專題六橢圓-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元AB卷（人教A版2019選擇性）

20212022學(xué)年高二數(shù)學(xué)專題測試卷（人教A版2019）專題六橢圓一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0，－3)和(0，3)，且橢圓經(jīng)過點(0，4)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：∵橢圓的焦點在y軸上，∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．∵∴a＝4，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．2．在雙曲線中，，且雙曲線與橢圓4x2＋9y2＝36有公共焦點，則雙曲線的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】橢圓方程可化為，，所以雙曲線的，且焦點在軸上.由于，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B3．已知分別是橢圓的焦點，過點的直線交橢圓于兩點，則的周長是A． B． C． D．【答案】D【解析】因為橢圓方程為，所以，由橢圓的定義得：，所以，所以的周長是8故選：D4．設(shè)為橢圓C:的兩個焦點，點P在橢圓C上，若成等差數(shù)列，則橢圓C的離心率為（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因為成等差數(shù)列，所以即，所以橢圓C的離心率.故選：B.5．橢圓上一點到焦點的距離為2，是的中點，則等于（）A．2 B．4 C．8 D．【答案】B【解析】由橢圓方程，得由橢圓定義得又，為的中點，為的中點，線段為中位線，有.故選：B6．雙曲線離心率為2，且其焦點與橢圓的焦點重合，則的值為（）．A． B．3 C．1 D．4【答案】B【解析】由題意，橢圓的焦點為，雙曲線的焦點為∴雙曲線的焦點在軸上，，半焦距，所以，又離心率為2，即，，.故選：B.7．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于、兩點，若的中點坐標(biāo)為，則的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點、，則的中點為，則，可得.若直線軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，且，直線的斜率為，由于、兩點都在橢圓上，則，兩式作差得，所以，，因為，所以，，所以，，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.8．設(shè)橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其焦距為2c，點Q在橢圓的外部，點P是橢圓C上的動點，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】點在橢圓的外部，所以，即，所以，由恒成立，即，所以．又，所以故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（多選題）若橢圓和橢圓的離心率相同，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓和橢圓一定沒有公共點 B．C． D．【答案】AB【解析】依題意，，即，所以，所以，因此B正確；又，所以橢圓和橢圓一定沒有公共點，因此A正確；設(shè)，其中，則有，即有，則，因此C錯誤；，即有，則，因此D錯誤．故選：AB．10．關(guān)于、的方程（其中）對應(yīng)的曲線可能是（）A．焦點在軸上的橢圓 B．焦點在軸上的橢圓C．焦點在軸上的雙曲線 D．焦點在軸上的雙曲線【答案】ABC【解析】對于A選項，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，即當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，A選項正確；對于B選項，若方程表示在焦點在軸上的橢圓，則，解得，即當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓，B選項正確；對于C選項，若方程表示的曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，即當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的雙曲線，C選項正確；對于D選項，若表示焦點在軸上的雙曲線，則，這樣的不存在，D選項錯誤.故選：ABC.11．橢圓上的一點到橢圓焦點的距離的乘積為，當(dāng)取最大值時，點的坐標(biāo)不可能為（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】解：記橢圓的兩個焦點分別為，

