課時(shí)分層作業(yè)15離散型隨機(jī)變量的均值

課時(shí)分層作業(yè)(十五)離散型隨機(jī)變量的均值(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則Eξ的值為()ξ012345P2x3x7x2x3xxA.eq\f(1,18)B．eq\f(1,9)C．eq\f(20,9)D．eq\f(9,20)C[根據(jù)概率和為1，可得x＝eq\f(1,18)，Eξ＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝eq\f(20,9).]2．某射擊運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次擊中10環(huán)得1分，擊不中10環(huán)得0分．已知他擊中10環(huán)的概率為0.8，則射擊一次得分X的期望是()A．0.2 B．0.8C．1 D．0B[因?yàn)镻(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以EX＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.]3．袋子裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任取3個(gè)球，用X表示取出的球的最大號(hào)碼，則EX＝()A．4 B．5C．4.5 D．4.75C[X＝3,4,5，其分布列為X345Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(6,10)∴EX＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(6,10)＝4.5.]4．設(shè)ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又設(shè)η＝2ξ＋5，則Eη等于()A．eq\f(7,6)B．eq\f(17,6)C．eq\f(17,3)D．eq\f(32,3)D[Eξ＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(17,6)，所以Eη＝E(2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).]5．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，用X表示取到次品的個(gè)數(shù)，則EX等于()A．eq\f(3,5)B．eq\f(8,15)C．eq\f(14,15)D．1A[X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).所以EX＝1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).]二、填空題6．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值Eξ＝8.9，則y的值為_(kāi)_______．0.4[依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋0.1＋0.3＋y＝1，,7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0.6，,7x＋10y＝5.4，))解得y＝0.4.]7．某船隊(duì)若出海后天氣好，可獲得5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元；若不出海也要損失1000元．根據(jù)預(yù)測(cè)知天氣好的概率為0.6，則出海的期望效益是________元．2200[出海的期望效益Eξ＝5000×0.6＋(1－0.6)×(－2000)＝3000－800＝2200(元)．]8．一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字0，兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1，一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是________．eq\f(4,9)[隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,4，P(X＝0)＝eq\f(3,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,9)，P(X＝2)＝eq\f(1,9)，P(X＝4)＝eq\f(1,36)，因此EX＝eq\f(4,9).]三、解答題9．某俱樂(lè)部共有客戶3000人，若俱樂(lè)部準(zhǔn)備了100份小禮品，邀請(qǐng)客戶在指定時(shí)間來(lái)領(lǐng)取．假設(shè)任一客戶去領(lǐng)獎(jiǎng)的概率為4%.問(wèn)俱樂(lè)部能否向每一位客戶都發(fā)出領(lǐng)獎(jiǎng)邀請(qǐng)？[解]設(shè)來(lái)領(lǐng)獎(jiǎng)的人數(shù)ξ＝k(k＝0,1，…，3000)，∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3000)(0.04)k(1－0.04)3000－k，則ξ～B(3000,0.04)，那么Eξ＝3000×0.04＝120(人)>100(人)．∴俱樂(lè)部不能向每一位客戶都發(fā)送領(lǐng)獎(jiǎng)邀請(qǐng)．10．某游戲射擊場(chǎng)規(guī)定：①每次游戲射擊5發(fā)子彈；②5發(fā)全部命中獎(jiǎng)勵(lì)40元；命中4發(fā)不獎(jiǎng)勵(lì)，也不必付款；命中3發(fā)或3發(fā)以下，應(yīng)付款2元．現(xiàn)有一游客，其命中率為0.5.(1)求該游客在一次游戲中5發(fā)全部命中的概率；(2)游客在一次游戲中獲得獎(jiǎng)金y的分布列及均值．[解](1)設(shè)5發(fā)子彈命中X(X＝0,1,2,3,4,5)發(fā)，則由題意有P(X＝5)＝Ceq\o\al(5,5)0.55＝eq\f(1,32).(2)由(1)知X的分布列為X012345Peq\f(1,32)eq\f(5,32)eq\f(10,32)eq\f(10,32)eq\f(5,32)eq\f(1,32)設(shè)游客在一次游戲中獲得獎(jiǎng)金金額為Y元，于是Y的分布列為Y－2040Peq\f(26,32)eq\f(5,32)eq\f(1,32)故該游客在一次游戲中獲得獎(jiǎng)金的均值EY＝(－2)×eq\f(26,32)＋0×eq\f(5,32)＋40×eq\f(1,32)＝－0.375(元)．