第24講暑期檢測（提升卷）

絕密★啟用前|試題命制中心第24講暑期檢測（提升卷）考生注意：本試卷共21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘．本試卷分設試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．答卷前，務必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫姓名、準考證號碼等相關信息．填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1．（上海市奉賢中學高三開學考試）拋物線的焦點為橢圓的右焦點，頂點在橢圓的中心，則拋物線方程為________【答案】【分析】由橢圓方程可求得右焦點坐標，從而得到，求得后即可得到拋物線方程.【詳解】由橢圓方程知，橢圓右焦點為設拋物線方程為：，則拋物線方程為：故答案為【點睛】本題考查拋物線方程的求解，關鍵是能夠根據(jù)橢圓標準方程求得焦點坐標，屬于基礎題.2．（2020·寶山區(qū)·上海交大附中高三開學考試）如果方程的兩個根為、，那么的值為________【答案】【分析】先對方程進行因式分解變形得，求出的值，即可得答案；【詳解】，或，，，故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.3．（2020·華東師范大學附屬天山學校高三開學考試）已知是R上的奇函數(shù)，則“”是“f

”的__________條件．選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”【答案】充分不必要【分析】利用奇函數(shù)的定義：若，則，則f

，可證明充分性成立；反之，通過舉出反例令f

，當時，滿足f

，但，則必要性不成立．【詳解】函數(shù)f

是奇函數(shù)，若，則，則f

，即f

成立，即充分性成立；若f

，滿足f

是奇函數(shù)，當時，滿足f

，此時滿足f

，但，即必要性不成立．故“”是“f

”的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷以及函數(shù)的奇偶性，還考查分析求解問題的能力，屬于基礎題．4．（上海市七寶中學高三開學考試）（為虛數(shù)單位），則________【答案】【分析】設(),則,代入,整理后由復數(shù)相等的條件列式求得的值,根據(jù)的模為,即可求得.【詳解】設(),則,代入,得:故:根據(jù)的模為故答案為:.【點睛】本題主要考查復數(shù)相等和復數(shù)求模,明確復數(shù)的實部與虛部是解題關鍵,考查計算能力,屬于基礎題.5．（上海市控江中學高三開學考試）方程的解是【答案】【分析】利用換元法，結合指數(shù)方程和一元二次方程之間的關系進行求解即可．【詳解】由得，設t＝2x，則t＞0，則方程等價為t2+t2＝0，即（t+2）（t﹣1）＝0，解得t＝1，或t＝2（舍）由2x＝1得x＝0，故答案為．【點睛】本題主要考查指數(shù)的方程的求解，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解決本題的關鍵，屬于基礎題．6．（2021·上海市實驗學校高三開學考試）若函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為個，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】令，根據(jù)二倍角公式可得，即可求出函數(shù)的零點，從而求出參數(shù)的范圍；【詳解】解：令，得，即，故當時，零點分別為，因為函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為個，所以.即故答案為：7．（2020·上海青浦區(qū)·復旦附中青浦分校高三開學考試）已知向量，滿足，，則的取值范圍是_____________.【答案】【分析】設向量的夾角為，由余弦定理有：，，令，平方得，由余弦函數(shù)的值域可得答案.【詳解】設向量的夾角為，由余弦定理有：，，則，令，則，又，所以，當時，有最大值20，當時，有最小值16，所以：，即的取值范圍是．故答案為：【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，運用向量的數(shù)量積運算求向量的模，再由函數(shù)的值域求向量的模的最值的問題，屬于中檔題.8．（2020·寶山區(qū)·上海交大附中高三開學考試）在平面直角坐標系中，已知，是上的兩個不同的動點，滿足，且恒成立，則實數(shù)最小值是________【答案】49【分析】因為，可知是的垂直平分線，，設，、、的長即可用表示，再利用余弦定理表示，利用數(shù)量積的定義將用表示，，利用函數(shù)求出，即得最小值.【詳解】如圖圓心，，因為，

