新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)大題優(yōu)練8 圓錐曲線定值定點(diǎn)問題（教師版）

圓錐曲線定值定點(diǎn)問題圓錐曲線定值定點(diǎn)問題大題優(yōu)練8優(yōu)選例題優(yōu)選例題例1．設(shè)橢圓SKIPIF1<0，O為原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是x軸上一定點(diǎn)，已知橢圓的長軸長等于SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓的方程；（2）直線SKIPIF1<0與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)M，N，已知M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，N關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓C的方程為SKIPIF1<0．（2）證明：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．①由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以直線l的方程為SKIPIF1<0，即直線l恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0．例2．已知SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓的上頂點(diǎn)，SKIPIF1<0是面積為SKIPIF1<0的直角三角形．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)圓SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，問：SKIPIF1<0是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）是定值，定值為SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0為直角三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）當(dāng)切線SKIPIF1<0的斜率不存在時，其方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；同理當(dāng)SKIPIF1<0時，也有SKIPIF1<0．當(dāng)切線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0．

模擬優(yōu)練模擬優(yōu)練1．已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓的一個頂點(diǎn)，SKIPIF1<0是等腰直角三角形．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0分別作直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，設(shè)兩直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，探究：直線SKIPIF1<0是否過定點(diǎn)，并說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，理由見解析．【解析】（1）由點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓的一個頂點(diǎn)，可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是等腰直角三角形，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）若直線SKIPIF1<0的斜率存在，設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，依題意SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0；若直線SKIPIF1<0的斜率不存在，設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，顯然過點(diǎn)SKIPIF1<0，綜上，直線SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0．2．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若直線SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，記直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，探究：SKIPIF1<0是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）是定值，定值為SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是定值，且定值是SKIPIF1<0．3．已知橢圓SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點(diǎn)在橢圓SKIPIF1<0上．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）如圖，橢圓SKIPIF1<0的上、下頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于兩個不同的點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0面積的最大值；②當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0時，試問：點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)是否是定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0；②是，1．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）①設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，∴SKIPIF1<0的面積的最大值為SKIPIF1<0．②由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)為定值1．4．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求橢圓C的方程及A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)B．過點(diǎn)B的直線與C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，記點(diǎn)A在x軸上的投影為G，T為BG的中點(diǎn)，直線AE，AF與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)．試探究SKIPIF1<0是否為定值?若為定值，求出此定值；否則，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0．【解析】（1）設(shè)橢圓SKIPIF1<0的半焦距為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將橢圓SKIPIF1<0的方程與直線SKIPIF1<0的方程聯(lián)立得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0．（2）將SKIPIF1