72空間幾何中的垂直（提升）

7.2空間幾何中的垂直（提升）一、單選題1．（2021·浙江高三專題練習）已知是不同的直線，是不同的平面，以下命題正確的是（）A．若∥，，則∥；B．若，∥，則；C．若∥，則∥；D．若，∥，∥，則．【答案】C【解析】對于選項A：反例如圖，故A錯誤；對于選項B：反例如圖，故B錯誤；對于選項C：因為，且，所以，又，所以，故C正確；對于選項D：反例如圖，故D錯誤.故選：C.2．（2021·全國高三（理））如圖，在圓柱中，正三棱柱的所有頂點分別在圓柱的上、下底面的圓周上，為上一點，，為的中點，則下列關系正確的是（）①平面；②平面；③平面；④平面．A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【解析】對于①，為的重心，，，又，，又平面，平面，平面，①正確；對于②，由①知：，又，與相交，又平面，與平面相交，②錯誤；對于③，為等邊三角形，為中點，；由①知：，；平面，平面，；又，平面，平面，③正確；對于④，由①知：，又為等邊三角形，，異面直線與所成角為，即與不垂直，平面不成立，④錯誤.故選：B.3（2021·全國（文））如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC為等邊三角形，O為AC1與A1C的交點，D為AB的中點，則下列結論：①DO平面ABC1；②DO平面A1BC1；③DC⊥平面ABB1A1；④DC⊥平面ABC1.其中所有正確結論的序號為（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】C【解析】因為O為AC1與A1C的交點，且四邊形為矩形，所以為的中點，又因為D為AB的中點，所以，因為平面，所以平面顯然不成立，故①錯誤；因為平面，平面，所以平面，故②正確；又因為為等邊三角形，為中點，所以，又因為平面，平面，所以，又，所以平面，故③正確；假設平面，則，又顯然，，所以平面，所以，顯然不成立，所以假設不成立，故④錯誤；故選：C.4．（2021·浙江高三）已知直線，平面，則（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】在長方體ABCDEFGH中，如圖示：對于A：若，則,取平面ABCD為，即直線AB為l，CD為m，則，但是，所以不成立，故A不正確；對于B：因為，作平面，使得，且，由線面平行的性質可得：.因為，所以，又，所以.故B正確；對于C：若，則，取平面ABCD為，平面ADHE為，直線EH為l，此時滿足“”，但是，所以不滿足，故C不正確；對于D：若，則，取平面ABCD為，平面ADHE為，直線BC為l，直線EH為m，此時滿足“，”但是相交，不滿足.故D錯誤.故選：B一個命題錯誤，舉一個反例就可以了；要證明一個結論正確，需要嚴格的證明.二、多選題5．（2021·湖南長郡中學高三月考）如圖所示，在矩形中，，E為上一動點，現(xiàn)將沿折起至，在平面內作，G為垂足．設，則下列說法正確的是（）A．若平面，則B．若平面，則C．若平面平面，且，則D．若平面平面，且，則【答案】AC【解析】對于A，若平面，則，在中，，則，是三角形的高，則所以A正確；對于B，若平面，則有，則，在中，，即，解得，所以B錯誤；對于C，若平面平面，作，垂足為H，因為平面平面，所以平面，從而，又，所以平面，從而，因為，所以在等腰直角三角形中，，所以在等腰直角三角形中，，所以C正確；對于D，若平面平面，平面平面，又，故平面，所以，作，垂足為H，從而有平面，從而，從而有C，H，G三點共線，則，又，故，又，所以，故，因為，所以，所以D錯誤.故選：AC．6．（2021·廣東廣州市·執(zhí)信中學高三月考）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】設正方體的棱長為，對于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯誤.對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，則，因為，故，故，所以或其補角為異面直線所成的角，因為正方體的棱長為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯誤.故選：BC.三、填空題7．（2021·浙江高三專題練習）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，現(xiàn)有下列結論：①；②平面與平面的交線平行于直線；③異面直線，所成的角為定值；④三棱錐的體積為定值，其中錯誤結論的是___________．【答案】③【解析】解：對于①，平面，平面，，故①正確；對于②，，在，，平面，平面，平面，在平面ABCD內作，∵，則,則共面，平面,則平面與平面的交線為,即平面與平面的交線平行于直線；故②正確；對于③，當點在處，為的中點時，由可知異面直線，所成的角是；當在上底面的中心時，在的位置，異面直線，所成的角是，兩個角不相等，從而異面直線，所成的角不為定值，故③錯誤；對于④，到平面的距離是定值，是定值，以為頂點的四面體的體積為定值，故④正確．故選：③．8．（2021·全國（理））在正方體中，是底面正方形的中心，和分別是棱和的中點，現(xiàn)有下面四個結論：①直線平面；②直線平面；③直線平面；④直線與平面相交.則其中正確結論的序號是___________.【答案】②③【解析】如圖，結合題意繪出圖像，設正方體的棱長為，①：如圖，連接、、，若平面，則，，因為結合圖像易知，，，，所以，與不垂直，①錯誤；②：如圖，作中點，連接、、，因為是中點，是的中點，是底面正方形的中心，所以，且，則四邊形是平行四邊形，，因為平面,平面,所以平面，②正確；③：如圖，連接、、、、，結合圖像易知，平面與平面是同一平面，因為多面體是正方體，所以易知，，因為，所以平面，即平面，③正確；④：如圖，連接、、、，因為是底面正方形的中心，是棱的中點，所以，因為平面，平面，所以直線平面，即直線與平面不相交，④錯誤，故答案為：②③.