專(zhuān)題03平面向量（重難點(diǎn)突破）學(xué)生版

專(zhuān)題03平面向量【重難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)】：1、向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02、向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.4、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)表示和(差)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘已知a＝(x1，y1)，則λa＝(λx1，λy1)，其中λ是實(shí)數(shù)任一向量的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)5、向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB就是a與b的夾角設(shè)θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是0°≤eq\a\vs4\al(θ)≤180°eq\o(θ＝0°,\s\do4())或θ＝eq\o(180°,\s\do4())?a∥b，θ＝90°?a⊥b6、平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積7、向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c數(shù)乘結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)8、平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【重難點(diǎn)題型突破】：一、平面向量的有關(guān)概念例1、（多選題）（河北衡水二中2019屆高三調(diào)研）下列有關(guān)向量命題，不正確的是（）A．若，則 B．已知，且，則C．若，則 D．若，則且【變式訓(xùn)練11】、下列敘述錯(cuò)誤的是________(填序號(hào))．①已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，則向量a＋b的方向與向量a的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；③向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0；⑤若λa＝λb，則a＝b.【變式訓(xùn)練12】、設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3D．4

二、平面向量的線性運(yùn)算例2（1）（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，，則（）A． B． C． D．（2）設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則()B．C．D．【變式訓(xùn)練21】、(2019·河北衡水中學(xué)調(diào)研)一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線AC于點(diǎn)M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(5,2)μ－λ＝()A.－eq\f(1,2) B.1 C.eq\f(3,2) D.－3【變式訓(xùn)練22】、（廣東省惠州中學(xué)2021屆高三期末）如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練23】、（廣東省汕頭市金山中學(xué)2021屆高三期中）在中,,,為斜邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),為邊的中點(diǎn),則的值為_(kāi)_________.

三、平面向量的的坐標(biāo)運(yùn)算例3．（1）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若(λ，μ∈R)，則=．（2）(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3，t)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－3 B．－2C．2 D．3（3）（2019·天津新華中學(xué)調(diào)研）設(shè)A(0，1)，B(1，3)，C(－1，5)，D(0，－1)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A.－2eq\o(AD,\s\up6(→))B.2eq\o(AD,\s\up6(→))C.－3eq\o(AD,\s\up6(→))D.3eq\o(AD,\s\up6(→))【變式訓(xùn)練31】、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up7(→))，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(－8,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)【變式訓(xùn)練32】、已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為（）A． B． C． D．

【變式訓(xùn)練33】、已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為A． B． C． D．四、平面向量的數(shù)量積例4．（多選題）下列結(jié)論正確的是（）A．若，則是鈍角三角形B．若，則C．，D．若，，三點(diǎn)滿足，則，，三點(diǎn)共線【變式訓(xùn)練41】、（2020·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練42】、．（2020·武威第六中學(xué)高三月考（理））已知向量滿足，，則（）A．4 B．3 C．2 D．0

【變式訓(xùn)練43】、已知向量滿足，，，則（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練44】、（2020·山東臨沂·高三期中）已知向量，，若，，則______．【變式訓(xùn)練45】、（福建省莆田第一中學(xué)2021屆高三期中）設(shè)向量，，，且，則（）A．3 B．2 C．2 D．3【變式訓(xùn)練46】、（福建省永安市第三中學(xué)2021屆高三期中）已知向量，，若，且，則實(shí)數(shù)（）A． B．C． D．

五、平面向量的的綜合應(yīng)用例5．（多選題）（2021·山東師范大學(xué)附中高三學(xué)業(yè)考試）下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）A