浙江省杭州市保俶塔實驗教育集團2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市保俶塔實驗教育集團九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（每小題3分，共30分，每小題只有一個選項符合題意）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A． B．y＝2x﹣3 C．y＝x2﹣3 D．2．（3分）盒子里有10個球，它們只有顏色不同，其中紅球有6個，黃球有3個，黑球有1個．小軍從中任意摸一個球，下面說法正確的是（）A．一定是紅球 B．摸出紅球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黃球的可能性最小3．（3分）已知⊙O與點P在同一平面內(nèi)，如果⊙O的半徑為5，線段OP的長為3，則下列說法正確的是（）A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內(nèi) C．點P在⊙O外 D．無法判斷點P與⊙O的位置關(guān)系4．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，則∠CAD＝（）A．30° B．40° C．50° D．90°5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E在BC的延長線上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，則∠DCE的度數(shù)是（）A．100° B．105° C．110° D．120°6．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c的圖象不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）在下列函數(shù)圖象上任取不同的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（）A．y＝（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0） C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+78．（3分）已知，如圖，點C，D在⊙O上，直徑AB＝6cm，弦AC，BD相交于點E，若CE＝BC，則陰影部分面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣9．（3分）如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E，設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則以下關(guān)系式成立的是（）A．2α+β＝180° B．2α﹣β＝90° C．3α+β＝180° D．3α﹣β＝90°10．（3分）已知二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實數(shù)），設(shè)該函數(shù)最小值為k，下列說法正確的是（）A．若2＜a＜3，2＜b＜3，則k＜0 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，則0＜k＜1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＞﹣3二.填空題（每題3分，共18分）11．（3分）從，0，3這三個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則這個數(shù)為無理數(shù)的概率是．12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足如表：x?﹣3﹣2﹣101…y…0343m…根據(jù)表格內(nèi)容，則m的值為．13．（3分）如圖所示，AD為⊙O的直徑，點B、C在圓上，∠B＝60°，則∠CAD＝．14．（3分）一個袋子中裝有3個紅球和2個黃球，它們除顏色外，其他都相同．現(xiàn)將n個綠球（與紅、黃球除顏色外，其他都相同）放入袋中搖均勻，從袋中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述的過程，共摸了500次，其中60次摸到紅球．則估計n的值為．15．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+a+1（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象經(jīng)過P（x1，y1）、Q（3，y2），當(dāng)y1＞y2時，則x1的取值范圍為．16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊在AB的同側(cè)作三個正方形，點I在DE上，以EF為直徑的圓交直線AB于點M，N．若I為DE的中點，AB＝5，則MN＝．三.解答題（本大題共8題，共72分）17．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；（2）請你判斷點P（﹣2，3）是否在這個二次函數(shù)的圖象上？18．（8分）在一個不透明的盒子中，裝有3個分別寫有數(shù)字3，﹣5，7的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，攪拌均勻后，先從盒子里隨機抽取1個小球，記下小球上的數(shù)字后放回盒子，攪拌均勻后再隨機取出1個小球，再記下小球上的數(shù)字．（1）用列表法或樹狀圖法中的一種方法，寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求兩次取出的小球上數(shù)字的和是正數(shù)的概率．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC的外接圓的半徑為；（2）將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1BC1，請在圖中畫出△A1BC1；（3）在（2）的條件下，求出點C經(jīng)過的路徑長．20．（8分）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點E．連接AB、OB、BC．（1）求證：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的長．21．（8分）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖），養(yǎng)殖場的總面積為ym2．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？22．（10分）如圖1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點D．（1）若∠ECB＝120°，①求所對圓心角的度數(shù)；②連結(jié)DB，DA，求證：△ABD是等邊三角形．