所以是的垂直平分線，設與相交于點，則點是的中點，設，則，，恒成立，所以，在中，由余弦定理得：，所以，，因為，所以時，，即所以，故實數(shù)最小值是，故答案為：49【點睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的定義，余弦定理，勾股定理，恒成立問題，求二次函數(shù)的最值，屬于綜合性題目，屬于中檔題.9．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學高三開學考試）如圖，已知，為的中點，分別以?為直徑在的同側作半圓，?分別為兩半圓上的動點(不含端點??)，且，則的最大值為___________.【答案】【分析】以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，求得的坐標，可得以為直徑的半圓方程，以為直徑的半圓方程，設出的坐標，由向量數(shù)量積的坐標表示，結合三角函數(shù)的恒等變換可得，再由余弦函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計算可得最大值．【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，可得

以為直徑的半圓方程為以為直徑的半圓方程為，

設，可得即有，即又可得，即，，則可得即時，的最大值為，

故答案為：1．【點睛】關鍵點睛：本題考查向量的坐標運算，向量的數(shù)量積的坐標表示以及圓的參數(shù)方程的運用，三角函數(shù)的恒等變換，解答本題的關鍵是建立平面坐標系，得出，，由得出，由，屬于中檔題.10．（2020·華東師范大學附屬天山學校高三開學考試）若直角坐標系內(nèi)兩點滿足：（1）點都在的圖像上；（2）點關于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“姊妹點對”，點對與可看作一個“姊妹點對”.已知函數(shù)，則的“姊妹點對”有__________個．【答案】2【解析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖象關于原點對稱的圖象，以及函數(shù)的圖像，如下圖，觀察圖象可得：它們的交點個數(shù)是個；即的“姊妹點對”有個．點睛：根據(jù)題意：“姊妹點”，可知，欲求的“姊妹點”，只須作出函數(shù)的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)交點個數(shù)即可．11．（2021·上海市實驗學校高三開學考試）已知?與?是4個不同的實數(shù)，若關于的方程的解集不是無限集，則集合中元素的個數(shù)構成的集合為___________.【答案】【分析】將該題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點問題，為了簡化問題，特殊化成研究關于的方程，也即是函數(shù)和的圖像的交點問題.畫出分段函數(shù)的圖像，通過取特殊值可以判斷出有1個交點，而0個交點和2個交點都是不可能的，需要用反證法去證明.設點，，，，借助斜率公式、絕對值三角不等式以及不等式的性質(zhì)，導出矛盾，從而說明0個交點和2個交點是不可能的，最終得出集合只能有1個元素.【詳解】轉(zhuǎn)化為和圖像交點，為了簡化問題，我們可以研究，，設，，設，，，，①由圖像易知，1個交點容易得到，如時，可求得唯一一個交點為而0個交點和2個交點都是不可能的.②假設有0個交點，由題意，，∴，，∴，而由三角不等式，，故矛盾，∴不可能有0個交點；③假設有2個交點，，，∴，，∴，明顯矛盾，∴不可能有2個交點.其他0個交點和2個交點的情況均可化歸為以上兩類.綜上所述，解集不是無限集時，集合的元素個數(shù)只有1個.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是將方程的解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)，其中兩個分段函數(shù)可以用特值法固定一個，再討論另一個函數(shù)的情況.12．（2019·上海普陀區(qū)·曹楊二中高三開學考試）若數(shù)列滿足，且對任意都有，則的最小值為________.【答案】8【分析】根據(jù)題意，分析數(shù)列的前5項，結合遞推公式分析可得在在中，最大為，設，分析可得，且，將其變形可得，可以得到數(shù)列是首項為﹣2，公比為的等比數(shù)列，結合等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列通項公式，則有，據(jù)此分析恒成立可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列滿足當時，有，則，，分析可得：在中，最大為，設，則有，且，變形可得：，所以數(shù)列是首項為6﹣8＝﹣2，公比為的等比數(shù)列，則，則，即，又為遞增數(shù)列，且，所以若對任意任意都有成立，則，即的最小值為8；故答案為8【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，注意查找規(guī)律，分析局部數(shù)列的性質(zhì)是解題的關鍵，屬于難題.