《應(yīng)用數(shù)值分析》課件數(shù)值分析5.1-5.2線性方程組的數(shù)值解法

第5章線性方程組的數(shù)值解法線性方程組Ax=b的一般數(shù)值解法：適用于低階稠密方程組非零元素較多，零元素較少適用于大型稀疏方程組上萬階，零元素很多，非零元素很少評(píng)價(jià)求解Ax=b數(shù)值方法好壞的標(biāo)準(zhǔn)：§5.2線性方程組的性態(tài)及條件數(shù)

矩陣的基本運(yùn)算(5)單位矩陣(1)矩陣加法(2)矩陣與標(biāo)量的乘法(3)矩陣與矩陣乘法(4)轉(zhuǎn)置矩陣(6)非奇異矩陣

稱為非奇異矩陣.

如果均為非奇異矩陣，

設(shè)如果則稱是的逆矩陣，記為且則(7)矩陣的行列式

設(shè)則的行列式可按任一行(或列)展開，其中為的代數(shù)余子式，即

的余子式.為元素行列式性質(zhì)矩陣的特征值與譜半徑設(shè)若存在數(shù)（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）和非零向量，使（1）則稱為的特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量，稱為矩陣的譜半徑.（2）有非零解，

由(1)知可使齊次線性方程組

的全體特征值記為的譜，記作，即故系數(shù)行列式，記

為矩陣的特征多項(xiàng)式，方程(3)稱為矩陣的特征方程.（3）記行列式展開

因?yàn)榇未鷶?shù)方程復(fù)數(shù)域中有個(gè)根故故矩陣個(gè)特征值是它的特征方程(3)的個(gè)根.且（4）記（5）稱為的跡.

的特征值和特征向量的其他性質(zhì)：(1)與有相同的特征值.(2)若非奇異，則的特征值為，特征向量為.(3)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.矩陣的特征方程為故特征值為2,2，-7

例

求的特征值及譜半徑

的譜半徑為解

設(shè)(1)對(duì)角矩陣

(2)三對(duì)角矩陣(3)上三角矩陣(4)海森伯格（Hessenberg）陣(5)對(duì)稱矩陣

(6)埃爾米特矩陣(7)對(duì)稱正定矩陣

特殊矩陣(12)設(shè)矩陣，若且至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立，則稱矩陣為弱對(duì)角占優(yōu)陣，對(duì)所有不等式嚴(yán)格成立，則稱矩陣

為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣。若(8)正交矩陣(9)酉矩陣(10)初等置換陣單位矩陣交換第行與第行(或交換第列與第列)(11)置換陣

（為交換第行與第行得到的矩陣）；（為交換第列與第列得到的矩陣）；由初等置換陣的乘積得到的矩陣.

定理1

設(shè)則下述命題等價(jià)：(1)對(duì)任何方程組有唯一解.(2)齊次方程組只有唯一解.(4)存在.(5)的秩(3)或的特征值定理2

設(shè)為對(duì)稱矩陣.如果則為對(duì)稱正定陣.定理3

設(shè)為對(duì)稱正定陣，則(1)

為非奇異矩陣，且亦是對(duì)稱正定陣.(2)

記為的順序主子陣，則亦是對(duì)稱正定矩陣，其中(3)

的特征值(4)

的順序主子式都大于零，即

定理4(若爾當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)型)設(shè)為階矩陣，則存在一個(gè)非奇異矩陣使