專題06一元二次方程（題型歸納）

專題06一元二次方程題型分析題型分析題型演練題型演練題型一一元二次方程的概念判斷題型一一元二次方程的概念判斷1．下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，A．是二元一次方程，與題意不符；B．是二元二次方程，與題意不符；C．是分式方程，與題意不符；D．是一元二次方程，符合題意；故選D．2．下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、時(shí)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、化簡(jiǎn)后沒(méi)有二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是一元二次方程，故此選項(xiàng)正確；D、不是方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．3．下列方程中是一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個(gè)條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【詳解】解：A、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、該方程是二元二次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C、該方程是一元二次方程，故本選項(xiàng)正確．D、該方程二元三次方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：形如，（為常數(shù)，且）的方程為一元二次方程即可．【詳解】A、中系數(shù)可以大于1，故A選項(xiàng)不符合題意；B、中系數(shù)可以小于1，故B選項(xiàng)不符合題意；C、中系數(shù)可以不等于1，故C選項(xiàng)不符合題意；D、中系數(shù)不能等于0，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值（）A．0 B．1 C． D．1或【答案】C【分析】利用一元二次方程的定義，可得出關(guān)于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出的值．【詳解】解：∵關(guān)于的方程是一元二次方程，∴，解得，∴的值為．故選：C．題型二一元二次方程的形式判斷題型二一元二次方程的形式判斷6．一元二次方程的一次項(xiàng)是（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】一元二次方程中，叫做方程的一次項(xiàng)，由此即可得出答案．【詳解】解：一元二次方程的一次項(xiàng)是，故選C．7．一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．3，， B．3，，9 C．3，5，9 D．3，5，【答案】A【分析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)一元二次方程一般式的相關(guān)概念進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是3，，．故選：A．8．方程化為一元二次方程的一般形式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，即可化為一元二次方程的一般形式．【詳解】解：，，．故選：．9．若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則m＝（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程成立的條件和常數(shù)項(xiàng)為0列出方程組，解方程組即可求解．【詳解】若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則，解得，故選：B．10．方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．1，， B．1，5，2 C．，5， D．0，，【答案】C【詳解】根據(jù)一元二次方程的一般形式得出答案即可．【分析】解：方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是，5，，故選：C．題型三一元二次方程的解法題型三一元二次方程的解法11．方程的根為（

）A．2 B．4 C．6或2 D．或4【答案】C【分析】移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可【詳解】，，，或，解得：6或2，故選：C12．一元二次方程的解為（

）A． B．2 C．0或 D．0或2【答案】C【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解:∴則故選：D．13．方程的根是（）A． B． C．， D．，【答案】C【分析】方程移項(xiàng)后，右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)求解．【詳解】解：方程變形得：，分解因式得：，可得：或，解得：，．故選：C14．用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先移項(xiàng)，再給方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵∴即，故選：A．15．方程的根為_(kāi)____________．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：，，∴或，∴，．故答案為：，．16．方程的解是，則方程的解是_______．【答案】【分析】根據(jù)方程的解是，可知方程的解比方程的解小2，從而可以得到方程的解．【詳解】解：∵方程的解是，∴方程的兩個(gè)解是，故答案為：．17．解方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)，；【分析】（1）由公式法解一元二次方程，即可求出答案；（2）由公式法解一元二次方程，即可求出答案；【詳解】（1）解：，∴，∴，∴，；（2）解：，∴，∴，∴，；18．解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1），，∴，即，解得：；（2），∴，即，解得：19．解方程(1)(2)【答案】(1)，．(2)，．【分析】（1）先把方程左邊分解因式化為，再化為兩個(gè)一次方程，再解一次方程即可；（2）先移項(xiàng)，把方程左邊分解因式化為，再化為兩個(gè)一次方程，再解一次方程即可．【詳解】（1）解：，∴，∴或，解得：，．（2），移項(xiàng)得：，∴，∴，，解得：，．20．用合適的方法解以下方程.(1)．(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】（1）解：方程中的，則方程根的判別式為，所以方程的解為，即，．