù)如果二階導(dǎo)數(shù)在臨界點(diǎn)處為正，則該臨界點(diǎn)為局部最小值點(diǎn)。3二階導(dǎo)數(shù)如果二階導(dǎo)數(shù)在臨界點(diǎn)處為負(fù)，則該臨界點(diǎn)為局部最大值點(diǎn)。4二階導(dǎo)數(shù)如果二階導(dǎo)數(shù)在臨界點(diǎn)處為零，則無(wú)法確定臨界點(diǎn)的類型，需要進(jìn)一步分析。通過(guò)分析函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，我們可以準(zhǔn)確地判斷臨界點(diǎn)的類型，從而找到函數(shù)的極值點(diǎn)。如何判斷臨界點(diǎn)類型1一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化臨界點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化可以判斷極值類型。導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)，則為極大值點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)從負(fù)變正，則為極小值點(diǎn)。2二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)在臨界點(diǎn)處，如果二階導(dǎo)數(shù)小于零，則為極大值點(diǎn)；如果二階導(dǎo)數(shù)大于零，則為極小值點(diǎn)。如果二階導(dǎo)數(shù)等于零，則無(wú)法判斷極值類型，需要進(jìn)一步分析。3函數(shù)圖像變化通過(guò)觀察函數(shù)圖像在臨界點(diǎn)附近的變化趨勢(shì)，也可以判斷極值類型。如果函數(shù)圖像在臨界點(diǎn)附近先上升后下降，則為極大值點(diǎn)；如果函數(shù)圖像在臨界點(diǎn)附近先下降后上升，則為極小值點(diǎn)。案例分析1求函數(shù)y=x3-3x+2在區(qū)間[-2,2]上的極值求導(dǎo)數(shù)：y'=3x2-3令導(dǎo)數(shù)為零，求得駐點(diǎn)：x=1或x=-1判斷駐點(diǎn)類型：x=1為極小值點(diǎn)，x=-1為極大值點(diǎn)計(jì)算極值：y(1)=0，y(-1)=4比較端點(diǎn)函數(shù)值：y(-2)=0，y(2)=6結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為0，最大值為6案例分析2函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。求解：首先，我們需要找到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：f'(x)=3x^2-6x+3。令f'(x)=0，求得x=1。然后，我們比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和臨界點(diǎn)處的函數(shù)值：f(0)=0，f(1)=1，f(2)=2。因此，函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值為2，最小值為0。案例分析3函數(shù)圖像找到函數(shù)極值點(diǎn)，并分析其類型。微積分利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的極值點(diǎn)類型，并求出極值。分析通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)和圖像來(lái)解釋極值點(diǎn)和極值的意義。最大值問題最大值在給定范圍內(nèi)，函數(shù)取得的最大值，稱為函數(shù)的最大值。最大值可能是唯一一個(gè)值，也可能是多個(gè)值。求函數(shù)的最大值問題，通常需要先求出函數(shù)的臨界點(diǎn)，然后判斷臨界點(diǎn)是最大值點(diǎn)，還是最小值點(diǎn)，或者都不是。最小值問題11.尋找臨界點(diǎn)首先要找到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)，即函數(shù)的臨界點(diǎn)。22.判斷臨界點(diǎn)類型通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)或其他方法，判斷每個(gè)臨界點(diǎn)是極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)還是鞍點(diǎn)。33.比較函數(shù)值將函數(shù)在所有臨界點(diǎn)和定義域邊界上的函數(shù)值進(jìn)行比較，找到最小值。應(yīng)用案例1在現(xiàn)實(shí)生活中，極值問題有很多應(yīng)用，比如：尋找最佳路徑，最大化利潤(rùn)，最小化成本等。在這些問題中，我們需要利用數(shù)學(xué)知識(shí)找到函數(shù)的極值點(diǎn)，從而得出最佳方案。例如，一個(gè)企業(yè)想要在一段時(shí)間內(nèi)最大化利潤(rùn)，可以建立一個(gè)函數(shù)模型，用極值點(diǎn)來(lái)表示利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)量或銷售價(jià)格。應(yīng)用案例2最大值問題在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛。例如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容積最大的長(zhǎng)方體盒子，需要找到其長(zhǎng)、寬、高的最優(yōu)組合，從而最大化其體積。這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題。應(yīng)用案例3在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，邊際成本和邊際收益分析是企業(yè)決策的重要工具。通過(guò)找到成本和收益曲線交點(diǎn)，企業(yè)可以確定最佳生產(chǎn)量，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。