有，

則知，

當(dāng)且僅當(dāng)，即點位于橢圓的短軸的頂點處時，取得最大值，

∴點的坐標(biāo)為或，

故選：BD.12．設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一動點，則下列說法中正確的是（）A．當(dāng)點不在軸上時，的周長是6B．當(dāng)點不在軸上時，面積的最大值為C．存在點，使D．的取值范圍是【答案】ABD【解析】由橢圓方程可知，，從而．對于選項A:根據(jù)橢圓定義，，又，所以的周長是，故選項A正確；對于選項B：設(shè)點，因為，則．因為，則面積的最大值為，故選項B正確；對于選項C：由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點為橢圓短軸的一個端點時，為最大．此時，，又，則為正三角形，，所以不存在點，使，故選項C錯誤；由圖可知，當(dāng)點為橢圓的右頂點時，取最大值，此時；對于選項D：當(dāng)點為橢圓的左頂點時，取最小值，此時，所以，故選項D正確．故選：ABD三、本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，則點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是______．【答案】(－3,0)，(3,0)【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a2＝25，b2＝16，所以c2＝a2－b2＝25－16＝9，即c＝3．則點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(－3,0)，(3,0)．故答案為：(－3,0)，(3,0)14．已知?是橢圓的左，右焦點，點為上一點，為坐標(biāo)原點，為正三角形，則的離心率為__________.【答案】【解析】如圖，因為為正三角形，所以，所以是直角三角形.因為，，所以，所以，所以，因為，所以，即，所以.故答案為：.15．點P為橢圓上的任意一點，AB為圓的任意一條直徑，若的最大值為15，則a=___________.【答案】3【解析】橢圓的焦點為，,半焦距，圓的圓心，半徑為1，AB為圓M的直徑，可得，則，又P為橢圓上一點，M為橢圓的右焦點，可得，當(dāng)P為橢圓的左頂點時，上式取得等號，則，所以即.故答案為：3.16．設(shè)、分別為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，且，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍是________.【答案】【解析】如圖，繪出橢圓和雙曲線圖像：設(shè)，，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，，因為，所以，即，由離心率的公式可得，因為，所以，即，解得，因為，所以，，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(，－2)和B(－2，1)兩點；（2）a＝4，c＝；（3）過點P(－3，2)，且與橢圓有相同的焦點．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）設(shè)所求橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，由和兩點在橢圓上可得，即，解得．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因為a＝4，所以b2＝a2－c2＝1，所以當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（3）因為所求的橢圓與橢圓的焦點相同，所以其焦點在x軸上，且c2＝5．設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因為所求橢圓過點P(－3，2)，所以有①又a2－b2＝c2＝5，②由①②解得a2＝15，b2＝10．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．18．求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點；（2）經(jīng)過兩點.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）若橢圓的焦點在軸上，設(shè)方程為，因為橢圓過點，代入可得，解得，又由，解得，所以橢圓的方程為；若橢圓的焦點在軸上，設(shè)方程為，因為橢圓過點，代入可得，解得，又由，解得，所以橢圓的方程為,綜上可得，橢圓的方程為或.（2）設(shè)經(jīng)過兩點的橢圓方程為，將坐標(biāo)代入方程得，解得，所以所求橢圓方程為.19．已知橢圓的離心率為，點，是橢圓C的左右焦點，點P是C上任意一點，若面積的最大值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓C在第一象限的交點為M，直線與橢圓C交于A，B兩點，連接，，與x軸分別交于P，Q兩點，求證：始終為等腰三角形.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）由，可得，由面積的最大值為知，，解得，，，∴橢圓C的方程為（2）聯(lián)立，解得聯(lián)立得.∵直線與橢圓C交兩點，∴.∴，且設(shè)直線的斜率分別為，設(shè)，則.又，，則∴，從而始終為等腰三角形.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線的方程為x＝4，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，A，B分別為橢圓C的左右頂點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過T（t，0）（t＞a）作斜率為k（k＜0）的直線l交橢圓C與M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），且F1M∥F2N.設(shè)直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求k1?k2的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意知，，，解得：a2＝4，b2＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)，，因為直線l過T（t，0），設(shè)直線l的方程為：y＝k（x﹣t），聯(lián)立直線l與橢圓的方程整理得：（3+4k2）x2﹣8k2tx+4k2t2﹣12＝0，，，因為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），所以，，且，所以，即，整理得：，所以，又，即，整理得：4k2（t2﹣4）＝9，因為直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且A（﹣2，0），B（2，0），所以k1?k2＝，.所以k1?k2的值為..21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的長軸長為6，且經(jīng)過點，為左頂點，為下頂點，橢圓上的點在第一象限，交軸于點，交軸于點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若，求線段的長（3）試問：四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由【答案】（1）；（2）；（3）是定值，6.【解析】（1）解：由題意得，解得.把點的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，得由于，解得所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：因為，則得，即，又因為，所以直線的方程為.由解得(舍去)或，即得所以即線段的長為（3）由題意知，直線的斜率存在，可設(shè)直線.令，得，由得，解得(舍去)或所以，即于是直線的方程為，即令，得，即，所以四邊形的面積等于即四邊形的面積為定值.22．已知拋物線的焦點F恰為橢圓的一個頂點，且拋物線的通徑（過拋物線的焦點F且與其對稱軸垂直的弦）的長等于橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離.（1）求拋物線及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點F作兩條直線，，且，的斜率之積為.①設(shè)直線交拋物線于A，B兩點，交拋物