《機(jī)械設(shè)計基礎(chǔ) 》課件第3章

第3章空間力系3.1力的投影和力對軸之矩

3.2空間力系的平衡思考與練習(xí)題本章主要研究空間力系的平衡問題。

如果力系中各力的作用線不全在同一平面內(nèi)，則該力系被稱為空間力系。與平面力系一樣，空間力系可分為空間匯交力系、空間平行力系及空間任意力系。

在工程實際中，經(jīng)常會遇到空間力系的問題，例如車床主軸、起重設(shè)備、絞車等，設(shè)計這些結(jié)構(gòu)時，必須用空間力系的平衡條件進(jìn)行計算。

3.1.1力在空間直角坐標(biāo)軸的投影和分解

力在空間直角坐標(biāo)軸上投影的概念與力在平面坐標(biāo)軸上投影的概念相同，但計算方法有一定差別。力在空間直角坐標(biāo)軸的投影有兩種計算方法：直接投影法和二次投影法。3.1力的投影和力對軸之矩

1.直接投影法

空間直角坐標(biāo)軸如圖3-1所示，已知力F與三個坐標(biāo)軸的夾角分別為α、β、γ，則力在空間坐標(biāo)軸上的投影Fx、Fy、Fz分別為

(3-1)

力在空間直角坐標(biāo)軸上投影正負(fù)的規(guī)定與平面投影正負(fù)的規(guī)定相同。

圖3-1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

2.二次投影法

當(dāng)力F與坐標(biāo)軸Ox、Oy間的夾角無法確定時，可先將力F投影到平面Oxy上，得到力F在平面Oxy的投影Fxy，然后再把Fxy投影到x、y軸上，得到力F分別在x、y軸的投影Fx、Fy。而力F在z軸上的投影Fz可按照一次投影法求得。如圖3-2所示，已知力F與z軸的夾角為γ，力F和z軸確定的平面與x軸的夾角為j，則用二次投影法得到的Fx、Fy、Fz可表示如下：

(3-2)

注意：力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，而力在平面上的投影是矢量。

圖3-2二次投影法如果力F的三個投影為已知，則也可反過來求得該力的大小和方向，即

(3-3)

3.1.2力對軸之矩

在工程中，常常遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的實例，為了度量力使剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的作用效果，必須掌握力對軸之矩的概念。

如圖3-3所示，力F作用在門上，使門繞固定軸z轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將力F分解為平行于z軸的分力Fz和在垂直于z軸的平面的分力Fxy。由經(jīng)驗可知，分力Fz不能使門繞z軸轉(zhuǎn)動，只有分力Fxy才能使門繞z軸轉(zhuǎn)動。因此，力F對z軸之矩就是分力Fxy對O點之矩，即

Mz(F)＝Mz(Fxy)＝MO(Fxy)＝±Fxyd

(3-4)

式中，點O為分力Fxy所在的平面與z軸的交點；d為點O到分力Fxy的作用線的距離；力對軸之矩的單位為N·m或kN·m。

綜上可得，力對軸之矩就是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，其絕對值等于力在與該軸垂直的平面上的投影對該軸與平面交點之矩。力對軸之矩為代數(shù)量，其正負(fù)號規(guī)定如下：從z軸正向看去，使物體逆時針轉(zhuǎn)動的力矩為正；反之，為負(fù)。也可按右手螺旋法則來判定(如圖3-4所示)：用右手握住z軸，使四指指尖與物體轉(zhuǎn)動方向一致，若拇指指向z軸的正向，則力矩為正；反之，為負(fù)。圖3-3作用于門上的力的示意圖

圖3-4右手螺旋法則下面兩種情況下力不能使物體繞該軸轉(zhuǎn)動：

(1)力的作用線與軸相交時；

(2)力的作用線與軸平行時。也就是說，力與軸在同一平面時，力對該軸之矩等于零。3.1.3合力矩定理

空間力系與平面力系相同，也有合力矩定理，空間力系的合力FR對某軸之矩等于力系中各分力對同一軸之矩的代數(shù)和。其可表示為

(3-5)

例3-1

手柄ABCE在平面Axy內(nèi)(如圖3-5所示)，力F在垂直于y軸的平面上，與鉛垂線的夾角為α，其作用在D處。已知，CD＝b，桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，桿AB和BC的長度為l，求力F分別對x、y和z軸的矩。

