【數(shù)學】指數(shù)課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)

問題1：初中我們就已經(jīng)學習過平方根，立方根。同學們是否還記得它們是怎樣定義的嗎？問題2：一個數(shù)的平方根有幾個？立方根有幾個？一個數(shù)的平方根有2個，立方根有1個復習導入

新知探究

n次方根

新知探究

先乘n次方再開n次方看奇偶，先開n次方再乘n次方取本身名師點睛1.在n次方根的概念中,關(guān)鍵是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a,因此求一個數(shù)a的n次方根,就是求一個數(shù)x使得這個數(shù)的n次方等于a.2.n次方根實際上就是平方根與立方根的推廣.3.n次方根的概念表明,乘方與開方是互逆運算.過關(guān)自診

提示不是,當n為大于1的奇數(shù)時,a∈R;當n為大于1的偶數(shù)時,a≥0.6或-2x解析原式=|x+3|-(x-3),當x≥-3時,原式=6;當x<-3時,原式=-2x.探究點一根式的概念【例1】(1)27的立方根是

;16的4次方根是

.

3±2(2)已知x6=17,則x=

.

[-3,+∞)規(guī)律方法根式概念問題應(yīng)關(guān)注的兩點(1)n的奇偶性決定了n次方根的個數(shù);(2)n為奇數(shù)時,被開方數(shù)a的正負決定著n次方根的符號.變式訓練1已知a∈R,n∈N*,給出下列4個式子:A.1個

B.2個

C.3個

D.0個

A探究點二根式的化簡(求值)【例2】求下列各式的值:解原式=a-b+b-a=0.∵-3<x<3,∴當-3<x<1時,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;當1≤x<3時,原式=(x-1)-(x+3)=-4.解由例題解析可知原式=|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,則x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.變式探究(1)該例中的,若x<-3呢?

追問1：觀察上述式子，你能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

新知探究

分數(shù)指數(shù)冪

也可稱為有理指數(shù)冪問題4：若根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式？追問2：觀察上述式子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？分子為被開方數(shù)的指數(shù)，分母為根指數(shù)新知探究

分數(shù)指數(shù)冪

也可稱為有理指數(shù)冪

對于任意正數(shù)a,b和實數(shù)r,s,指數(shù)冪均滿足下面的運算性質(zhì):(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).(4)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R);負整數(shù)指數(shù)冪a-n=.新知探究

分數(shù)指數(shù)冪

也可稱為有理指數(shù)冪1.正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義:2.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義:3.0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.（0不可作為分母）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后,冪ax中指數(shù)x的取值范圍就從整數(shù)拓展到了有理數(shù).

沒有意義

名師點睛

2.正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪總表示正數(shù),而不是負數(shù).3.我們可以類似得出:一般地,給定正數(shù)a,對任意無理數(shù)α,aα都是一個確定的實數(shù).同理規(guī)定a-α=.這樣指數(shù)冪中指數(shù)的范圍就擴展到了全體實數(shù).過關(guān)自診1.[人教B版教材例題]計算下列各式的值:過關(guān)自診

分數(shù)指數(shù)不能隨意約分，因為約分之后可能會改變根式有意義的條件3.[北師大版教材例題]把下列各式中的正數(shù)b寫成正分數(shù)指數(shù)冪的形式:(1)b5=20;(2)b4=25;(3)bn=3m(m,n∈N*);(4)b3n=π9m(m,n∈N*).探究點三分數(shù)指數(shù)冪的簡單計算【例3】計算:規(guī)律方法1.對于既含有分數(shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式.2.對于計算題的結(jié)果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既含有分母又含有負指數(shù).變式訓練2計算:

探究點四條件求值【例4】[北師大版教材習題]已知x+x-1=3(x>0),求下列各式的值:規(guī)律方法解決條件求值問題的一般方法——整體法對于條件求值問題,一般先化簡代數(shù)式,再將字母取值代入求值.當字母的取值未知或不易求出時,可將所求代數(shù)式恰當?shù)刈冃?構(gòu)造出與已知條件相同的結(jié)構(gòu),從而通過“整體法”巧妙地求出代數(shù)式的值.解∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)n次方根.(2)正分數(shù)指數(shù)冪和負分數(shù)指數(shù)冪.(3)指數(shù)冪的運算性質(zhì).2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法、整體代換.3.常見誤區(qū):(1)0的任意負實數(shù)指數(shù)冪沒有意義;(2)在運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡時,其結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)冪,也不能既含有分母又含有負指數(shù).01成果驗收·課堂達標檢測123456C123456A.5-2a

B.2a-5

C.1

D.-1

C解析∵2<a<3,∴a-2>0,a-3<0,123456D1234564.計算-0.01-0.5+0.2-2-(2