（2）解：，，，，或，或，所以方程的解為，．題型四一元二次方程的根的應(yīng)用與判別式題型四一元二次方程的根的應(yīng)用與判別式21．已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則m的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，將代入得到，解得，從而確定答案．【詳解】解：是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，將代入得到，解得，故選：A．22．如果是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，那么a的值是（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】A【分析】將代入方程得，解之可得．【詳解】根據(jù)題意代入方程得，解得：，故選：A．23．若關(guān)于的一元二次方程為的一個(gè)解是，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把代入方程得到，再把變形為，利用整體代入的方法計(jì)算即可．【詳解】解：∵的解是，∴，∴，∴，故選：A．24．關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式計(jì)算即可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】∵在方程中，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A25．方程的根的情況是（

）A．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．方程的根的情況與的取值有關(guān)【答案】B【分析】根據(jù)根的判別式，即可判定根的情況．【詳解】解：，，，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．26．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的值不能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到，求出解集判斷即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，故選：C．27．若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】A【分析】分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，當(dāng)時(shí)，必有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根：，解得，綜上所述，．故選：A．28．下列一元二次方程兩根之和為2的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)根的判別式，判斷有無(wú)實(shí)數(shù)根的情況，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用計(jì)算即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不符合題意；B、∵，∴，∴此方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求，不符合題意；C、，∴，∴此方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求，符合題意；D、∵，∴，∴此方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可求，不符合題意．故選C．29．若是方程的一個(gè)根，那么k的值等于______．【答案】4【分析】根據(jù)題意可得：把代入方程中得：，然后進(jìn)行計(jì)算即可解．【詳解】解：由題意得：把代入方程中得：，解得：，故答案為：4．30．若是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式_____________．【答案】．【分析】將代入方程得到，進(jìn)一步得到，然后整體代入即可求解．【詳解】∵是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，故答案為：．31．如果關(guān)于的方程（k為常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么_______．【答案】【分析】根據(jù)根的判別式為零時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，就可以求出k的值．【詳解】解:,解得：故答案為：32．關(guān)于x的一元二次方程根的情況是_____．【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式的值與0進(jìn)行比較，進(jìn)而可得出方程根的情況．【詳解】解：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．33．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)寫出一個(gè)合適的的值______．【答案】答案不唯一【分析】先根據(jù)判別式的意義得到，解不等式得到的范圍，然后在此范圍內(nèi)取一個(gè)值即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得，所以當(dāng)取時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：答案不唯一．34．關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，寫出一個(gè)滿足條件的的值：____．【答案】（的任意實(shí)數(shù)）【分析】根據(jù)求出k的取值范圍，再確定k值即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得．所以當(dāng)（的任意實(shí)數(shù)），方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：（的任意實(shí)數(shù)）．題型五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系題型五一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系35．設(shè)一元二次方程的兩根分別是，則的值為（）A．11 B．7 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，再根據(jù)完全平方公式的變形，即可求解．【詳解】解：∵方程的兩根分別是，∴，∴．故選：A36．