2024-2025學(xué)年福建省九地市部分學(xué)校高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省九地市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，若，則，∴復(fù)數(shù)z可能在第一象限；若，無解，即復(fù)數(shù)z不可能在第二象限，故應(yīng)選B；若，則，∴復(fù)數(shù)z可能第三象限；若，則，∴復(fù)數(shù)z可能在第四象限．故選：B.2.已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根根據(jù)空間中點的坐標(biāo)確定方法知，空間中點在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，豎坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變.所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)是：.故選：A.3.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于A，假設(shè)共面，則可設(shè)，方程組無解，不共面，可以作為空間一組基底，A正確；對于B，，∴共面，不能作為空間一組基底，B錯誤；對于C，，∴共面，不能作為空間一組基底，C錯誤；對于D，，共面，不能作為空間一組基底，D錯誤.故選：A.4.已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（）A B. C.3 D.6【答案】A【解析】因為空間單位向量兩兩垂直,所以，所以.故選：A.5.如圖所示，在四面體A－BCD中，點E是CD的中點，記，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.6.設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】B【解析】對于A：由，，，可知、可能平行或相交，A錯誤；對于B：由，，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，B正確；對于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C錯誤；對于D：由，，可知或，D錯誤．故選：B.7.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題以及正弦定理得，所以由余弦定理得，所以由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，故，則，因為，所以，所以即，此時即，解得，所以.故選：B.8.三棱錐滿足，二面角的大小為，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，因為，所以，解得：，即，可知，過作，連接，則，可知，且二面角的平面角為，則為等邊三角形，即，設(shè)，因為，即，解得：或，可知點與點A重合或與點B重合，兩者是對稱結(jié)構(gòu)，不妨取點E與點A重合，則，，由，平面，則平面，且為二面的平面角，可知為等邊三角形，可將三棱錐補充直棱柱，如圖所示，為底面正的外心，即，為的外接球球心，可知，且，則三棱錐的外接球半徑，所以外接球的體積.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則（）A.B.估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14C.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50D.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25【答案】BCD【解析】A項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，則，解得，故A錯誤；項，前兩個矩形的面積之和為前三個矩形的面積之和為.設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為，故B正確；C項，估計成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為分，故C正確；D項，估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為，故D正確.故選：BCD.10.在中，設(shè)角所對的邊分別為a,b,c，則下列命題一定成立的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，，，則有唯一解C.若是銳角三角形，，，設(shè)面積為S，則D.若是銳角三角形，則【答案】BCD【解析】，，，為銳角，但不能確定角是否為銳角，故不一定是銳角三角形，故錯誤；由正弦定理得，，，有唯一解，故正確；，，，，又，解得，，，，，，即，故正確；是銳角三角形，，又，，，又在上單調(diào)遞增，，，，故正確；故選：.11.如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，動點P在正方體表面運動，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在中點時，平面平面B.異面直線所成角的余弦值為C.在同一個球面上D.，則點軌跡長度為【答案】ACD【解析】對于選項A：取的中點，連接，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因為面，面，所以，因為面，面，，所以面，因為面，所以，綜上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正確；對于選項B：取的中點，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯誤；對于選項C：記正方體的中心為點，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對于選項D：因為，且為的中點，所以，故，所以點軌跡是過點與平行的線段，且，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，因此圓錐的高，所以圓錐的體積.13.甲、乙、丙、丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結(jié)束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為______．【答案】【解析】甲隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁兩場比賽都輸，則乙、丁、丙積分都大于甲，不合題意；若甲與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則甲只得4分，這時，丙乙、丙丁兩場比賽中丙只能輸，否則丙分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在丙輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時，甲得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時丙乙，丙丁兩場比賽中丙不能贏，否則丙的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有全平或全輸或一輸一平，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率；②若丙兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意；③若兩場丙都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是；綜上概率為．14.如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】連接，過點作垂直于的延長線于點，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形中，因為，故，則，則，，故點，又，，，設(shè)點，，由，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，即，取，則，故平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則，因為，且，故令，，，則，，，又，所以，，即，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求．解：（1）由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又，所以．（2）因為的面積為，所以，即，由，則，即，所以，即．16.如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC.（1）求證：平面；（2）若，求直線AC與面PBC所成角的正弦值.解：（1）因為平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB，平面PAC，所以PA面ACB，又因為平面PBC，所以PA，又因為AB是圓的直徑，所以，因為平面，所以平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，所以，則，設(shè)平面PBC的法向量為m=則，而，設(shè)直線AC與面PBC所成角為，則，所以直線AC與面PBC所成角的正弦值為.17.某校為了增強學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進行測評打分.現(xiàn)從中隨機選出100名學(xué)生的成績（滿分為100分），按分?jǐn)?shù)分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）若認(rèn)定評分在80,90內(nèi)的學(xué)生為“運動愛好者”，評分在90,100內(nèi)的學(xué)生為“運動達人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機抽取6名學(xué)生參加運動交流會，大會上需要從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行經(jīng)驗交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人的概率.解：（1）依題意，，解得.前三組的頻率為，所以中位數(shù)為分.（2）的頻率為，的頻率為，兩者的比例是，所以抽取的名學(xué)生中，中的有人，記為；在中的有人，記為；從中抽取人，基本事件有，共種，其中恰好“運動愛好者”和“運動達人”各1人的是：，共種，故所求概率為.18.如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線，點為弧的中點.（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)，平面與平面夾角的余弦值為時，求點到直線的距離.解：（1）過作交弧上一點，連結(jié)，如圖所示：則為弧的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以.由題意可知，，為等腰直角三角形，則；因為為弧的中點，所以,則為等腰直角三角形，則，所以，則,因為，則，又，又因為、面，所以平面，因為面，所以平面平面.