（2）如圖2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面積．23．（10分）設(shè)二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點．（1）若A，B兩點的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），求函數(shù)y的表達式及其圖象的對稱軸．（2）在（1）的條件下，若函數(shù)y的圖象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，且．求證：y1﹣y2＞0．（3）若函數(shù)y的表達式可以寫成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范圍．24．（12分）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，G是上一點，AG，DC的延長線交于點F，作AH⊥DG于點H．（1）求證：∠FGC＝∠AGD；（2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，請在圖2中補全圖形并求出的值；（3）猜想線段DH，HG，CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市保俶塔實驗教育集團九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（每小題3分，共30分，每小題只有一個選項符合題意）1．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A． B．y＝2x﹣3 C．y＝x2﹣3 D．【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，由此判斷即可．【解答】解：A、不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；B、是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；C、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；D、不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；故選：C．2．（3分）盒子里有10個球，它們只有顏色不同，其中紅球有6個，黃球有3個，黑球有1個．小軍從中任意摸一個球，下面說法正確的是（）A．一定是紅球 B．摸出紅球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黃球的可能性最小【分析】根據(jù)題意列出樹狀圖求出各種顏色求得概率，逐個判斷即可得到答案．【解答】解：由題意可得，摸出紅球的概率為，摸出黃球的概率為：，摸出黑球的概率為：，故選：B．3．（3分）已知⊙O與點P在同一平面內(nèi)，如果⊙O的半徑為5，線段OP的長為3，則下列說法正確的是（）A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內(nèi) C．點P在⊙O外 D．無法判斷點P與⊙O的位置關(guān)系【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：∵⊙O與點P在同一平面內(nèi)，⊙O的半徑為5，線段OP的長為3，5＞3，∴點P在⊙O內(nèi)．故選：B．4．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，則∠CAD＝（）A．30° B．40° C．50° D．90°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAE＝90°，結(jié)合∠DAE＝50°，求得∠CAD．【解答】解：將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴∠CAE＝90°，∵∠DAE＝50°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°，故選：B．5．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E在BC的延長線上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，則∠DCE的度數(shù)是（）A．100° B．105° C．110° D．120°【分析】設(shè)∠A＝4x，則∠B＝∠D＝3x，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠A：∠B：∠D＝4：3：3，∴設(shè)∠A＝4x，則∠B＝∠D＝3x．∵∠B+∠D＝180°，即6x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝120°，∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠A＝120°．故選：D．6．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c的圖象不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)圖像可以知道，進而得出b、c的正負，求出一次函數(shù)經(jīng)過的象限，進而得出答案．【解答】解：根據(jù)圖像可得：，∴b＞0，c＞0，故y＝bx+c經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故選：D．7．（3分）在下列函數(shù)圖象上任取不同的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（）A．y＝（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0） C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+7【分析】根據(jù)各函數(shù)的增減性依次進行判斷即可．【解答】解：A、y＝（x＞0）中，k＝2＞0，則當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，即當(dāng)x1＞x2時，必有y1＜y2，此時＜0，故A選項不成立；B、∵y＝x2﹣4x﹣1的對稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)0＜x＜2時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時y隨x的增大而增大，∴當(dāng)0＜x＜2時，當(dāng)x1＞x2時，必有y1＜y2，此時＜0，故B選項不成立；C、∵y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）的對稱軸為直線x＝3，∴當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＜0時，當(dāng)x1＞x2時，必有y1＞y2，此時＞0，故C選項成立；D、∵y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，∴y隨x的增大而減小，即當(dāng)x1＞x2時，必有y1＜y2，此時＜0，故D選項不成立；故選：C．