已知，分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得，，分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可以得出，進(jìn)一步可以得出，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可求出代數(shù)式的值．【詳解】根據(jù)題意，得：，∴，∵，∴．故選：D．37．關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，則方程的另一個(gè)根和k的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴；故選A．38．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，，則這個(gè)方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計(jì)算出，，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到滿足條件的方程可為．【詳解】∵，，∴，，∴以，為根的一元二次方程可為，故選：B39．若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（）A．1 B．7 C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解∶是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴．故選∶A．40．若m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為(

)A．4 B．2 C．0 D．1【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及方程的解的定義即可求解．【詳解】∵m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，故選：C．41．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為：．42．設(shè)，是一元二次方程的兩根，則的值為_(kāi)___________．【答案】0【分析】首先把m代入方程，可得，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，然后把和整體代入代數(shù)式，據(jù)此即可求得．【詳解】解：，是一元二次方程的兩根，，，，故答案為：0．43．若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____________．【答案】【分析】根據(jù)方程根的含義可得，可得，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后求解即可．【詳解】解：由題意可得：，，∴，∴，故答案為：．44．若實(shí)數(shù)，滿足的值為_(kāi)_____．【答案】2或11【分析】分和兩種情況，分別利用分式的性質(zhì)結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【詳解】解：，滿足，，當(dāng)時(shí)，，是方程的兩根，，，；當(dāng)時(shí)，原式．綜上所述：或．故答案為：或．45．設(shè)a、b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解定義得出，求出，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，代入即可求出答案．【詳解】解：∵a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，故答案為：．46．如果關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，那么_____．【答案】4【分析】根據(jù)一元二次方程的解可得，得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，∴，，∴，∴，故答案為：．題型六一元二次方程的應(yīng)用——增長(zhǎng)率題型六一元二次方程的應(yīng)用——增長(zhǎng)率47．疫情期間“停課不停學(xué)”，因此王老師在線上開(kāi)通公眾號(hào)進(jìn)行公益授課，4月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)為6000，6月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)達(dá)到7260，若從4月份到6月份，每月該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的平均增長(zhǎng)率都相同，求該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．【答案】該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．【分析】設(shè)該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，利用6月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)月份該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)×（1+該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率），即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：，解得：（不符合題意，舍去），答：該公眾號(hào)關(guān)注人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率．48．某水果商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，原價(jià)每千克50元．(1)連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場(chǎng)規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過(guò)8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天售出這種水果盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【答案】(1)每次下降的百分率為；(2)每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元，盈利6000元．【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為，列出方程求解即可；（2）設(shè)每千克漲價(jià)元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每次下降百分率為，根據(jù)題意，得，解得：，(不合題意，舍去)．