[能力提升練]1．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)m若η＝aξ＋3，Eη＝eq\f(7,3)，則a＝()A．1 B．2C．3 D．4B[由分布列的性質(zhì)得eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋m＝1，∴m＝eq\f(1,6).∴Eξ＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).∴Eη＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－eq\f(1,3)a＋3＝eq\f(7,3)，∴a＝2.]2．甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車(chē)床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X表示甲車(chē)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙車(chē)床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)一段時(shí)間考察，X，Y的分布列分別是：X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判定()A．甲比乙質(zhì)量好 B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同 D．無(wú)法判定A[EX＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，EY＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.由于EY>EX，故甲比乙質(zhì)量好．]3．某電視臺(tái)開(kāi)展有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，每次要求答30個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)正確答案，每一題選對(duì)得5分，選錯(cuò)或不選得0分，滿分150分，規(guī)定滿100分拿三等獎(jiǎng)，滿120分拿二等獎(jiǎng)，滿140分拿一等獎(jiǎng)，有一選手選對(duì)任一題的概率是0.8，則該選手可望能拿到________等獎(jiǎng)．二[選對(duì)題的個(gè)數(shù)X～B(30,0.8)，所以EX＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可望能拿到二等獎(jiǎng)．]4．一只青蛙從數(shù)軸的原點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)投下的硬幣正面向上時(shí)，它沿?cái)?shù)軸的正方向跳動(dòng)兩個(gè)單位；當(dāng)投下的硬幣反面向上時(shí)，它沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向跳動(dòng)一個(gè)單位．若青蛙跳動(dòng)4次停止，設(shè)停止時(shí)青蛙在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為X，則EX＝__________.2[所有可能出現(xiàn)的情況分別為：硬幣4次都反面向上，則青蛙停止時(shí)坐標(biāo)為x1＝－4，此時(shí)概率p1＝eq\f(1,16)；硬幣3次反面向上而1次正面向上，則青蛙停止時(shí)坐標(biāo)為x2＝－1，此時(shí)概率p2＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,16)；硬幣2次反面向上而2次正面向上，則青蛙停止時(shí)坐標(biāo)為x3＝2，此時(shí)概率p3＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)＝eq\f(6,16)；硬幣1次反面向上而3次正面向上，則青蛙停止時(shí)坐標(biāo)為x4＝5，此時(shí)概率p4＝Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(4,16)；硬幣4次都正面向上，則青蛙停止時(shí)坐標(biāo)為x5＝8，此時(shí)概率p5＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(4)＝eq\f(1,16).∴EX＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5＝2.]5．如圖形狀的三個(gè)游戲盤(pán)中(圓形游戲盤(pán)的兩個(gè)同心圓的半徑之比是1∶2)，各有一個(gè)玻璃小球．依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤(pán)后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．(1)一局游戲后，這三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分的概率是多少？(2)一局游戲后，用X表示小球停在陰影部分的次數(shù)與小球沒(méi)有停在陰影部分的次數(shù)之差的絕對(duì)值，求X的分布列及均值．[解](1)一局后，三個(gè)盤(pán)中的小球停在陰影部分分別記為事件A1、A2、A3，由題意A1、A2、A3相互獨(dú)立，且P(A1)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(1,4)，P(A3)＝eq\f(1,3).A1∩A2∩A3表示三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分．P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,24).(2)一局后，小球停在陰影部分的次數(shù)可能取值為0、1、2、3，相應(yīng)的小球沒(méi)有停在陰影部分的次數(shù)可能取值為3、2、1、0，所以X的可能取值為1、3.則P(X＝3)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(eq\x\to(A1)∩eq\x\to(A2)∩eq\x\to(A3))＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(eq\x\to(A1