四、解答題9．（2021·河北滄州市·高三月考）如圖，在四棱錐，，，平面，，證明：【答案】證明見解析【解析】證明：因為平面，平面，所以.又因為，，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以.連接.因為，所以，，得，又，所以，即.因為平面，平面，所以，又，所以平面，因為平面，所以.10．（2021·江西省靖安中學高三月考（文））如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為的正方形，，且，.證明：平面【答案】證明見解【解析】證明：連接，因為且，所以四邊形是平行四邊形，可得，因為兩兩垂直，，所以，又，，所以平面，，，可得，所以四邊形是菱形，可得，所以，又在正方形中，，又因為，所以平面；11．（2021·全國高一單元測試）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，AC1和BD1相交于點O，E為CC1的中點（Ⅰ）求證：OE∥平面ABCD；（Ⅱ）若平面BDD1B1⊥平面ABCD，求證：D1E＝BE．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）如圖，連接AC．因為AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以AC1，BD1相互平分，所以O為BD1和AC1的中點．又因為E為CC1的中點，所以OE為△ACC1的中位線，所以OE∥AC．又因為OE?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以OE∥平面ABCD．（Ⅱ）因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．因為平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，AC?平面ABCD，所以AC⊥平面BDD1B1．因為BD1?平面BDD1B1，所以AC⊥BD1．又因OE∥AC，所以OE⊥BD1．因為OB＝OD1，所以D1E＝BE．13．（2021·江蘇南京市）如圖，在直三棱柱中，與相交于點，為的中點，（1）求證：平面；（2）若，，求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）如圖，連接，∵三棱柱是直三棱柱，，四邊形為矩形，∴為的中點，為的中點，在△中，由中位線性質得，又平面，平面，∴平面.（2）如圖，連接.由題得，因為，所以.因為平面，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，因為平面，所以平面.14．（2021·江蘇專題練習）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）證明：平面平面，平面平面，，平面，平面，，在直角梯形中，，，，，，即，又，平面，平面．（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，0，，，0，，，0，，，1，，，4，，，0，，，1，，，4，，設，，，則，0，，1，，設平面的法向量為，，，則，即，令，則，，，1，，與平面所成角的正弦值為，，，化簡得，解得，故線段上存在點滿足題意，且．15．（2021·吉林白城市）已知正四棱柱中，，．（1）求證：；（2）在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】（1）因為四棱柱是正四棱柱，所以平面，，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以；（2）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，設為線段上一點，，，因為，，，所以，則，，，，，設平面的法向量，，則，即，令，則，設平面的法向量為，，，則，即，令，則，若平面平面，則，即，解得，故存在點，當時，平面平面．16．（2021·黑龍江哈爾濱市）如圖，已知多面體中，，，均垂直于平面.，，，.（I）證明：平面；（II）求多面體的體積.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】證明：由得，所以所以.由，得到.又因為，，由余弦定理得.由得，所以所以又，所以平面.（II）如圖連接，將多面體分割成三棱錐和四棱錐，點到平面的距離等于點到平面，即點到AC的距離，即.,，所以多面體的體積的體積為=.17．（2021·全國課時練習）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示．四邊形為正方形，為與的交點，為的中點，平面．（1）證明：平面；（2）設是的中點，證明：平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】證明：（1）取的中點，連接，由于是四棱柱，所以，因此四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因為分別為和的中點，所以，所以，又平面，平面，所以，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面．18（2021·全國課時練習）在四面體中，，，且，分別是，的中點．求證：（1）直線平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）因為，分別是，的中點，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以直線平面．（2）因為，，所以．因為，是的中點，所以．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．19．（2021·全國