答：每次下降的百分率為；（2）設(shè)每千克漲價(jià)x元，由題意得：解得：或，∵商場(chǎng)規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過(guò)8元，∴，答：每千克水果應(yīng)漲價(jià)5元，盈利6000元．49．由于疫情得到緩和，餐飲行業(yè)逐漸回暖，某地一家餐廳重新開(kāi)張，開(kāi)業(yè)第一天收入約為5000元，之后兩天的收入按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，第3天收入約為6050元．(1)求每天收入的增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)第4天收入是多少．【答案】(1)每天收入的平均增長(zhǎng)率為；(2)預(yù)計(jì)第4天收入是6655元．【分析】（1）設(shè)每天收入的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)開(kāi)業(yè)第一天及第3天收入，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）求得的平均增長(zhǎng)率，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)每天收入的平均增長(zhǎng)率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：每天收入的平均增長(zhǎng)率為；（2）解：（元）．答：預(yù)計(jì)第4天收入將達(dá)到6655元．50．某企業(yè)2015年收入2500萬(wàn)元，2017年收入3600萬(wàn)元．(1)求2015年至2017年該企業(yè)收入的年平均增長(zhǎng)率：(2)根據(jù)（1）所得的平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)2016年該企業(yè)收入多少萬(wàn)元？【答案】(1)(2)3000萬(wàn)元【分析】（1）設(shè)出平均增長(zhǎng)率，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解；（2）在求出平均增長(zhǎng)率的前提下求出2016企業(yè)收入即可．【詳解】（1）解：設(shè)平均增長(zhǎng)率為，則，解得，（舍去），答：2015年至2017年該企業(yè)收入的年平均增長(zhǎng)率為．（2）解：（萬(wàn)元）．答：預(yù)計(jì)2016年該企業(yè)收3000萬(wàn)元．51．年，某貧困戶的家庭年人均純收入為元，通過(guò)政府產(chǎn)業(yè)扶持，發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后，到年，家庭年人均純收入達(dá)到了元．(1)求該貧困戶2020年到2022年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率；(2)若年平均增長(zhǎng)率保持不變，年該貧困戶的家庭年人均純收入是否能達(dá)到元？【答案】(1)40%(2)能達(dá)到6800元【分析】（1）設(shè)該貧困戶年到年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為，利用該貧困戶年家庭年人均純收入該貧困戶年家庭年人均純收入增長(zhǎng)率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用該貧困戶年家庭年人均純收入該貧困戶年家庭年人均純收入增長(zhǎng)率，可求出該貧困戶年家庭年人均純收入，再將其與比較后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)該貧困戶年到年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為，依題意得：，解得：，不合題意，舍去．答：該貧困戶年到年家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為；（2）元，，年該貧困戶的家庭年人均純收入能達(dá)到元．題型七一元二次方程的應(yīng)用——銷售問(wèn)題題型七一元二次方程的應(yīng)用——銷售問(wèn)題52．某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)3元，日銷售量將減少60千克，為了每天獲得6000元的利潤(rùn)，同時(shí)考慮顧客的利益，那么應(yīng)該漲價(jià)多少元？【答案】應(yīng)該漲價(jià)5元【分析】首先設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，由題意，得漲價(jià)后每千克盈利元，銷量為千克，利用銷量每千克利潤(rùn)總利潤(rùn)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【詳解】解：∵每千克漲價(jià)3元，日銷售量將減少60千克，∴每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，∴設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，由題意，得，∴，解得：或，∵為了使顧客得到實(shí)惠，∴應(yīng)該漲價(jià)5元．53．隨著“共享經(jīng)濟(jì)”的概念迅速普及，共享汽車也進(jìn)入了人們的視野，某共享汽車租賃公司年初在某地投放了一批共享汽車，全天包車的租金定為每輛120元．據(jù)統(tǒng)計(jì)，三月份的全天包車數(shù)為25次，在租金不變的基礎(chǔ)上，四、五月的全天包車數(shù)持續(xù)走高，五月份的全天包車數(shù)達(dá)到64次．(1)若從三月份到五月份的全天包車數(shù)月平均增長(zhǎng)率不變，求全天包車數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)從六月份起，該公司決定降低租金，盡可能地讓利顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，租金每降價(jià)1元，全天包車數(shù)增加1．6次，當(dāng)租金降價(jià)多少元時(shí)，公司將獲利8800元？【答案】(1)全天包車數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為60%(2)當(dāng)租金降價(jià)70元時(shí)，公司將獲利8800元【分析】（1）設(shè)全天包車數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，則四月份的全天包車數(shù)為；五月份的全天包車數(shù)為，又知五月份的全天包車數(shù)為64次，由此等量關(guān)系列出方程，求出x的值即可；（2）每輛全天包車的租金全天包車數(shù)量列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)全天包車數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得：，解得：（不合題意舍去），答：全天包車數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為；（2）解：設(shè)租金降價(jià)a元，則，化簡(jiǎn)得：，解得：．