8．（3分）已知，如圖，點C，D在⊙O上，直徑AB＝6cm，弦AC，BD相交于點E，若CE＝BC，則陰影部分面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣【分析】連接OD、OC，根據(jù)CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，進而得出∠DOC＝90°，根據(jù)S陰影＝S扇形﹣S△ODC即可求得．【解答】解：連接OD、OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵CE＝BC，∴∠DBC＝∠CEB＝45°，∴∠DOC＝2∠DBC＝90°，∴S陰影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．故選：A．9．（3分）如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E，設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則以下關(guān)系式成立的是（）A．2α+β＝180° B．2α﹣β＝90° C．3α+β＝180° D．3α﹣β＝90°【分析】根據(jù)垂直定義可得∠COA＝∠AOB＝90°，從而可得∠COD＝90°﹣β，再利用對頂角相等可得∠OEB＝∠AED＝α，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠B＝90°﹣α，最后利用圓周角定理可得∠COD＝2∠B，從而可得90°﹣β＝2（90°﹣α），進行計算即可解答．【解答】解：∵OA⊥BC，∴∠COA＝∠AOB＝90°，∵∠AOD＝β，∴∠COD＝∠COA﹣∠AOD＝90°﹣β，∵∠AED＝α，∴∠OEB＝∠AED＝α，∴∠B＝90°﹣∠OEB＝90°﹣α，∵∠COD＝2∠B，∴90°﹣β＝2（90°﹣α），∴90°﹣β＝180°﹣2α，∴2α﹣β＝90°，故選：B．10．（3分）已知二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實數(shù)），設(shè)該函數(shù)最小值為k，下列說法正確的是（）A．若2＜a＜3，2＜b＜3，則k＜0 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，則0＜k＜1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，則k＞﹣3【分析】利用拋物線解析式求得對稱軸，即可求得函數(shù)的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，然后根據(jù)a、b的取值，判斷|a﹣b|的值，從而判斷k的大?。窘獯稹拷猓骸叨魏瘮?shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實數(shù)），由二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是實數(shù)，且a≠b）可知對稱軸為直線x＝，∴二次函數(shù)y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是實數(shù)）的對稱軸為直線x＝，∴函數(shù)的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，若2＜a＜3，2＜b＜3，則|a﹣b|＜1，所以0＜k＜1，若2＜a＜3，3＜b＜4，則|a﹣b|＜2，所以﹣3＜k＜1，故選項B正確，選項A、C、D錯誤．故選：B．二.填空題（每題3分，共18分）11．（3分）從，0，3這三個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，則這個數(shù)為無理數(shù)的概率是．【分析】先確定無理數(shù)的個數(shù)，再由概率公式求解即可．【解答】解：∵，0，3這三個數(shù)中，是無理數(shù)，∴這三個數(shù)中隨機選擇一個數(shù)，這個數(shù)為無理數(shù)的概率是，故答案為：．12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y滿足如表：x?﹣3﹣2﹣101…y…0343m…根據(jù)表格內(nèi)容，則m的值為0．【分析】由當(dāng)x＝﹣2和x＝0時，y值均為3，可得出拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，結(jié)合＝﹣1，可得出當(dāng)x＝1時y的值與當(dāng)x＝﹣3時y的值，此題得解．【解答】解：∵當(dāng)x＝﹣2和x＝0時，y值均為3，∴拋物線的對稱軸為直線x＝＝﹣1，又∵＝﹣1，且當(dāng)x＝﹣3時，y＝0，∴當(dāng)x＝1時，y＝m＝0．故答案為：0．13．（3分）如圖所示，AD為⊙O的直徑，點B、C在圓上，∠B＝60°，則∠CAD＝30°．【分析】連接BD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ABD＝90°，繼而求出∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求出∠CAD的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接BD，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAD＝∠CBD＝30°，故答案為：30°．14．（3分）一個袋子中裝有3個紅球和2個黃球，它們除顏色外，其他都相同．現(xiàn)將n個綠球（與紅、黃球除顏色外，其他都相同）放入袋中搖均勻，從袋中隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述的過程，共摸了500次，其中60次摸到紅球．則估計n的值為20．【分析】根據(jù)已知可估計出模到紅球的概率，再利用概率公式計算即可．【解答】解：根據(jù)已知可估計出模到紅球的概率為＝，所以＝，解得n＝20，故估計n的值為20．故答案為：20．15．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+a+1（a為常數(shù)，且a＜0）的圖象經(jīng)過P（x1，y1）、Q（3，y2），當(dāng)y1＞y2時，則x1的取值范圍為﹣7＜x1＜3．【分析】根據(jù)y1＞y2及y＝ax2+4ax+a+1（a為常數(shù)，且a＜0）得到關(guān)于x1的不等式，進一步得到關(guān)于x1的不等式組，解不等式組可得答案．【解答】解：∵y1＞y2，∴+4ax1+a+1＞9a+12a+a+1，∴+4ax1﹣21a＞0，∴a（x1+7）（x1﹣3）＞0，∵a＜0，∴（x1+7）（x1﹣3）＜0，∴或，∴﹣7＜x1＜3．故答案為：﹣7＜x1＜3．