數(shù)學(xué)學(xué)案：互動(dòng)課堂第一講四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂重難突破本課時(shí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)均為對(duì)柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系概念的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用。一、柱坐標(biāo)系1.定義:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，設(shè)P是空間任意一點(diǎn),它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ<2π)來(lái)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)。這時(shí)點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)組(ρ，θ，z)(z∈R)表示.這樣,我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(ρ，θ，z)之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系,有序數(shù)組（ρ，θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P（ρ，θ,z），其中ρ≥0，0≤θ〈2π，-∞〈z<+∞.2.空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y，z)與柱坐標(biāo)（ρ，θ，z）之間的變換公式為二、球坐標(biāo)系1。定義:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連結(jié)OP，記|OP｜=r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ,設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為θ.這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組（r,φ，θ）表示.這樣,空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r,φ，θ）之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系（或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r,φ,θ）叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P（r,φ，θ），其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.2.空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y，z）與球坐標(biāo)（r,φ，θ）之間的變換關(guān)系為3。球坐標(biāo)系在地理學(xué)、天文學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.在測(cè)量實(shí)踐中,球坐標(biāo)中的角θ稱(chēng)為被測(cè)點(diǎn)P（r,φ，θ）的方位角，90°-φ稱(chēng)為高低角.可以看出,球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系都是在空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上建立的.在直角坐標(biāo)系中，我們需要三個(gè)長(zhǎng)度：（x,y，z），而在球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系中，我們需要長(zhǎng)度，還需要角度.它是從長(zhǎng)度、方向來(lái)描述一個(gè)點(diǎn)的位置，需要(ρ，θ,z）或者(r,φ,θ）.三種坐標(biāo)系互相不同,互相有聯(lián)系，互相能夠轉(zhuǎn)化,都是刻畫(huà)空間一點(diǎn)的位置,只是描述的角度不同.至此，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等知識(shí),可以看到坐標(biāo)系是聯(lián)系形與數(shù)的橋梁，利用坐標(biāo)系可以實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化。不同的坐標(biāo)系有不同的特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們就可以根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助坐標(biāo)系方便、簡(jiǎn)捷地研究問(wèn)題。三、在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用在球坐標(biāo)系中，它的三度實(shí)際上也是我們所熟悉的，它與前面所學(xué)的球的一些基本知識(shí)是有著密切聯(lián)系的.我們得熟悉這部分內(nèi)容。1。經(jīng)線與經(jīng)度:地球球面上從北極到南極的半個(gè)大圓叫做經(jīng)線,規(guī)定經(jīng)過(guò)英國(guó)格林威治天文臺(tái)舊址的經(jīng)線為0°經(jīng)線.一個(gè)地方的經(jīng)度是指經(jīng)過(guò)當(dāng)?shù)亟?jīng)線的所在半平面和0°經(jīng)線所在半平面之間的夾角的度數(shù),以0°經(jīng)線為基準(zhǔn)，向東度量的為東經(jīng)，向西度量的為西經(jīng)。如東經(jīng)30°、西經(jīng)60°等.2.緯線與緯度：與地軸(通過(guò)北極和南極的直線)垂直的平面截地球球面所得的圓叫做緯線，其中大圓叫做赤道。一個(gè)地方的緯度是指當(dāng)?shù)嘏c球心的連線和地球赤道平面之間所成的角的度數(shù)，赤道為0°緯線，以赤道為基準(zhǔn),向北度量為北緯，向南度量為南緯.如北緯25°、南緯23.5°等.活學(xué)巧用【例1】一個(gè)圓形體育館，自正東方向起,按逆時(shí)針?lè)较虻确譃槭鶄€(gè)扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，…，十六區(qū),我們?cè)O(shè)圓形體育場(chǎng)第一排與體育中心的距離為500m，每相鄰兩排的間距為1m，每層看臺(tái)的高度為0.7m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A,請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，把點(diǎn)A的坐標(biāo)求出來(lái).解:以圓形體育場(chǎng)中心O為極點(diǎn)，選取以O(shè)為端點(diǎn)且過(guò)正東入口的射線Ox為極軸，在地面上建立極坐標(biāo)系.則點(diǎn)A與體育場(chǎng)中軸線Oz的距離為504m，極軸Ox按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，就是OA在地平面上的射影。A距地面的高度為2。8m,因此我們可以用柱坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn)A的準(zhǔn)確位置.∴點(diǎn)A的柱坐標(biāo)為（504，，2.8）點(diǎn)評(píng):找空間中一點(diǎn)的柱坐標(biāo)，與找平面極坐標(biāo)是類(lèi)似的，需要確定極徑、極角,只是比平面極坐標(biāo)多了一個(gè)量，即點(diǎn)的空間中的高度.【例2】經(jīng)過(guò)若干個(gè)固定和流動(dòng)的地面遙感觀測(cè)站監(jiān)測(cè)，并通過(guò)數(shù)據(jù)匯總，計(jì)算出一個(gè)航天器在某一時(shí)刻的位置，離地面2384千米，地球半徑為6371千米，此時(shí)經(jīng)度為80°，緯度為75°.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定出此時(shí)航天器點(diǎn)P的坐標(biāo).解:在赤道平面上,選取地球球心為極點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線Ox為極軸,建立球坐標(biāo)系,如圖。由已知航天器位于經(jīng)度80°，可知θ=80°，由航天器位于緯度75°，可知φ=90°—75°=15°,由航天器離地面2384千米，地球半徑為6371千米,可知r=2384+6371=8755千米?！帱c(diǎn)P的球坐標(biāo)為(8755km,15°，80°).【例3】已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為AB=14,AD=6,AA1=10，以這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AB、AD、AA1分別為Ox、Oy、Oz軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求長(zhǎng)方體頂點(diǎn)C1解析：如圖,此題是考查空間直角坐標(biāo)、球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)的概念，我們要能借此區(qū)分三個(gè)坐標(biāo),找到它們的相同和不同來(lái).C1點(diǎn)的(x，y，z)分別對(duì)應(yīng)著CD、BC、CC1,C1點(diǎn)的(ρ，θ,z)分別對(duì)應(yīng)著AC、∠BAC、CC1，C1點(diǎn)的（r，φ,θ）分別對(duì)應(yīng)著AC1、∠A1AC1、∠BA