為了盡可能讓利顧客，．答：當(dāng)租金降價(jià)70元時(shí)，公司將獲利8800元．54．某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷量減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【答案】每千克應(yīng)漲價(jià)5元【分析】設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)元，根據(jù)每千克漲價(jià)元，日銷售量將減少千克，每天盈利元，列出方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)元，由題意得：，解得，，要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取，答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元．55．某超市銷售一款“消毒液”，這款“消毒液”的一本價(jià)為每瓶16元，當(dāng)銷售單價(jià)定為20元時(shí)，每天可售出80瓶．根據(jù)市場(chǎng)行情，為盡快減少庫(kù)存，現(xiàn)決定降價(jià)銷售．市場(chǎng)調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價(jià)不低于成本價(jià)）．現(xiàn)銷售這款“消毒液”每天的實(shí)際銷售利潤(rùn)為350元，其銷售單價(jià)是多少元？【答案】銷售單價(jià)為18.5元【分析】設(shè)銷售單價(jià)降低x元，先用x表示出每瓶的銷售利潤(rùn)和每天的銷售量，再根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)銷售單價(jià)降低x元，則每瓶的銷售利潤(rùn)為元，每天的銷售量為瓶，依題意，得：，化簡(jiǎn)，得：，解得：，又∵為盡快減少庫(kù)存，∴，∴，答：銷售單價(jià)為18.5元．56．超市銷售某種商品，每件盈利50元，平均每天銷量可達(dá)到30件．為盡快減少庫(kù)存，現(xiàn)準(zhǔn)備降價(jià)以促進(jìn)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：一件商品每降價(jià)1元平均每天可多售出2件．(1)當(dāng)一件商品降價(jià)5元時(shí)，每天銷售量可達(dá)到件，每天共盈利元；(2)每件商品降價(jià)多少元時(shí)超市每天盈利可達(dá)到2100元？(3)超市每天盈利元，請(qǐng)利用配方法或一元二次方程的根判別式，求商場(chǎng)每天盈利最高可達(dá)多少元？【答案】(1)40，1800(2)每件商品降價(jià)20元，商場(chǎng)日盈利可達(dá)2100元(3)2112.5元【分析】（1）每降價(jià)1元平均每天可多售出2件，降價(jià)5元，可多售出10件，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)日盈利=每件商品盈利的錢數(shù)×（原來(lái)每天銷售的商品件數(shù)30+2×降價(jià)的錢數(shù)），列出方程求解即可；（3）根據(jù)題意列出方程，利用配方法或一元二次方程的根判別式判斷即可．【詳解】（1）∵一件商品每降價(jià)1元平均每天可多售出2件，∴降價(jià)5元，可多售出10件，∵每件盈利50元，平均每天銷量可達(dá)到30件，∴每天銷售量可達(dá)到40件；降價(jià)5元，則每件盈利45元，∴每天共盈利：（元），故答案為：40，1800；（2）根據(jù)題意，得，整理得解得，∵該商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存，∴，答：每件商品降價(jià)20元，商場(chǎng)日盈利可達(dá)2100元；（3）方法一：（根判別式法）根據(jù)題意可得，整理得∵關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，即，解得∴的最大值為2112.5故超市每天盈利最高可以達(dá)到2112.5元.方法二：（配方法）根據(jù)題意可得，整理得∴，∵，∴∴，即∴的最大值為2112.5故超市每天盈利最高可以達(dá)到2112.5元．題型八一元二次方程的應(yīng)用——面積問(wèn)題題型八一元二次方程的應(yīng)用——面積問(wèn)題57．哈市某展覽館計(jì)劃將長(zhǎng)60米，寬40米的矩形場(chǎng)館重新布置，展覽館的中間是個(gè)1500平方米的矩形展覽區(qū)，四周留有等寬的通道．(1)求通道的寬為多少米？(2)若展覽區(qū)用彩色地磚鋪設(shè)，鋪設(shè)每平方米需要80元，通道用白色地磚鋪設(shè)，鋪設(shè)每平方米需要60元，鋪設(shè)整個(gè)展館需要多少錢？【答案】(1)5米；(2)174000元．【分析】（1）設(shè)通道的寬為x米，則中間的矩形展覽區(qū)的長(zhǎng)為米，寬為米，根據(jù)中間的矩形展覽區(qū)的面積為1500平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）利用總價(jià)＝單價(jià)×面積，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)通道的寬為x米，則中間的矩形展覽區(qū)的長(zhǎng)為米，寬為米，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：通道的寬為5米．（2）解：（元）．答：鋪設(shè)整個(gè)展館需要174000元錢．58．勞動(dòng)是財(cái)富的源泉，也是幸福的源泉．某中學(xué)對(duì)勞動(dòng)教育進(jìn)行積極探索和實(shí)踐，創(chuàng)建學(xué)生勞動(dòng)教育基地，讓學(xué)生參與到農(nóng)耕勞作中．如圖，現(xiàn)準(zhǔn)備利用校園圍墻的一段（最長(zhǎng)可用），用總長(zhǎng)為的籬笆（靠墻一面不用籬笆）圍成一個(gè)矩形菜園．當(dāng)長(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形菜園的面積為？【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)長(zhǎng)度為，則，矩形菜園的面積為，由此可列出一元二次方程，解方程并檢驗(yàn)即可求解．