16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊在AB的同側(cè)作三個正方形，點I在DE上，以EF為直徑的圓交直線AB于點M，N．若I為DE的中點，AB＝5，則MN＝．【分析】連接EC，F(xiàn)C，證明點E，C，F(xiàn)在同一條直線上，過點E，F(xiàn)作直線MN的垂線，垂足為R，T，設(shè)EF的中點為O，過點O作OK⊥MN于K，連接OM，證明△ABC和△AIE全等得BC＝IE，再根據(jù)點I為DE的中點得AC＝2BC，由此可得BC＝，AC＝2BC＝，進而得EC＝，F(xiàn)C＝，則EF＝EC+FC＝，由此得OM＝，證明△ABC∽△EAR得AR＝4，同理可證△ABC∽△BFT得FT＝1，證明OK為梯形EFTR的中位線，則OK＝（ER+FT）＝，然后在Rt△OMK中由勾股定理求出MK＝，進而可得MN的長．【解答】解：連接EC，F(xiàn)C，∵四邊形ACDE和四邊形BCGF均為正方形，∴AC＝AE＝ED，∠ACE＝45°，∠CAE＝∠AED＝90°，BC＝BF，∠BCF＝45°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°，∴點E，C，F(xiàn)在同一條直線上，過點E，F(xiàn)作直線MN的垂線，垂足為R，T，設(shè)EF的中點為O，過點O作OK⊥MN于K，連接OM，如圖所示：∵四邊形ABHI和四邊形BCGF均是正方形，∴∠IAC＝90°，AB＝AI，∠CBF＝90°，BC＝BF，∴∠BAC+∠CAI＝90°，又∵∠IAE+∠CAI＝90°，∴∠BAC＝∠IAE，在△ABC和△AIE中，，∴△ABC≌△AIE（SAS），∴BC＝IE，∵點I為DE的中點，∴ID＝IE，∴AE＝ED＝2IE，∴AC＝2BC，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+BC2＝52，∴BC＝，AC＝2BC＝，在Rt△ACE中，AC＝AE＝，由勾股定理得：EC＝＝，在Rt△BFC中，BC＝BF＝，由勾股定理得：FC＝＝，∴EF＝EC+FC＝＝，∵EF為⊙O的直徑，∴OE＝OF＝OM＝，∵∠CAE＝90°，ER⊥MN，∴∠BAC+∠EAR＝90°，∠AER+∠EAR＝90°，∴∠BAC＝∠AER，又∵∠ACB＝∠R＝90°，∴△ABC∽△EAR，∴AC：ER＝AB：AE，即：ER＝5：，∴AR＝4，同理可證：△ABC∽△BFT，∴BC：FT＝AB：BF，即：FT＝5：，∴FT＝1，∵ER⊥MN，F(xiàn)T⊥MN，OK⊥MN，點O為EF的中點，∴OK為梯形EFTR的中位線，∴OK＝（ER+FT）＝×（4+1）＝，在Rt△OMK中，OM＝，OK＝，由勾股定理得：MK＝＝，∵點O為⊙O的圓心，OK⊥MN，∴MN＝2MK＝．故答案為：．三.解答題（本大題共8題，共72分）17．（8分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象經(jīng)過點（﹣3，0），（2，﹣5）．（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；（2）請你判斷點P（﹣2，3）是否在這個二次函數(shù)的圖象上？【分析】（1）根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組求出a，b，得到此二次函數(shù)的解析式；（2）把x＝﹣2代入函數(shù)解析式計算，判斷即可．【解答】解：（1）由題意得，，解得，，則二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）當(dāng)x＝﹣2時，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴點P（﹣2，3）在這個二次函數(shù)的圖象上．18．（8分）在一個不透明的盒子中，裝有3個分別寫有數(shù)字3，﹣5，7的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地完全相同，攪拌均勻后，先從盒子里隨機抽取1個小球，記下小球上的數(shù)字后放回盒子，攪拌均勻后再隨機取出1個小球，再記下小球上的數(shù)字．（1）用列表法或樹狀圖法中的一種方法，寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求兩次取出的小球上數(shù)字的和是正數(shù)的概率．【分析】（1）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；（2）根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意畫圖如下：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有（3，3），（3，﹣5），（3，7），（﹣5，3）（﹣5，﹣5），（﹣5，7），（7，3），（7，﹣5），（7，7）共有9種；（2）∵共有9種情況，兩次取出的小球上數(shù)字的和是正數(shù)有4種情況，∴兩次取出小球上的數(shù)字相同的概率為．19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）△ABC的外接圓的半徑為；（2）將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1BC1，請在圖中畫出△A1BC1；（3）在（2）的條件下，求出點C經(jīng)過的路徑長．【分析】（1）先利用勾股定理計算出BC，然后直角三角形的外切圓的半徑為BC的一半求解；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出A，C的對應(yīng)點A1，C1即可；（3）利用弧長公式計算弧長即可．【解答】解：（1）AB＝2，AC＝3，BC＝＝，所以△ABC的外接圓的半徑＝；故答案為：；（2）旋轉(zhuǎn)之后，如圖所示：（3）CC1弧長L＝＝π．20．（8分）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點E．連接AB、OB、BC．（1）求證：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的長．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；（2）先根據(jù)垂徑定理得到BE＝DE，再計算出OB＝5，OE＝3，則利用勾股定理可計算出BE，從而得到BD的長．【解答】（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠CBD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，∴∠C+∠CBD＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO，∴∠CBO＝∠ABE；（2）解：∵AC⊥BD，∴BE＝DE，∵AE＝2，CE＝8，∴AC＝10，∴OB＝5，OE＝3，在Rt△OBE中，BE＝＝4，∴BD＝2BE＝8．21．（8分）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖），養(yǎng)殖場的總面積為ym2．