解

(1)將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx和Fz兩個分力，它們的大小為

Fx＝Fsinα，F(xiàn)z＝Fcosα

圖3-5手柄(2)根據(jù)合力矩定理求得力F對各軸的矩。

3.2.1空間力系的簡化與簡化結(jié)果分析

1.空間力系的簡化

空間任意力系的簡化方法與平面任意力系相同，依據(jù)力的平移定律，將作用在剛體上的各力都平移到簡化中心O，同時增加一個相應(yīng)的附加力偶。這樣，將原來的空間任意力系等效轉(zhuǎn)化為一個空間匯交力系和一個空間力偶系。此空間匯交力系和空間力偶系再分別合成，可得到與其等效的一個力和一個力偶(如圖3-6所示)。3.2空間力系的平衡

圖3-6空間力系的等效轉(zhuǎn)化等效合力等于各力的矢量和，稱為力系的主矢 ，主矢與簡化中心的位置無關(guān)；等效合力偶的矩矢等于各力對于點O的矩矢的矢量和，稱為力系對點O的主矩MO，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。

2.空間力系的簡化結(jié)果分析

空間任意力系向任一點簡化，可得到一力(主矢 )和一力偶(主矩MO)，但這并不是簡化的最終結(jié)果。根據(jù)主矢和主矩數(shù)值的不同，分析以下四種情況的最終結(jié)果：

1) ＝0，MO≠0

空間任意力系向任一點簡化，若主矢值 ＝0，而主矩值MO≠0，簡化的最終結(jié)果為一力偶。此力偶與原空間力系等效，即空間任意力系合成為一力偶。在這種情況下，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。

2) ≠0，MO＝0

空間任意力系向任一點簡化，若主矢值 ≠0，而主矩值MO＝0，簡化的最終結(jié)果為一力。此力與原空間力系等效，即空間任意力系合成為一合力。合力的作用線通過簡化中心O，其大小和方向等于力系的主矢。

3) ≠0，MO≠0

空間任意力系向任一點簡化，若主矢值 ≠0，主矩值MO≠0，簡化的最終結(jié)果有兩種情況。

(1)當(dāng)主矢 與主矩MO垂直時，主矢 和與主矩MO等效的力偶可以進(jìn)一步合成為一個力FR，此力與原力系等效，空間任意力系合成為一合力，其大小和方向等于力系的主矢(如圖3-7所示)。

圖3-7空間力系的合成

(2)當(dāng) 與MO不垂直時，空間任意力系簡化的最終結(jié)果為力螺旋。力螺旋就是由一力和一力偶組成的力系，且力垂直于力偶的作用面(如圖3-8所示)。力螺旋是由靜力學(xué)的兩個基本要素力和力偶組成的最簡單的力系，不能再進(jìn)一步合成。

圖3-8力螺旋

4) ＝0，MO＝0

空間任意力系向任一點簡化，若主矢值 ＝0，主矩值MO＝0，則剛體處于平衡狀態(tài)。3.2.2空間力系的平衡方程及其應(yīng)用

與平面力系相同，空間任意力系的平衡條件也是通過力系的簡化得出的。當(dāng)空間任意力系的主矢值和對任一點的主矩值都等于零時，剛體處于平衡狀態(tài)，所對應(yīng)的平衡方程為

(3-6)

即空間任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中各力分別在三個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零；力系中各力分別對三個坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和為零。

與平面力系一樣，空間特殊力系(如空間平行力系、空間匯交力系)的平衡方程，可以從空間任意力系的平衡方程中推導(dǎo)出來。推導(dǎo)過程略，讀者可依照平面力系的推導(dǎo)過程自行推導(dǎo)。空間匯交力系的平衡方程為

(3-7)

空間平行力系(設(shè)各力與z軸平行)的平衡方程為

(3-8)

空間任意力系獨立的平衡方程有6個，所以對于空間任意力系的平衡問題，最多只能求解6個未知量，如果未知量超過6個，就是超靜定問題；同樣，對于空間匯交力系和空間平行力系，只能求解3個未知量。解決空間力系平衡問題的基本方法和步驟與平面力系相同，可按如下三步求解：