【詳解】解：設(shè)當(dāng)長(zhǎng)度為時(shí)，矩形菜園的面積為，根據(jù)題意得：，解得：，，∵當(dāng)時(shí)，，即，不符合題意，∴舍去，∴當(dāng)長(zhǎng)度為時(shí)，矩形菜園的面積為．59．如圖，某小區(qū)建一長(zhǎng)方形電動(dòng)車充電棚，一邊靠墻（墻長(zhǎng)15米），另三邊用總長(zhǎng)25米的欄桿圍成，留1米寬的門，若想要建成面積為80平方米的電動(dòng)車充電棚，則車棚垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米？【答案】車棚垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為8米【分析】設(shè)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊的長(zhǎng)為米，根據(jù)電動(dòng)車充電棚的面積為80平方米，列出一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻長(zhǎng)15米，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米，則平行于墻的一邊的長(zhǎng)為米，依題意得：，整理得，解得：．當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意．答：車棚垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為8米．60．某廣場(chǎng)有一塊長(zhǎng)為100米，寬為60米的矩形空地，政府決定利用這塊空地上修建一橫兩縱的小路方便群眾通行，其他部分種植花草供群眾欣賞休閑，設(shè)三條小路的寬度均為x米．若種植花草的價(jià)格為10元/平方米，種植花草的總費(fèi)用為49500元，求修建的小路的寬度?！敬鸢浮啃藿ǖ男÷返膶挾葹?米【分析】三條小路的寬度均為x米，根據(jù)種植花草的總費(fèi)用為49500元，列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：由三條小路的寬度均為x米，根據(jù)題意得，，整理得，解得（不合題意舍去）∴修建的小路的寬度為5米61．如圖，用一段長(zhǎng)為34米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻矩形菜園，墻長(zhǎng)為18米，若矩形菜園的面積為140米，求矩形菜園垂直于墻的邊長(zhǎng)．【答案】10米【分析】設(shè)矩形菜園垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為米，根據(jù)矩形菜園的面積為140，列方程求解，然后由墻長(zhǎng)為18米檢驗(yàn)即可．【詳解】解：設(shè)矩形菜園垂直于墻的邊長(zhǎng)為米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為米．，解得：，．當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）；當(dāng)時(shí)，，符合題意．所以矩形菜園垂直于墻的邊長(zhǎng)為10米．題型九一元二次方程的應(yīng)用——其他問(wèn)題題型九一元二次方程的應(yīng)用——其他問(wèn)題62．去年8月以來(lái)，非洲豬瘟疫情在某國(guó)橫行，今年豬瘟疫情發(fā)生勢(shì)頭明顯減緩．假如有一頭豬患病，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64頭豬患病．(1)每輪傳染中平均每頭患病豬傳染了幾頭健康豬？(2)如果不及時(shí)控制，那么三輪傳染后，患病的豬會(huì)不會(huì)超過(guò)500頭？【答案】(1)每輪傳染中平均每頭豬傳染了7頭健康豬．(2)患病的豬會(huì)超過(guò)500頭，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每頭豬傳染了頭健康豬，根據(jù)一頭豬患病經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64頭豬患病，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)第三輪又被感染的豬的只數(shù)經(jīng)過(guò)兩輪感染后患病的豬的只數(shù)，即可求出結(jié)論，再進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均每頭豬傳染了頭健康豬，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均每頭豬傳染了7頭健康豬．（2）解：（頭）．患病的豬會(huì)超過(guò)500頭，答：患病的豬會(huì)超過(guò)500頭．63．直角三角形中“勾三股四弦五”這一特殊關(guān)系，在中國(guó)稱為“商高定理”，在國(guó)外又稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．由此發(fā)現(xiàn)三個(gè)連續(xù)正整數(shù)3，4，5，滿足，即前兩個(gè)數(shù)的平方和等于第三個(gè)數(shù)的平方．請(qǐng)你探究：是否存在五個(gè)連續(xù)正整數(shù)，滿足前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和？若存在，請(qǐng)求出這五個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】存在五個(gè)連續(xù)正整數(shù)，它們分別為：【分析】假定存在這樣的五個(gè)正整數(shù)，設(shè)其中第一個(gè)數(shù)為，則連續(xù)的其他四個(gè)數(shù)為：、、、，再根據(jù)題意，得出，解出然后再根據(jù)題意，得出符合題意的的值，進(jìn)而即可得出第一個(gè)正整數(shù)，再通過(guò)計(jì)算即可得出這五個(gè)正整數(shù)．【詳解】解：假定存在這樣的五個(gè)正整數(shù)，設(shè)其中第一個(gè)數(shù)為，則連續(xù)的其他四個(gè)數(shù)為：、、、，∴可得：，解得：或，∵這五個(gè)數(shù)為正整數(shù)，∴，∴，，，，∴這五個(gè)正整數(shù)為：，∴存在五個(gè)連續(xù)正整數(shù)，它們分別為：．64．為了提升干線公路美化度，相關(guān)部門擬定派一個(gè)工程隊(duì)對(duì)39000米的公路進(jìn)行路面“白改黑”工程．該工程隊(duì)計(jì)劃使用一大一小兩種型號(hào)設(shè)備交替的方式施工，原計(jì)劃小型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面30米，大型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面60米．(1)由于小型設(shè)備工作效率