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．（2020·華東師范大學附屬天山學校高三開學考試）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，則的解集是（）A．(0，e) B．(1，2) C．(0，1) D．(2，e)【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集可得當時，，從而可得，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】是二次函數(shù)，不等式的解集是，可得時，，所以時，則，解得，所以的解集是(0，1).故選：C【點睛】本題考查了一元二次不等式的解集、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.14．（上海黃浦區(qū)·格致中學高三開學考試）若，滿足約束條件，則的最大值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】作出可行域,,比較斜率的大小找到最優(yōu)解,根據(jù)最優(yōu)解求得最大值.【詳解】作出可行域,如圖所示:將目標函數(shù)化為斜截式可得:,根據(jù)圖象,比較斜率的大小可知,最優(yōu)解為點,聯(lián)立,解得,所以,將代入目標函數(shù)可得的最大值為6.故選:C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最大值,屬于中檔題.15．（2020·上海市行知中學高三開學考試）已知平面上點O與線段，若線段上有個異于端點A、B的互異動點、、、，且滿足，、，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)共線求得的關系式，結合基本不等式求得的取值范圍.【詳解】，所以對任意均成立，并且當且僅當時等號成立.由于共線，所以，由于在線段上且異于端點，結合以及平行四邊形法則可知.若，此時為線段中點，僅有點，但.所以.故選：B【點睛】本小題主要考查基本不等式，屬于中檔題.16．（2021·上海市實驗學校高三開學考試）單調(diào)遞增的數(shù)列中共有項，且對任意，和中至少有一個是中的項，則的最大值為（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】假設是中大于0的最大的4項，由題意得和中至少有一個是中的項，得到，進而得到和都不是中的項，再由題意得和中至少有一個是中的項，得到以，得出中大于0的最多有3項，進而得出存在數(shù)列滿足題意，得到答案.【詳解】假設是中大于0的最大的4項，對于來說，因為，所以和都不是中的項，又由題意得和中至少有一個是中的項，所以是中的項，且，所以，對于來說，因為，所以和都不是中的項，又由題意得和中至少有一個是中的項，所以是中的項，且，所以，所以，矛盾，所以中大于0的最多有3項，同理，中小于0的最多有3項，加上0，故的最大值為7，此時存在數(shù)列滿足題意.故選C.【點睛】與數(shù)列的新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟．17．（2020·寶山區(qū)·上海交大附中高三開學考試）已知函數(shù).（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集；（3）若不等式，對于任意的，任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）圖像見解析；（2）；（3）或.【分析】（1）根據(jù)絕對值定義去掉絕對值符號化函數(shù)為函數(shù)形式，然后可分段作出函數(shù)圖象；（2）把函數(shù)的圖像向左平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖像，由圖象可得不等式的解；（3）首先由圖象得的最小值，然后問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，引入函數(shù)，這是關于的一次函數(shù)，由一次函數(shù)性質(zhì)易得結論．【詳解】（1）由題設知的圖像如圖所示.（2）函數(shù)的圖像向左平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖像，的圖像與的圖像的交點坐標為，由圖像可知當且僅當時，的圖像在的圖像上方，∴不等式的解集為．