專題45相似三角形（全章直通中考）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題4.5相似三角形（全章直通中考）（基礎(chǔ)篇）【要點(diǎn)回顧】【要點(diǎn)1】比例線段的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：；（2）合比性質(zhì)：?＝；（3）等比性質(zhì)：；【要點(diǎn)2】平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則，.【要點(diǎn)3】平行線分線段成比例推論推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若∥，則，.【要點(diǎn)4】黃金分割點(diǎn)把線段分成兩條線段和，如果，那么線段被點(diǎn)黃金分割．其中點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比．【要點(diǎn)5】相似多邊形的性質(zhì)（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.（2）相似多邊形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點(diǎn)6】相似多邊形的判定(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．(4)滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.【要點(diǎn)7】相似三角形的性質(zhì)（1）對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．（2）周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）若，則（

）A．6 B． C．1 D．2．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）A． B．1 C． D．23．（2019·甘肅·中考真題）如圖，將圖形用放大鏡放大，應(yīng)該屬于（

）．A．平移變換 B．相似變換 C．旋轉(zhuǎn)變換 D．對(duì)稱變換4．（2015·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABCC． D．5．（2017·山東泰安·中考真題）如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)．若，，則的長為（）A．18 B． C． D．6．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．7．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D、E分別為中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G在上，且，則四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．8．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（

）

A． B． C． D．9．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．10．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（）A．DE：BC＝1：2 B．ADE與ABC的面積比為1：3C．ADE與ABC的周長比為1：2 D．DEBC填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為．12．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使．13．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)F．若，則．

14．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度如圖，點(diǎn)，，在同一水平線上，和均為直角，與相交于點(diǎn)．測得，則樹高m．

15．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，若的面積是，則的面積是．

16．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，點(diǎn)在線段上．若，則和的周長之比為．

17．（2021·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，過點(diǎn)B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，垂足為N．若，則MN的長為．18．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，已知，則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2013·湖南益陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．20．（8分）（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．（1）證明：；（2）若，求的長．21．（10分）（2017·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形中，，平分，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）若與相交于點(diǎn)，，，求的長.22．（10分）（2021·廣西貴港·統(tǒng)考中考真題）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法），如圖，已知ABC，且AB＞AC．（1）在AB邊上求作點(diǎn)D，使DB＝DC；（2）在AC邊上求作點(diǎn)E，使ADE∽ACB．23．（10分）（2021·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，在和中，，．（1）求證：；（2）若，，求的長．24．（12分）（2014·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠CAB的平分線分別交BD、BC于點(diǎn)E、F，作BH⊥AF于點(diǎn)H，分別交AC、CD于點(diǎn)G、P，連接GE、GF．（1）求證：△OAE≌△OBG．（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形?若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．（3）試求：的值（結(jié)果保留根號(hào)）．參考答案1．A【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可得出結(jié)果．解：等式兩邊乘以，得，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．C【分析】過點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．解：過點(diǎn)作五條平行橫線的垂線，交第三、四條直線，分別于、，根據(jù)題意得，∵，∴，又∵，∴故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)放大鏡成像的特點(diǎn)，結(jié)合各變換的特點(diǎn)即可得出答案．解：根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出．4．D解：A．當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．當(dāng)時(shí)，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．無法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)正確．故選：D．5．B解：先由四邊形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，可得MC=12﹣5=7，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，得出△ABM∽△MCG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，故可得出CG=，再求出DG=12﹣=，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△MCG∽△EDG，即可得出，即，解得DE=．故選B．考點(diǎn)：1、相似三角形的判定與性質(zhì)；2、勾股定理；3、正方形的性質(zhì)6．C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】連接，首先得到，，然后證明出，進(jìn)而得到，然后利用三角形面積公式求出，最后利用求解即可．解：如圖所示，連接，

∵D、E分別為中點(diǎn)，∴，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線的性質(zhì)，三角形面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上要點(diǎn)．8．B【分析】根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出，再利用垂直求，最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案.解：如圖所示，

由圖可知，，，.根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，∴，∴，，，.小菲的眼睛離地面高度為，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，，，...故選：B.【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì).9．C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．解：∵，∴AD：AB=AE：AC=1：3，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：3，故A錯(cuò)誤；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE與△ABC的面積比為1：9，周長的比為1：3，故B和C錯(cuò)誤；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．故D正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．11．【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個(gè)無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．解：弦，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．12．∠ADE=∠B（答案不唯一）．【分析】已知有一個(gè)公共角，則可以再添加一個(gè)角從而利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定或添加夾此角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例也可以判定．解：解∶∵∠A=∠A，∴根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可添加條件∠ADE=∠B或∠AED=∠C證相似；根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，可添加條件證相似．故答案為∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】此題考查了本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．13．【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進(jìn)一步即可得到答案．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)題意可得，然后相似三角形的性質(zhì)，即可求解．解：∵和均為直角∴，∴，∴∵，∴,故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．27【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，很容易證明∽，相似三角形之比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方，即可求出的面積．解：四邊形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)生要靈活應(yīng)用．掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可求出答案．解：，，設(shè)周長為，設(shè)周長為，和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，．．和的周長之比為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握位似圖形性質(zhì)．17．【分析】根據(jù)MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因?yàn)?列出關(guān)于MN的方程，即可求出MN的長．解：∵M(jìn)N⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對(duì)應(yīng)邊之比的等量關(guān)系．18．【分析】先根據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積比等于邊長比，得出，再根據(jù)△AOD∽△COB得出，再根據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積比等于邊長比計(jì)算即可解：作AE⊥BC，CF⊥BD∵∴△ABD和△BCD等高，高均為AE∴∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴∵△BOC和△DOC等高，高均為CF∴∴故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等高的兩個(gè)三角形的面積比等于邊長比，熟練掌握三角形的面積的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵19．證明見分析．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明．解：∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，正確找到相似的條件是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出，根據(jù)等角的余角相等，得出，結(jié)合公共角，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：（1）證明：∵是斜邊上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．（1）證明見分析（2）試題分析：（1）直接利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；（2）首先過點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，進(jìn)而得出△CPM∽△APD，求出EC的長即可得出答案．解：（1）∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：過點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴，設(shè)CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴，解得：x=，故AE=1﹣=．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)22．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接即可．（