這體現(xiàn)了極值在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。應(yīng)用案例4運(yùn)動(dòng)中的極值問題運(yùn)動(dòng)員在跑步比賽中，如何才能達(dá)到最佳速度？這涉及到速度函數(shù)的極值問題。橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)橋梁設(shè)計(jì)需要考慮承重和穩(wěn)定性，這可以通過(guò)優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而優(yōu)化過(guò)程也涉及到極值問題。火箭發(fā)射軌跡火箭發(fā)射時(shí)需要選擇最佳發(fā)射角度和推進(jìn)力，以達(dá)到最遠(yuǎn)射程或最大高度，這同樣涉及到極值問題。注意事項(xiàng)注意時(shí)間時(shí)間管理很重要，合理分配時(shí)間可以提高學(xué)習(xí)效率。注意細(xì)節(jié)解題過(guò)程中注意每個(gè)步驟，避免因細(xì)節(jié)問題導(dǎo)致錯(cuò)誤。注意思考不要死記硬背公式，要理解背后的邏輯，才能舉一反三。常見錯(cuò)誤忽略臨界點(diǎn)在求函數(shù)極值時(shí)，要仔細(xì)檢查函數(shù)的定義域和臨界點(diǎn)，不要遺漏任何可能的極值點(diǎn)。誤判極值點(diǎn)類型使用一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)時(shí)，要準(zhǔn)確判斷臨界點(diǎn)類型，避免誤判為極值點(diǎn)。不注意極值點(diǎn)和最值點(diǎn)區(qū)別極值點(diǎn)指的是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取得的局部最大值或最小值點(diǎn)，而最值點(diǎn)指的是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)取得的最大值或最小值點(diǎn)。忽視函數(shù)圖像變化趨勢(shì)可以通過(guò)畫函數(shù)圖像來(lái)直觀地觀察函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)等，幫助理解和判斷函數(shù)的極值問題。習(xí)題演練1以下是一些關(guān)于極值的練習(xí)題，幫助你鞏固所學(xué)知識(shí)。請(qǐng)嘗試獨(dú)立解答，然后對(duì)照答案進(jìn)行分析。練習(xí)題1：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,2]上的極值。練習(xí)題2：求函數(shù)g(x)=(x^2+1)/(x-1)的極值。這些練習(xí)題涵蓋了不同的極值求解方法和技巧，例如利用導(dǎo)數(shù)求極值，利用單調(diào)性求極值等。習(xí)題演練2為了鞏固對(duì)極值概念的理解，我們準(zhǔn)備了一些練習(xí)題。這些練習(xí)題涵蓋了不同類型的函數(shù)，包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)等。通過(guò)練習(xí)，你可以更加熟練地運(yùn)用求解極值的方法，并提高對(duì)極值問題的分析能力。習(xí)題演練3本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了極值的概念、性質(zhì)和求解方法，并通過(guò)多個(gè)案例分析加深了對(duì)極值的理解。為了鞏固所學(xué)知識(shí)，接下來(lái)進(jìn)行一些習(xí)題演練。第一題，求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的極值點(diǎn)和極值。本題要求學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值。第二題，求函數(shù)f(x)=x^2/(x+1)的極值點(diǎn)和極值。本題考察學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性與極值關(guān)系的理解。第三題，已知函數(shù)f(x)=x^3+ax^2+bx+c在點(diǎn)x=1處取得極值，且f(0)=1，求a,b,c的值。本題考察學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和方程組的解題能力。通過(guò)以上習(xí)題演練，學(xué)生可以加深對(duì)極值的理解，并掌握求解極值的方法。習(xí)題演練4函數(shù)f(x)=x3+3x2+3x+1在區(qū)間(-2,1)內(nèi)的極值.首先，求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2+6x+3.令f'(x)=0,解得x=-1.所以，函數(shù)f(x)在x=-1處有一個(gè)臨界點(diǎn).然后，判斷臨界點(diǎn)的類型，可知x=-1為極小值點(diǎn).最后，計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值f(-2)=-1,f(1)=8.因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,1)內(nèi)的極小值為f(-1)=0,極大值為f(1)=8.小結(jié)關(guān)鍵概念極值是函數(shù)在特定點(diǎn)上的最大值或最小值。尋找極值通過(guò)求導(dǎo)并分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化來(lái)找到極值點(diǎn)。應(yīng)用場(chǎng)景極值概念廣泛應(yīng)用于優(yōu)化問題、物理模型和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域。課后思考函數(shù)圖像如何利用極值點(diǎn)來(lái)理解函數(shù)圖像的形狀？應(yīng)用場(chǎng)景試著尋找生活中應(yīng)用極值