(1)確定研究對象，取出分離體，畫受力圖，并選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸。

(2)列出相應(yīng)的平衡方程。

(3)解方程，求出未知量。

表3-1列出了常見的空間約束類型及其約束力的畫法。

表3-1常見的空間約束類型及其約束力的畫法3.2.3空間力系平衡問題的平面解法

解決空間力系的平衡問題，不僅可以應(yīng)用空間力系的平衡方程，還經(jīng)常采用平面解法。在工程實際中計算輪軸類零件的平衡問題時，常將其受到的各力分別投影到三個坐標(biāo)平面上，得到三個平面力系。證明可知，若空間力系平衡，則投影得到的三個平面力系也一定平衡。這樣，可把空間力系的平衡問題轉(zhuǎn)化為三個平面力系的平衡問題。這種把空間平衡問題轉(zhuǎn)化為平面平衡問題的方法，稱為空間力系的平面解法。

例3-2

如圖3-9(a)所示的傳動軸AB，已知兩齒輪的壓力角均為α＝20°，齒輪1、2的分度圓直徑分別為r1＝90mm，r2＝60mm，齒輪1的圓周力FT1＝2.64kN。求齒輪2的圓周力FT2及A、B兩軸承處的約束反力。

解(1)選軸AB及兩齒輪為整體為研究對象，畫受力圖，并選取適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)軸(如圖3-9(b)所示)。

(2)將各力分別在Azx平面、Azy平面及Axy平面投影，得到三個平面力系(如圖3-9(c)、(d)、(e)所示)。

圖3-9傳動軸

(3)分別對三個平面力系列相應(yīng)的平衡方程。

Azx平面：

得

Azy平面：

因得

Axy平面：

得

負(fù)號表示力的實際方向與假設(shè)方向相反。

說明：在Azx平面力的投影圖可以略去不畫，其方程可用空間受力圖中所有的力對y軸取矩代替，由此所列出的方程與根據(jù)Azx平面投影圖列出的方程相同，即

例3-3

車床主軸如圖3-10(a)所示，齒輪C的分度圓半徑R＝100mm，三爪卡盤D夾住一半徑r＝60mm的工件。車刀給工件的切削力Fx＝260N，F(xiàn)y＝505N，F(xiàn)z＝1388N，齒輪C在嚙合處受力為F，壓力角α＝20°。求力F的大小及A、B兩軸承處的約束反力。

圖3-10車床主軸

解

(1)選主軸及工件為研究對象，畫受力圖，并選取適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)軸(如圖3-10(b)所示)。

(2)在空間受力圖(圖3-10(b))中，所有的力對y軸取矩。

則F＝FT/cos20°＝886.2N。

(3)將各力分別在Azy平面及Axy平面投影，得到二個平面力系，如圖3-10(c)和(d)所示。

(4)分別對二個平面力系列相應(yīng)的平衡方程。

Azy平面：

因

得

Axy平面：得

3-1分析力F分別在軸上和在平面上的投影是代數(shù)量還是矢量。

3-2什么情況下力對軸之矩等于0？力對軸之矩的正負(fù)號如何判定？

3-3根據(jù)下列已知條件，分析力F在什么平面上:

(1)Fx＝0，∑Mx(F)≠0；(2)Fx≠0，∑Mx(F)＝0；

(3)Fx＝0，∑Mx(F)＝0；(4)∑Mx(F)＝0，∑My(F)＝0。思考與練習(xí)題

3-4試分析空間任意力系簡化的最終結(jié)果是什么。

3-5空間任意力系向3個相互垂直的坐標(biāo)平面投影，得到3個平面任意力系，而每個平面任意力系可列3個平衡方程，則一共有9個平衡方程。試問用平面解法能否求出空間任意力系中的9個未知量？為什么？

3-6空間力系的平面解法主要在什么情況下適用？

3-7物體的重心是否一定在物體的內(nèi)部？

3-8計算圖形的形心時，選取不同的坐標(biāo)系，形心坐標(biāo)的數(shù)值是否變化？形心在圖形上的位置是否變化？

圖3-11

3-9在邊長a＝120mm，b＝180mm，c＝200mm的六面體上(如圖311所示)，有力F1＝10kN，F(xiàn)2＝12kN，F(xiàn)3＝8kN，試計算力在三個坐標(biāo)軸上的投影。

3-10力F作用在半徑為r的斜齒輪上(如圖3-12所示)，已知α角和β角，求力F在三個坐標(biāo)軸上的投影及對y軸之矩。

3-11作用在水平輪上A點的力F＝800N(如圖3-13所示)，F(xiàn)在鉛垂平面內(nèi)并與過A點的切線的夾角為60°，OA與