（3）由函數(shù)圖像性質(zhì)可知，當時，取得最小值，則原問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，即對任意恒成立，記函數(shù)，要使對任意恒成立，只需，即，解得：或.【點睛】本題考查作含絕對值函數(shù)圖象，用圖象解不等式，考查不等式恒成立問題，不等式恒成立問題的關鍵是轉(zhuǎn)化，一是轉(zhuǎn)化為求出函數(shù)的最小值，二是轉(zhuǎn)化為與一次函數(shù)有關的不等關系．18．（2021·寶山區(qū)·上海交大附中高三開學考試）在平面直角坐標系中，已知，，動點滿足，動點的軌跡記為.（1）求曲線的方程；（2）若點也在曲線上，且，求的面積；（3）是否存在常數(shù)，使得對動點恒有成立？請給出你的結論和理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在滿足題意，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義，結合焦點坐標，寫出雙曲線方程；（2）設，根據(jù)條件寫出，代入雙曲線方程，解得兩點坐標，從而求得面積；（3）不妨設在第一象限，則，，設，表示出斜率，，證得，從而.【詳解】（1）根據(jù)定義動點的軌跡是以，為焦點，實軸長為2的雙曲線右支，故曲線右支的方程為（2）設，則且，故因為，均在曲線上，所以當時，，的面積為；當時，，的面積為；綜上，的面積為（3）當時，易知，，若存在，則.不妨設在第一象限，則，，設，則，，即，綜上，存在滿足題意.19．（2020·寶山區(qū)·上海交大附中高三開學考試）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；（3）設點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．【答案】（1）6；（2）4；（3）或.【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可得，從而可求出的周長；（2）設，根據(jù)點在橢圓上，且在第一象限，，求出，根據(jù)準線方程得點坐標，再根據(jù)向量坐標公式，結合二次函數(shù)性質(zhì)即可出最小值；（3）設出設，點到直線的距離為，由點到直線的距離與，可推出，根據(jù)點到直線的距離公式，以及滿足橢圓方程，解方程組即可求得坐標.【詳解】（1）∵橢圓的方程為∴,由橢圓定義可得：.∴的周長為（2）設，根據(jù)題意可得.∵點在橢圓上，且在第一象限，∴∵準線方程為∴∴，當且僅當時取等號.∴的最小值為.（3）設，點到直線的距離為.∵，∴直線的方程為∵點到直線的距離為，∴∴∴①∵②∴聯(lián)立①②解得，.∴或.【點睛】本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓相交問題、點到直線距離公式的運用，熟悉運用公式以及根據(jù)推出是解答本題的關鍵.20．（2020·上海市行知中學高三開學考試）定義：有限非空數(shù)集的所有元素的“乘積”稱為數(shù)集的“積數(shù)”，例如：集合，其“積數(shù)”.（1）若有限數(shù)集，求證：集合的所有非空子集的“積數(shù)”之和滿足；（2）根據(jù)（1）的結論，對于有限非空數(shù)集（），記集合A的所有非空子集的“積數(shù)”之和，試寫出的表達式，并利用“數(shù)學歸納法”給予證明；（3）若有限集，①試求由中所有奇數(shù)個元素構成的非空子集的“積數(shù)”之和奇數(shù)；②試求由中所有偶數(shù)個元素構成的非空子集的“積數(shù)”之和偶數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）；證明見解析；（3）①；②.【分析】（1）寫出的所有非空子集，然后計算積數(shù)，并變形可證；（2）猜想，用數(shù)學歸納法證明；（3）設的元素個數(shù)為奇數(shù)個的所有非空子集的“積數(shù)”之和為，元素個數(shù)為偶數(shù)個的所有非空子集的“積數(shù)”之和為，則，構造集合，則，的元素個數(shù)為奇數(shù)個的所有非空子集的“積數(shù)”之和為，元素個數(shù)為偶數(shù)個的所有非空子集的“積數(shù)”之和為，兩者結合可得．【詳解】（1）證明：集A有七個非空子集“積數(shù)”之和，即（2）解：有限數(shù)集，可得數(shù)集A中的所有非空子集的“積數(shù)”之和；下面，證明（數(shù)學歸納法），改變一下記號，的積數(shù)和記為．當時，命題成立；當時，，假設命題成立；當時，由于，即在原來A中k個元素的基礎上增加一個元素，那么集合中所有非空子集含蓋了A中的所有非空子集，并增加了含有元素的子集，共個故它的“積數(shù)”之和包括，再增加了，即因此，對一切命題成立.（3）解，有限數(shù)集的所有子集的積數(shù)之和，設集