（2）由題意知，兩兩垂直，所以為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，又，則A0,0,0，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為n1=則，即，令，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，，設(shè)平面與平面的夾角為,，解得（負舍），所以，，，則，,,所以點到直線的距離為.19.在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大??；（3）在線段上是否存在點，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.解：（1）因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因為，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為.則滿足，化簡得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點，使平面與平面成角余弦值為.此時的長度為或.福建省九地市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】，若，則，∴復(fù)數(shù)z可能在第一象限；若，無解，即復(fù)數(shù)z不可能在第二象限，故應(yīng)選B；若，則，∴復(fù)數(shù)z可能第三象限；若，則，∴復(fù)數(shù)z可能在第四象限．故選：B.2.已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根根據(jù)空間中點的坐標(biāo)確定方法知，空間中點在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，豎坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不變.所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)是：.故選：A.3.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個基底的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于A，假設(shè)共面，則可設(shè)，方程組無解，不共面，可以作為空間一組基底，A正確；對于B，，∴共面，不能作為空間一組基底，B錯誤；對于C，，∴共面，不能作為空間一組基底，C錯誤；對于D，，共面，不能作為空間一組基底，D錯誤.故選：A.4.已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（）A B. C.3 D.6【答案】A【解析】因為空間單位向量兩兩垂直,所以，所以.故選：A.5.如圖所示，在四面體A－BCD中，點E是CD的中點，記，，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.6.設(shè)是兩個平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】B【解析】對于A：由，，，可知、可能平行或相交，A錯誤；對于B：由，，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，B正確；對于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C錯誤；對于D：由，，可知或，D錯誤．故選：B.7.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的面積為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題以及正弦定理得，所以由余弦定理得，所以由正弦定理得，所以，因為，所以，所以，故，則，因為，所以，所以即，此時即，解得，所以.故選：B.8.三棱錐滿足，二面角的大小為，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，因為，所以，解得：，即，可知，過作，連接，則，可知，且二面角的平面角為，則為等邊三角形，即，設(shè)，因為，即，解得：或，可知點與點A重合或與點B重合，兩者是對稱結(jié)構(gòu)，不妨取點E與點A重合，則，，由，平面，則平面，且為二面的平面角，可知為等邊三角形，可將三棱錐補充直棱柱，如圖所示，為底面正的外心，即，為的外接球球心，可知，且，則三棱錐的外接球半徑，所以外接球的體積.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分.9.某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則（）A.B.估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14C.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50D.估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25【答案】BCD【解析】A項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，則，解得，故A錯誤；項，前兩個矩形的面積之和為前三個矩形的面積之和為.設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為，故B正確；C項，估計成績在80分以上的同學(xué)的成績的平均數(shù)為分，故C正確；D項，估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為，故D正確.故選：BCD.10.在中，設(shè)角所對的邊分別為a,b,c，則下列命題一定成立的是（）A.若，則是銳角三角形B.若，，，則有唯一解C.若是銳角三角形，，，設(shè)面積為S，則D.若是銳角三角形，則【答案】BCD【解析】，，，為銳角，但不能確定角是否為銳角，故不一定是銳角三角形，故錯誤；由正弦定理得，，，有唯一解，故正確；，，，，又，解得，，，，，，即，故正確；是銳角三角形，，又，，，又在上單調(diào)遞增，，，，故正確；故選：.11.如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，動點P在正方體表面運動，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在中點時，平面平面B.異面直線所成角的余弦值為C.在同一個球面上D.，則點軌跡長度為【答案】ACD【解析】對于選項A：取的中點，連接，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因為面，面，所以，因為面，面，，所以面，因為面，所以，綜上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正確；對于選項B：取的中點，連接，則，所以是異面直線所成的角，又，則，故B錯誤；對于選項C：記正方體的中心為點，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對于選項D：因為，且為的中點，所以，故，所以點軌跡是過點與平行的線段，且，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，因此圓錐的高，所以圓錐的體積.13.甲、乙、丙、丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結(jié)束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為______．【答案】【解析】甲隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁兩場比賽都輸，則乙、丁、丙積分都大于甲，不合題意；若甲與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則甲只得4分，這時，丙乙、丙丁兩場比賽中丙只能輸，否則丙分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在丙輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時，甲得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時丙乙，丙丁兩場比賽中丙不能贏，否則丙的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有全平或全輸或一輸一平，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率；②若丙兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意；③若兩場丙都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是；綜上概率為．14.如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】連接，過點作垂直于的延長線于點，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形中，因為，故，則，則，，故點，又，，，設(shè)點，，由，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，即，取，則，故平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則，因為，且，故令，，，則，，，又，所以，，即，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若的面積為，求．解：（1）由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又，所以．（2）因為的面積為，所以，即，由，則，即，所以，即．16.如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC.（1）求證：平面；（2）若，求直線AC與面PBC所成角的正弦值.解：（1）因為平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB，平面PAC，所以PA面ACB，又因為平面PBC，所以PA，又因為AB是圓的直徑，所以，因為平面，所以平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，所以，則，設(shè)平面PBC的法向量為m=則，而，設(shè)直線AC與面PBC所成角為，則，所以直線AC與面PBC所成角的正弦值為.17.某校為了增強學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進行測評打分.現(xiàn)從中隨機選出100名學(xué)生的成績（滿分為100分），按分?jǐn)?shù)分為，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值，并求這100名學(xué)生成績的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）若認(rèn)定評分在80,90內(nèi)的學(xué)生為“運動愛好者”，評分在90,100內(nèi)的學(xué)生為“運動達人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機抽取6名學(xué)生參加運動交流會，大會上需要從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行經(jīng)驗交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)