甘肅省隴南市第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期11月期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024年隴南一中高三級(jí)第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)卷數(shù)學(xué)（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）第I卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)為（

）A． B． C． D．2．已知為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則（

）．A． B． C． D．4．若不等式的解集為，那么不等式的解集為（

）A． B．或C．或 D．5．已知，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被兩條平行直線：和：截得的線段長(zhǎng)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．10．已知，和直線：，若在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使，且點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．11．下列函數(shù)中，滿足對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有的是（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t下列的值滿足條件的是（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知集合，若，則．14．已知，，若是的必要條件，則范圍是.15．已知是空間任一點(diǎn)，四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則.16．已知，對(duì)任意的都有，則的取值范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知二次函數(shù)，且滿足.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)椋蟮闹涤?19．已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值．20．（1）求與向量共線且滿足方程的向量的坐標(biāo)；（2）已知，，，求點(diǎn)的坐標(biāo)使得；（3）已知，，求：①；②與夾角的余弦值；③確定、的值使得與軸垂直，且.21．已知點(diǎn)P(＋1,2－)，點(diǎn)M(3,1），圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.（1）求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；（2）求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．22．如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交于F.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.

答案1．D解析：解：法一：直線可變形為：，若該方程對(duì)任意都成立，則，即，直線恒過(guò)點(diǎn)，故選：D.法二：在方程中，令得：，即，令得：，將代入得，將代入，得恒成立，∴直線恒過(guò)點(diǎn)，故選：D.2．B解析：為平面的一個(gè)法向量，為直線的一個(gè)方向向量，若，則或，充分性不成立，若，則，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：.3．C解析：如下圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的重心，可得，而，，所以，，所以，，因此，．故選：C4．D解析：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?是方程的兩個(gè)根，且，所以，可得，則不等式化為，由，則可整理得，解得，故不等式的解集為.故選：D.5．A解析：由，可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.6．D解析：因?yàn)?，所以，所?故選：D7．C解析：，，所以為偶函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，所以．故選：C．8．B解析：當(dāng)時(shí)，，∴不是函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，得，設(shè)，，則在-∞,0上單調(diào)遞減，且.所以時(shí)無(wú)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，所以.故選：B.9．BC解析：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)與、的交點(diǎn)分別為，，截得的線段的長(zhǎng)，符合題意，若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，解得，解得，由，得，解得，即所求的直線方程為，綜上可知，所求直線的方程為或，故選：BC.10．BD解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴的垂直平分線方程為，即，∵點(diǎn)在直線上，∴，又點(diǎn)到直線：的距離為，∴，即，聯(lián)立可得、或、，∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選：BD.11．ACD解析：因?yàn)閷?duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，所以函數(shù)增函數(shù)，因?yàn)?，，在上是增函?shù)，

在上是減函數(shù)，故選：ACD12．ACD解析：若，當(dāng)時(shí)，，，若函數(shù)的值域?yàn)?，則時(shí)，的對(duì)稱軸，此時(shí)在-∞,0單調(diào)遞減，且，滿足題意；所以選項(xiàng)ACD符合題意，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，此時(shí)，不滿足值域?yàn)椋圆环项}意；故選：ACD13．1解析：依題意，分別令，，，由集合的互異性，解得，則.故答案為：14．解析：由題意，集合，，因?yàn)槭堑谋匾獥l件，即，可得，可得，所以實(shí)數(shù)范圍是.故答案為：.15．-1解析：∵2x?3y?4z?，∴2x?3y?4z?，∵O是空間任意一點(diǎn)，A、B、C、D四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案為﹣116．解析：由得或，在區(qū)間[-2,0)上,單調(diào)遞增；在(0,2)內(nèi)時(shí)單調(diào)遞減.又，，，∴，又對(duì)于任意的x∈[-2,2]恒成立，∴，即a的取值范圍是故答案為：.17．（1）；（2）.解析：（1）∵，∴，解得，當(dāng)時(shí)，由①可得，②，①－②：，∵，∴，∴，即∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴綜上所述，結(jié)論是：.（2）由（1）可得∴，綜上所述，.18．（1）；（2）.解析：（1）由可得該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，即從而得，所以該二次函數(shù)的解析式為.（2）由（1）可得，，所以在上的值域?yàn)?19．（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）解析：解：（1）因?yàn)?，所以，由，得，即，?dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）因?yàn)?，由已知，可得，∴，∵，∴，∴，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．20．（1）；（2）；（3）①21，②，③，解析：（1）∵與共線，故可設(shè)，由得：，故，∴；

（2）設(shè)，則，，，∵，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）①，

②∵，，設(shè)向量與的夾角為，∴，∴與夾角的余弦值為，

③取軸上的單位向量，，依題意，即，故，解得，.21．（1）x－y＋1－2＝0（2）過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0，切線長(zhǎng)為．解析：由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.（1）∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝＝－1，∴切線的斜率k＝－＝1.∴過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.（2）∵(3－1)2＋(1－2)2＝54，∴點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時(shí)滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2，解得k＝.∴切線方程為y－1＝(x－3），即3x－4y－5＝0.綜上可得，過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝，∴過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為.22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.解析：試題分析：（Ⅰ）證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知，且，，從而為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定定理知面，再由線面平行的性質(zhì)定理知.（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅?，，均為正方形，所以，且，可以建以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面的法向量.由得應(yīng)滿足的方程組，為其一組解，所以可取.同理的法向量.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為.試題解析：（Ⅰ）證明：由正方形的性質(zhì)可知，且，