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)題意可得，矩形養(yǎng)殖場的長為3xm，矩形養(yǎng)殖場的寬為（24﹣3x）m＝（8﹣x）m，從而養(yǎng)殖場的總面積為y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x，再結(jié)合墻的長度為10，可得0＜3x≤10，進而可得自變量x的取值范圍；（2）依據(jù)題意，由y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，從而當(dāng)x＜4時，y隨x的增大而增大，又0＜x≤，進而由二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷得解．【解答】解：（1）由題意，∵較小矩形的寬為xm，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，∴較大矩形的寬為2xm．∴矩形養(yǎng)殖場的長為3xm，矩形養(yǎng)殖場的寬為（24﹣3x）m＝（8﹣x）m．∴養(yǎng)殖場的總面積為y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x．∵墻的長度為10，∴0＜3x≤10，∴0＜x≤．∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x2+24x（0＜x≤）．（2）由題意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∴當(dāng)x＜4時，y隨x的增大而增大．又∵0＜x≤，∴當(dāng)x＝時，y取最大值，最大值為：﹣3（﹣4）2+48＝．答：當(dāng)x為時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為．22．（10分）如圖1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點D．（1）若∠ECB＝120°，①求所對圓心角的度數(shù)；②連結(jié)DB，DA，求證：△ABD是等邊三角形．（2）如圖2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面積．【分析】（1）①利用鄰補角的意義和角平分線的定義解答即可；②利用圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定定理解答即可；（2）連接DO并延長交AB于點H，連接OA，OB，利用圓周角定理，同圓的半徑相等的性質(zhì)得到△OAB為等腰直角三角形，可求OA＝OB＝；利用等腰三角形的判定定理和垂徑定理得到DH⊥AB，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得OH，再利用三角形的面積公式解答即可．【解答】（1）①解：∵∠ECB＝120°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝60°．∴所對圓心角的度數(shù)＝2∠ACB＝120°；②證明：∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB＝120°＝60°．∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DAB＝60°，∵∠ECD為圓內(nèi)接四邊形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD＝60°，∵∠ADB＝ACB＝60°，∴∠ADB＝∠DAB＝∠ABD＝60°，∴△ABD是等邊三角形；（2）解：連接DO并延長交AB于點H，連接OA，OB，如圖，則∠AOB＝2∠ADB＝2×45°＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB為等腰直角三角形，∴OA＝OB＝AB＝，∴OD＝OA＝．∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分線，∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB，∵∠ECD為圓內(nèi)接四邊形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD．∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABD＝∠DAB，∴DA＝DB，∴．∴DH⊥AB．∴AH＝DH＝1，∴OH＝AB＝1，∴DH＝OD+OH＝1．∴△ABD的面積＝AB?DH＝2×（）＝．23．（10分）設(shè)二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點．（1）若A，B兩點的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0），求函數(shù)y的表達式及其圖象的對稱軸．（2）在（1）的條件下，若函數(shù)y的圖象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點，且．求證：y1﹣y2＞0．（3）若函數(shù)y的表達式可以寫成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，即可得到結(jié)論；（2）在（1）的條件下，二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x+3，于是得到y(tǒng)1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），由，得到﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0，于是得到結(jié)論；（3）化簡y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），求得b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1，當(dāng)m＝0時，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1，當(dāng)m＝2時，b+c＝m2﹣m﹣1＝1，于是得到結(jié)論．【解答】（1）解：由題意，二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過（1，0），（3，0），∴，解得，∴拋物線的解析y＝x2﹣4x+3，∴拋物線對稱軸是直線x＝＝2；（2）解：由題意，得y＝（x﹣h）2﹣3＝x2﹣2h+h2﹣3，又∵y＝x2+bx+c，∴b＝﹣2h，c＝h2﹣3∴b+c＝h2﹣2h﹣3＝（h﹣1）2﹣4，∴當(dāng)h＝1時，b+c的最小值是﹣4；（2）證明：在（1）的條件下，二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x+3，∴y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（